Дифференциальные уравнения. Устойчивость решений. Элементы теории устойчивости решений. Учебное пособие

C1 cos0 −C2 sin0 =0 ;

2) y(π) =0,x [s,π],

y(x) =C3 sinx +C4 cosx , C3 sin π+C4 cosπ=0 ,

C1 =0,

C4 =0.

2. Непрерывность обеспечим условием

C1 sinx +C2 cosx =C3 sinx +C4 cosx, x =s C2 coss =C3 sins , тогда

91

Пример 3.6. y′′+y′=f(x), y(0) =0, y′(1) =0 .

Решение.

1. Решаем однородное уравнение y′′+y′=0 . Характеристическое уравнение

k2 +k = 0, k1 = 0, k2 = 1.

Общее решение y(x) =C1 +C2e−x .

Рассмотрим произвольное фиксированное s [0,1].

Справа и слева функция должна быть решением дифференциального уравнения, поэтому будем искать функцию Грина

1. Краевые условия: 1) y(0) =0, x [0,s],

y(x) =C1 +C2e−x ,

C1 + C2 = 0;

2) y′(1) =0,x [s,1],

2. Непрерывность обеспечена условием

C1 +C2e−s =C3 .

3. Скачок

G′(x,s) = −C2e−x,x [0,s],

0,x [s,1],

G′(s +0,s) −G′(s −0,s) =0 −(−C2e−s ) =11 ,

C2e−s =1 .

Получаем систему уравнений для определения констант:

92

−e−xchs,x [s,2].

93

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Вопросы устойчивости решений имеют очень большую практическую ценность, так как связаны с оценкой надежности систем, математические модели которых очень часто представлены в виде дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений. Настоящее пособие содержит достаточно краткий обзор методов и приемов, позволяющих оценить характер поведения решения дифференциальных уравнений и систем, при этом некоторые методы позволяют сделать это даже если решение трудно или невозможно получить в виде определенной функции. Владение подобными навыками полезно исследователям в практической области и при анализе решений задач, и для корректировки математических моделей, а также для прогнозирования саморазрушения систем.

94

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1984. 271 с.

2.Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд-во МГУ, 1984. 295 с.

3.Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1970. 331 с.

4.Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1973. 127 с.

5.Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969. 424 с.

95