Динамика чувствительных элементов пороговых устройств автоматики. Учебное издание

Рис. 4.4. Качественный вид скелетной кривой динамической системы пороговых датчиков инерционного типа с упругими элементами отрицательной жесткости

Анализ построенной скелетной кривой для нелинейной консервативной системы с упругими элементами отрицательной жесткости показывает, что данная система не является резонансной, так как у подобных систем с увеличением перемещения инерционного элемента возвращающая сила уменьшается в отличие от систем с упругими элементами положительной жесткости, поэтому отсутствуют частоты, при которых перемещения инерционного элемента стремятся к бесконечно большим значениям.

4.4. Устойчивость пороговых датчиков инерционного типа к вибрационным нагружениям

Для проведения расчетов по оценке устойчивости пороговых датчиков инерционного типа к вибрационным нагружениям необходимо получить уравнение движения их чувствительных элементов при действии ускорения, временная зависимость которого имеет вид

81

где J [м/с2] – амплитуда колебаний; Ω [рад/с] – угловая частота колебаний.

Частота колебаний ν, Гц определяется по формуле

Примем условие, что амплитуда колебаний J всегда превышает j0, т. е. порог по ускорению срабатывания датчиков.

Под потерей устойчивости датчиков будем понимать перемещение их чувствительных элементов при действии вибрации на величину межконтактного зазора . Поэтому при расчетах будем определять амплитуду колебаний J при фиксированных значениях частоты колебаний в диапазоне от 200 до 20000 Гц, при которых выполняется условие q(t) = . Получим уравнение движения чувствительного элемента датчика, у которого силовая характеристика упругого элемента описывается уравнением F(q) = F0 + cq.

По аналогии с уравнением (2.3) запишем уравнение

Уравнение (4.20) является неоднородным дифференциальным уравнением.

Решение дифференциального уравнения (4.20) представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения и частного решения:

Общее решение однородногоуравнения (4.22) запишется ввиде

Для определения постоянных С1 и С2 из начальных условий продифференцируем уравнение (4.27), в результате чего получим уравнение

Рассмотрим начальные условия. Чувствительный элемент датчика начнет перемещаться с момента времени t0, когда ускорение j(t), действующее на датчик, достигнет значения j0, равного порогу по ускорению срабатывания датчика:

В результате решения данной системы уравнений находим постоянные коэффициенты С1 и С2 и, подставив их в уравнение (4.27), после преобразований получим решение уравнения (4.20) в окончательном виде:

амплитуду колебаний J при частотах колебаний 500, 1000, 2000, 2500, 5000, 7500, 10000, 12500, 15000, 17500 и 20000 Гц,

при которых происходит срабатывание датчика, т. е. выполняется условие q(t) = . Результаты расчетов приведены в табл. 2.

На рис. 4.5 показан график, соответствующий значениям табл. 2. Видно, что полученная кривая делит всю область рассматриваемых параметров синусоидальных колебаний на две подобласти, расположенные выше и ниже кривой. Это означает, что если параметры синусоидальных колебаний лежат выше кривой, то при таких колебаниях датчик срабатывает, если ниже, то датчик сохраняет свою устойчивость.

Таблица 2

85

Амплитуда колебаний J, м/с2

Частота колебаний Ω/2π, Гц

Рис. 4.5. Зависимость амплитуд синусоидальных колебаний корпуса датчика от частот, позволяющая определить параметры колебаний, при которых происходит срабатывание датчика

Получим уравнение движения чувствительного элемента датчика, у которого силовая характеристика упругого элемента описывается уравнением F(q) = F0 – cq, при действии вибрационных нагружений.

По аналогии с уравнением (2.30) запишем уравнение движения чувствительного элемента датчика в виде

Уравнение (4.32) является неоднородным дифференциальным уравнением.

Решение дифференциального уравнения (4.32) представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения и частного решения:

Однородное дифференциальное уравнение имеет вид

86

Общее решение однородного уравнения (4.34) запишется как

где С1 и С2 – произвольные постоянные, определяемые из начальных условий.

Теперь найдем частное решение qчаст. Исходя из вида правой части уравнения (4.32), частное решение будем искать в виде

Так как

qчаст A cos t B sin t

и

qчаст A 2 sin t B 2 cos t,

то, подставив соответствующие выражения в (4.32), получим

Раскрыв в выражении (4.37) скобки и приравняв соответствующие члены в левой и правой частях, получим выражения для А, В и С в виде

A02 J 2 ,

В0,

Сj0 .

02

Выражение для частного решения запишется в виде

поэтому решение для уравнения (4.32) запишется как

Для определения постоянных С1 и С2 из начальных условий продифференцируем уравнение (4.39), в результате получим уравнение

Рассмотрим начальные условия. Чувствительный элемент датчика начнет перемещаться с момента времени t0, когда ускорение j(t), действующее на датчик, достигнет значения j0, равного порогу по ускорению срабатывания датчика, т. е.

В результате решения данной системы уравнений находим постоянные коэффициенты С1 и С2 и, подставив их в уравнение (4.39), после преобразований получим решение уравнения (4.32) в окончательном виде:

88

амплитуды колебаний J при частотах колебаний 500, 1000, 2000, 2500, 5000, 7500, 10000, 12500, 15000, 17500 и 20000 Гц,

при которых происходит срабатывание датчика, т. е. выполняется условие q(t) = .

Результаты расчетов приведены в табл. 3.

Таблица 3

На рис. 4.6 показан график, соответствующий значениям табл. 3. Видно, что полученная кривая делит всю область рассматриваемых параметров синусоидальных колебаний на две подобласти, расположенные выше и ниже кривой. Это означает, что если параметры синусоидальных колебаний лежат выше кривой, то при таких колебаниях датчик срабатывает, если ниже, то датчик сохраняет свою устойчивость.

Таким образом показано, что с помощью полученных уравнений (4.31) и (4.42) можно определять параметры вибрационных нагружений, при которых пороговые датчики инерционного типа сохраняют свою устойчивость. При этом уравнение (4.31) необходимо применять, если силовая характеристика упругого элемента датчика описывается уравнением F(q) = F0 + cq, а уравнение (4.42) – если силовая характеристика упругого элемента описывается уравнением

F(q) = F0 – cq.

Амплитуда колебаний J, м/с2

Частота колебаний Ω/2π, Гц

Рис. 4.6. Зависимость амплитуд синусоидальных колебаний корпуса датчика от частот, позволяющая определить параметры колебаний, при которых происходит срабатывание датчика

90