Динамика чувствительных элементов пороговых устройств автоматики. Учебное издание

Получим решения данного уравнения в аналитическом виде для модельной задачи, в которой, как уже говорилось, на корпус датчика при его разгоне действует ускорение, имеющее временную зависимость j(t) = kt.

Решение дифференциального уравнения (3.26) представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения и частного решения:

Однородное дифференциальное уравнение имеет вид

Получение общего решения однородного дифференциального уравнения, имеющего данный вид, подробно рассмотрено в главе 2. Таким образом, общее решение однородного уравнения (3.28) запишется в виде

где С1 и С2 – произвольные постоянные, определяемые из начальных условий.

Найдем теперь частное решение xчаст, но сначала подставим в уравнение (3.26) выражение (3.2), в результате чего получим уравнение в виде

Исходя из вида правой части уравнения (3.30), выражение длячастного решениябудемискатьтакже в видемногочлена:

и

xчаст 6At 2B,

то, подставив соответствующие выражения в (3.30), получим

51

Раскрыв в выражении (3.32) скобки и приравняв соответствующе члены в левой и правой частях, получим выражения для А, В, С и D:

A 16 k, B 0,

C k2 ,

0

D j0 .

02

Соответственно, выражение для частного решения запишется в виде

поэтому решение для уравнения (3.26) с учетом (3.30) запишется в виде

Для определения постоянных С1 и С2 из начальных условий продифференцируем уравнение (3.34), в результате получим уравнение

Из уравнений (3.34) и (3.35) с учетом начальных условий (3.17) и (3.18) составим систему уравнений

52

В результате решения данной системы уравнений находим постоянные коэффициенты С1 и С2:

Проверим полученную формулу для датчика № 2 с пара-

метрами j0 = 15000 м/с2 (1500 g), m = 1,6 10–4 кг, с = 5000 Н/м,

= 3 10–4 м при действии линейно возрастающего ускорения j(t) = kt, где k = 108 м/с3 – темп нарастания ускорения.

Ранее было получено, что время срабатывания датчика при действии данного ускорения составляет tср = 0,000403 c (403 мкс). Так как j0 = 15000 м/с2, то t0 = 0,00015 с.

Подставив все данные в уравнение (3.39), получим, что к моменту времени tср = 0,000403 c чувствительный элемент переместится на 0,000794 м (или 0,794 мм). При этом корпус датчика переместится к моменту времени tср = 0,000403 c на

0,001094 м (или 1,094 мм).

53

В соответствии с формулой (3.3) получим перемещение чувствительного элемента датчика:

q = 0,001094 – 0,000794 = 0,0003 м,

что соответствует = 3 10–4 м, т. е. величине межконтактного зазора датчика.

Перемещение чувствительного элемента датчика можно определить также путем численного решения уравнения (3.26).

Для этого нужно сначала определить xд t0 и xд t0 в мо-

мент времени t0 = 0,00015 с. В соответствии с (3.17) и (3.18)

имеем xд t0 0, 00005625 м и xд t0 1,125 м/с.

На рис. 3.3 показаны зависимости перемещения xи.т и xд от времени, полученные в результате численного решения уравнения (3.26).

На момент времени tср = 0,000403 c имеем xи.т = 0,000794 м и xд = 0,001094 м. В соответствии с формулой (3.3) получим перемещениечувствительного элемента датчика:

q = 0,001094 – 0,000794 = 0,0003 м,

что соответствует = 3 10–4 м, т. е. величине межконтактного зазора датчика.

Рис. 3.3. Зависимости перемещения от времени инерционного тела датчика и корпуса датчика

54

Таким образом, в результате аналитического и численного решений уравнения (3.26), представляющего собой уравнение движения чувствительного элемента датчика при его кинематическом возмущении, соответствующем разгону корпуса датчика, подтверждено, что данное уравнение является динамической моделью порогового датчика инерционного типа, у которого силовую характеристику упругого элемента можно описать уравнением F(q) = F0 – cq.

3.2. Построение динамических моделей пороговых датчиков инерционного типа при кинематическом возмущении, соответствующем торможению корпуса датчика

Построим динамические модели датчиков № 1 и № 2 при кинематическом возмущении, соответствующем торможению корпуса датчика.

На рис. 3.4. показана динамическая модель датчиков. При торможении начальная скорость корпуса датчика не равна нулю. Обозначим начальную скорость корпуса датчика как V0.

Рис. 3.4. Динамическая модель порогового датчика инерционного типа: xи.т – перемещение инерционного тела датчика, xд – перемещение корпуса датчика

55

Примем, что зависимость скорости корпуса датчика от времени при действии на него ускорения в виде j(t) = kt, возникающего при торможении, определяется как

Зависимость перемещения корпуса датчика от времени можно определить по формуле

Из рис. 3.4 видно, что при торможении корпуса датчика и перемещении инерционного тела относительно него на величину q перемещение корпуса датчика xд в абсолютной системе координат меньше, чем перемещение инерционного тела xи.т. Поэтому перемещение инерционного тела относительно корпуса датчика можно записать в виде

Получим уравнение движения чувствительного элемента датчика № 1, у которого силовая характеристика упругого элемента описывается уравнением F(q) = F0 + cq. С учетом уравнения (3.42) можно записать выражение F(q), опустив

Составим дифференциальное уравнение движения чувствительного элемента датчика в абсолютной системе координат в виде

Преобразовав уравнение (3.46) и разделив все его части на m, получим уравнение движения в окончательном виде:

Уравнение (3.47) является неоднородным дифференциальным уравнением, его можно решить численным методом, считая известными параметры датчика, временные зависимо-

сти xд t , xд t и определив соответствующие начальные

условия.

Получим решение данного уравнения в аналитическом виде для модельной задачи, в которой на корпус датчика при его торможении действует ускорение, имеющее временную зависимость j(t) = kt.

Решение дифференциального уравнения (3.47) представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения и частного решения:

Однородное дифференциальное уравнение имеет вид

Получение общего решения однородного дифференциального уравнения, имеющего данный вид, подробно рассмотрено в главе 2. Таким образом, общее решение однородного уравнения (3.49) запишется в виде

где С1 и С2 – произвольные постоянные, определяемые из начальных условий.

Теперь найдем частное решение xчаст, но сначала подставим в уравнение (3.47) выражение (3.41), в результате получим уравнение

или, раскрыв скобки,

Исходя из вида правой части уравнения (3.52), выражение длячастного решениябудем искатьтакже в виде многочлена:

то, подставив соответствующие выражения в (3.52), получим

6At 2B 02 At3 Bt2 Ct D

Раскрыв в выражении (3.54) скобки и приравняв соответствующие члены в левой и правой частях, получим выражения для А, В, С и D:

D j0 .

02

Поэтому выражение для частного решения будет иметь вид

Решение для уравнения (3.47) с учетом (3.52) запишется в виде

58

Для определения постоянных С1 и С2 из начальных условий продифференцируем уравнение (3.56), в результате получим уравнение

Рассмотрим начальные условия. Чувствительный элемент датчика начнет перемещаться с момента времени t0, когда ускорение j(t), действующее на датчик, достигнет значения j0, равного порогу по ускорению срабатывания датчика, т. е. когда будет выполнено условие j0 = kt0.

Перемещение корпуса датчика в момент времени t0 можно определить по формуле

а скорость корпуса датчика – по формуле

Из уравнений (3.56) и (3.57) с учетом начальных условий (3.58) и (3.59) составим систему уравнений

В результате решения данной системы уравнений находим постоянные коэффициенты С1 и С2:

Подставляя полученные значения в уравнение (3.56), получим уравнение движения чувствительного элемента в окончательном виде:

Проверим полученную формулу для датчика № 1 с па-

раметрами j0 = 15000 м/с2 (1500 g), m = 1 10–3 кг, c = 6560 Н/м, = 3 10–4 м при действии линейно возрастающего ускорения j(t) = kt, где k = 108 м/с3 – темп нарастания ускорения.

Ранее было получено, что время срабатывания датчика при действии данного ускорения составляет tср = 0,000414 c (414 мкс). Так как j0 = 15000 м/с2, то t0 = 0,00015 с. Примем,

что V0 = 1000 м/с.

Подставив все данные в уравнение (3.63), получим, что к моменту времени tср = 0,000414 c чувствительный элемент переместится на 0,413117 м (или 413,117 мм). При этом корпус датчика переместится к моменту времени tср = 0,000414 c

на 0,412817 м (или 412,817 мм).

В соответствии с формулой (3.42) получим перемещение чувствительного элемента датчика:

60