Динамика чувствительных элементов пороговых устройств автоматики. Учебное издание

Приняв условие, что динамическая система подобных датчиков является системой с одной степенью свободы, запишем для нее уравнение Лагранжа второго рода [4]:

В формуле (1.2) кинетическая энергия системы Т определяется выражением

где m – масса чувствительного элемента датчика, которая включает в себя массу инерционного тела и часть массы (как правило, одну треть) упругого элемента.

Полную потенциальную энергию системы V(q), входящую в формулу (1.2), запишем, разложив ее в ряд Тейлора:

Тогда первая производная от потенциальной энергии в окрестности точки q = 0 запишется в виде

Первый член в правой части уравнения (1.5) будет представлять собой начальную силу F0 силовой характеристики F(q) упругого элемента при q = 0:

Второй член в правой части уравнения (1.5) будет представлять собой коэффициент жесткости с силовой характеристики упругого элемента:

21

В зависимости от характера изменения накопленной потенциальной энергии деформации упругого элемента от обобщенной координаты q вторая производная потенциальной энергии, представляющая собой коэффициент жесткости с силовой характеристики, будет иметь знак плюс или минус.

Рассмотрим этот вопрос подробнее. Запишем уравнение для вычисления второй производной V от q в следующем виде, исходя из определения производной [5]:

В первом случае рассмотрим участок зависимости V(q), на котором при каждом увеличении координаты q происходит интенсивный рост V. Участок данной зависимости показан на рис. 1.5.

Рис. 1.5. Участок зависимости V(q) c интенсивным ростом V от обобщенной координаты q

22

Найдем значение производной V от q в некоторой точке

То есть в данном случае получаем, что обобщенный коэффициент жесткости c силовой характеристики упругого элемента – величина положительная.

Подставив в формулу (1.2) уравнения (1.3), (1.6), (1.7) и выполнив преобразования, с учетом (1.12) получим уравнение движения чувствительного элемента датчика в виде

Следовательно, восстанавливающую силу F(q), генерируемую упругим элементом, можно описать уравнением

График функции F(q) показан на рис. 1.6 (рабочий ход чувст-

вительного элемента обозначен ).

Необходимо отметить, что определенные участки силовых характеристик практически всех типовых упругих элементов, таких как винтовые пружины, плоские пружины, мембраны и т. д. [6], при условии, что их рабочий ход является малой величиной, можно представить уравнением (1.14).

23

Используя формулы (1.9), (1.10) и учитывая, что α2 < α1, в данном случае получим

Таким образом, при увеличении V с затуханием, т. е. при логарифмическом росте V с увеличением q, обобщенный коэффициент жесткости с силовой характеристики упругого элемента является отрицательной величиной. На основании этого уравнение движения чувствительного элемента в данном случае запишется в виде

Восстанавливающую силу F(q), генерируемую упругим элементом, можно описать уравнением

Разделив члены уравнения (1.20) на m, с учетом уравнений (1.16) и (1.17) получим уравнение движения чувствительного элемента датчика в виде

где 02 – отношение коэффициента жесткости силовой харак-

теристики упругого элемента с к массе m чувствительного элемента датчика, а не квадрат угловой частоты колебаний чувствительного элемента датчика, так как при отрицательном с динамическая система датчика становится неколебательной.

Для построения динамических моделей пороговых датчиков инерционного типа при силовом и кинематическом возмущении рассмотрим два датчика. Датчиком № 1 будет датчик с силовой характеристикой упругого элемента, описываемой уравнением (1.14), а датчиком № 2 – датчик с силовой характеристикой упругого элемента, описываемой уравнением (1.21). Другие основные параметры датчиков приведены в табл. 1.

Из табл. 1 видно, что датчики имеют одинаковый порог по ускорениюсрабатывания и одинаковый межконтактный зазор.

26

ГЛАВА 2

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЧУВСТВИТЕЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПОРОГОВЫХ УСТРОЙСТВ АВТОМАТИКИ ПРИ СИЛОВОМ ВОЗМУЩЕНИИ

2.1. Общие принципы построения динамических моделей пороговых датчиков инерционного типа при силовом возмущении

Под силовым возмущением будем понимать действие на чувствительные элементы датчиков силы F(t), представляющей собой силу инерции F(t) = mj(t), где j(t) – временная зависимость ускорения, действующего на датчик.

При построении динамических моделей приняты следующие допущения:

а) движение инерционных элементов датчиков происходит вдоль их продольной оси;

б) корпуса датчиков, их инерционные элементы и детали для крепления упругих элементов недеформируемы;

в) массы упругих элементов датчиков, как правило, малы по сравнению с массами их инерционных элементов;

г) силы сопротивления движению чувствительных элементов датчиков отсутствуют;

д) массы чувствительных элементов датчиков, коэффициенты жесткости упругих элементов являются постоянными параметрами, т. е. не изменяются в течении рассматриваемого времени.

Для упрощения получения аналитических зависимостей перемещений чувствительных элементов от времени динамические модели датчиков будем строить при условии действия

27

на них ускорения в виде линейной временной зависимости

j(t) = kt, где k – темп нарастания ускорения, имеющего размерность м/с3.

Обозначим перемещение инерционного элемента относительно корпуса датчика, начиная с его начального положения, как q. Нужно определить зависимость q(t) при действии на датчик ускорения j(t). Определив зависимость q(t), можно найти время срабатывания датчика tср из условия q(tср) = ,

где – рабочий ход чувствительного элемента датчика (межконтактный зазор).

Кинематические схемы чувствительных элементов датчиков представлены на рис. 2.1.

Рис. 2.1. Положения чувствительного элемента порогового датчика инерционного типа на кинематической схеме

На рис. 2.1,а показано положение чувствительного элемента при усилии начального поджатия F0 ≥ mj(t), а на рис. 2.1,б – при F0 < mj(t). Под действием силы инерции чувствительный элемент перемещается, преодолевая силу упругого элемента F(q), т. е. силу, которую упругий элемент генерирует при перемещении чувствительного элемента на величину q.

28

2.2. Построение динамической модели порогового датчика инерционного типа с упругим элементом положительной жесткости при силовом возмущении

Получим уравнение движения чувствительного элемента датчика, у которого силовая характеристика упругого элемента описывается уравнением F(q) = F0 + cq.

Составим дифференциальное уравнение движения чувствительного элемента датчика в виде

Подставив в (2.1) уравнения j(t) = kt и F(q) = F0 + cq, получим уравнение

Разделив данное уравнение на m и преобразовав, получим уравнение движения в окончательном виде:

где 02 – квадрат угловой частоты колебаний чувствительно-

го элемента датчика.

Уравнение (2.3) является неоднородным дифференциальным уравнением. Его решение представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения и частного решения:

Однородное дифференциальное уравнение имеет вид

Изложим процесс решения (2.7) достаточно подробно, так как в научно-технической литературе решение данного уравнения приводится, как правило, уже в готовом виде.

Отыскание фундаментальной системы частных решений, а значит, и общего решения данного дифференциального уравнения сводится к чисто алгебраическим операциям – решению одного алгебраического уравнения второй степени [7].

Вид уравнения (2.7) показывает, что частные решения данного уравнения следует искать прежде всего среди таких функций, которые в алгебраическом смысле подобны своим производным. Известно, что среди элементарных функций этим свойством обладает показательная функция, поэтому

будем искать частные решения в виде q ert . Так как q rert и q r2ert ,

то, подставив соответствующие выражения в (2.7), получим

Множитель ert в формуле (2.9) не обращается в нуль ни при каком значении t. Поэтому функция q ert удовлетворяет ли-

нейному однородному дифференциальному уравнению (2.7) тогда и только тогда, когда число r является корнем характеристического уравнения

Корни характеристического уравнения (2.10), соответственно, будут

30