Динамика чувствительных элементов пороговых устройств автоматики. Учебное издание

моментов времени, когда xд tn j0 , существует несколько,

так как ускорение, действующее на датчик, может не один раз превышать порог по ускорению срабатывания j0. То есть если

ускорение xд tn превысило j0, а затем опять уменьшилось,

получим два значения tn, при которых выполняется условие

xд tn j0 .

Поэтому, определив все значения времени tn, при которых выполняется условие xд tn j0 , уравнения движения

численным методом необходимо решать при первом, третьем, пятом и т. д. значениях tn, определив соответствующие данным значениям времени начальные условия.

71

ГЛАВА 4

ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПОРОГОВЫХ УСТРОЙСТВ АВТОМАТИКИ

4.1. Виды потерь устойчивости пороговых датчиков инерционного типа при вибрационном нагружении

В процессе эксплуатации пороговые устройства автоматики могут подвергаться вибрационным нагрузкам. При действии вибрационных нагрузок возможна потеря устойчивости подобных устройств и, как следствие, их ложное срабатывание. Под потерей устойчивости порогового устройства автоматики при действии вибрационных нагрузок будем понимать перемещение его чувствительного элемента, сопоставимое с величиной межконтактного зазора и приводящее к замыканию электрического контакта.

На примере пороговых датчиков инерционного типа рассмотрим два случая потери их устойчивости при нагружении вибрационными ускорениями: в первом случае амплитуда вибрационных ускорений не превышает порог по ускорению срабатывания датчика, во втором – превышает. В первом случае возможность потери устойчивости датчиком при действии вибрационных ускорений будет зависеть от частоты собственных колебаний его упругого элемента и от того, входит ли данная величина в диапазон частот вибрационных ускорений. Так как в пороговых датчиках инерционного типа упругие элементы обеспечивают начальное усилие поджатия чувствительного элемента, то в условиях действия вибрации возникновение резонанса упругого элемента, т. е. возрастающее перемещение сечений упругого элемента при остающемся неподвижным инерционном элементе, может привести

72

к существенному снижению усилия поджатия чувствительного элемента. Снижение усилия поджатия чувствительного элемента повлечет за собой уменьшение порога по ускорению срабатывания датчика, вследствие чего амплитуда вибрационных ускорений будет превышать уменьшенный порог.

Превышение амплитудой вибрационных ускорений порога по ускорению срабатывания датчика может привести сначала к микроперемещениям чувствительного элемента датчика, а затем и к более значительным перемещениям, уже сопоставимым по величине с межконтактным зазором датчика, и в результате – к замыканию электрического контакта датчика, т. е. его ложному срабатыванию.

Зная заранее амплитуду вибрационных ускорений, которые могут действовать на датчик при его эксплуатации, всегда можно выбрать порог по ускорению срабатывания датчика заведомо бóльшим. Тем не менее первый вариант потери устойчивости является наиболее опасным, так как при попадании значения частоты собственных колебаний упругого элемента в диапазон частот вибрационных ускорений потеря устойчивости датчика весьма вероятна.

В тех случаях, когда амплитуда вибрационных ускорений может в процессе эксплуатации превышать порог по ускорению срабатывания датчика, необходим частотный анализ динамических систем подобных устройств.

Проведем частотный анализ динамических систем пороговых датчиков инерционного типа с упругими элементами положительной и отрицательной жесткости.

4.2. Частотный анализ динамических систем пороговых датчиков инерционного типа с упругими элементами положительной жесткости

Рассмотрим нелинейную систему [4] с одной степенью свободы, кинематическая схема которой представлена на рис. 4.1,а. Пусть масса инерционного элемента (шарика) рав-

73

на m, а масса опорных элементов равна нулю. Это система

спредварительным натягом, и так как упругие элементы представляют собой винтовые пружины сжатия, силовая характеристика (рис. 4,б) запишется в виде F(q) = F0 + cq, где

с– жесткость пружин.

Рис. 4.1. Динамическая система пороговых датчиков инерционного типа с упругими элементами положительной жесткости: а – конструктивная схема, б – силовая характеристика

Несмотря на существенную нелинейность подобных систем, можно получить точное решение задачи об их свободных колебаниях с помощью метода припасования [4]. Данная система является консервативной механической системой, так как в соответствии с классификацией колебательных систем, приведенной, например, в [4], консервативными называются механические системы, движение которых характеризуется постоянством во времени полной энергии – потенциальной и кинетической.

Задача исследования свободных колебаний нелинейной консервативной системы часто сводится к определению зависимости частоты свободных колебаний ω от их амплитуды А. Уравнение движения рассматриваемой нелинейной консер-

74

вативной системы с одной степенью свободы можно записать в общем виде как

По аналогии с уравнением (2.3) при kt = 0 уравнение (4.1) можно представить в виде

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (4.2) запишется в виде

Для нахождения постоянных коэффициентов С1 и С2 продифференцируем уравнение (4.3), в результате получим уравнение

Найдем С1 и С2 из уравнений (4.3) и (4.4):

C1 0, С2 A j02 . 0

Определив С1 и С2, уравнение (4.3) можно записать в виде

Определим время, необходимое для возврата инерционного элемента в положение q = 0 при начальной амплитуде A. Для этого запишем уравнение (4.5) в виде

75

Из данной формулы получим уравнение для времени возврата инерционного элемента в положение q = 0 при начальной амплитуде A:

Поскольку время t представляет собой четверть периода свободных колебаний T 2 , получим выражение для ω:

Подставив уравнение (4.6) в уравнение (4.7), получим зависимость частоты свободных колебаний ω от амплитуды свободных колебаний А и параметров механической системы:

Формула (4.8) является формулой скелетной кривой – кривой, к которой приближаются ветви амлитудно-частотной характеристики при стремлении к нулю вынуждающей силы в нелинейной системе без демпфирования [4]. Перед построением скелетной кривой проанализируем полученную формулу.

76

При A 0 , так как arccos 1 0.

Качественный вид скелетной кривой рассматриваемой нелинейной системы показан на рис. 4.2. Полученный вид скелетной кривой для подобных механических систем был приведен в работе [4]. Данная скелетная кривая характеризуется наличием асимптоты при частоте ω = ω0, являющейся резонансной частотой для рассматриваемой системы, при которой амплитуда колебаний А стремится к бесконечно большим значениям.

Рис. 4.2. Качественный вид скелетной кривой динамической системы пороговых датчиков инерционного типа с упругими элементами положительной жесткости

Рассматриваемая нелинейная система обладает существенной неизохронностью, так как наблюдается зависимость амплитуды колебаний от частоты [4].

77

4.3. Частотный анализ динамических систем пороговых датчиков инерционного типа с упругими элементами отрицательной жесткости

Проведем аналогичный анализ частотной характеристики нелинейной консервативной механической системы с упругими элементами, которые имеют отрицательные коэффициенты жесткости. Гипотетическая конструкция такой нелинейной системы приведена на рис. 4.3,а, а силовая характеристика упругих элементов – на рис. 4.3,б.

Рис. 4.3. Динамическая система пороговых датчиков инерционного типа с упругими элементами отрицательной жесткости: а – конструктивная схема, б – силовая характеристика

В данном случае силовая характеристика упругих элементов запишется в виде F(q) = F0 – cq, где с – обобщенный коэффициент жесткости.

Уравнение движения рассматриваемой системы запишется уже в виде

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (4.9)

78

Для нахождения постоянных коэффициентов С1 и С2 продифференцируем уравнение (4.10), в результате получим уравнение

Определив С1 и С2, уравнение (4.10) можно записать в виде

Так как [10]

ez e z ch z , 2

то уравнение (4.12) можно представить в окончательном виде:

Из формулы (4.13) получим уравнение для времени возврата инерционного элемента в положение q = 0 при начальной амплитуде А:

79

Так как 2t , получим зависимость частоты свобод-

ных колебаний ω от амплитуды свободных колебаний А и параметров механической системы:

при ω→∞ А→0.

На основе полученных соотношений можно сделать вывод о том, что для обеспечения повышенной устойчивости систем с упругими элементами отрицательной жесткости к вибрационным ускорениям, амплитуда которых превышает порог по ускорению срабатывания, необходимо, чтобы значения ω0 были максимально возможными.

Качественный вид скелетной кривой рассматриваемой нелинейной системы представлен на рис. 4.4.

80