Динамика чувствительных элементов пороговых устройств автоматики. Учебное издание

Таким образом, корни характеристического уравнения (2.10) различные и при этом комплексные, поэтому паре комплексных корней уравнения (2.7) соответствуют два частных решения

Вместо этих двух решений рассмотрим некоторые их комбинации, которые также будут решениями уравнения (2.7) вследствие следующих теорем [7] о свойствах частных решений линейных дифференциальных уравнений (для рассматриваемого случая).

Теорема 1. Если функция q1 является решением уравнения (2.7), то и функция Cq1 есть решение этого уравнения, где C – произвольная постоянная.

Теорема 2. Если функции q1 и q2 являются решениями уравнения (2.7), то и функция q1 + q2 есть решение этого уравнения.

На основании данных теорем рассмотрим функции

преобразуем выражения (2.12) и (2.13) с учетом (2.11) следующим образом:

31

q2 e 0 i 0 t 2ie 0 i 0 t e0t ei 0t 2ie i 0t e0t sin 0t.

Так как e0t 1 , то общее решение однородного уравнения (2.7) запишется в виде

где С1 и С2 – произвольные постоянные, определяемые из начальных условий.

Теперь найдем частное решение qчаст. Исходя из вида правой частиуравнения (2.3), частное решение будем искать в виде

то, подставив соответствующие выражения в (2.3), получим уравнение

Раскрыв скобки и приравняв соответствующие части, найдем

Тогда частное решение запишется в виде

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (2.3) запишется в виде

Для нахождения постоянных коэффициентов С1 и С2 продифференцируем уравнение (2.18), получим

Данные начальные условия определяют, что движение инерционного элемента начинается в тот момент, когда выполнено условие j0 = kt0.

Из уравнений (2.18) и (2.19) с учетом начальных условий составим систему уравнений

В результате решения данной системы уравнений находим постоянные коэффициенты С1 и С2:

Из уравнения (2.23) можно получить аналитическую зависимость (с некоторым приближением) времени tср срабатывания датчика от параметров j0, k и величины межконтактного зазора при нагружении линейно возрастающим ускорением.

Для этого используем формулу разложения функции

6

откуда находим искомую зависимость

34

Формула (2.26) впервые была получена в работах кандидата технических наук В. П. Дмитриева и доктора технических наук Ю. Н. Бухарева и широко применяется в настоящее время для инженерной оценки времени срабатывания пороговых датчиков инерционного типа при их нагружении с различными темпами нарастания ускорения.

Следует подчеркнуть, что формула (2.26) будет давать точный результат при условии, что разница между sin z

составляет не более 10–6 с. Поэтому применять формулу (2.26) для определения времени срабатывания датчика при действии линейно возрастающего ускорения с точностью порядка единиц микросекунд можно только при выполнении условия

Определим время tср срабатывания датчика №1, имеюще-

го параметры j0 = 15000 м/с2 (1500 g), m = 1 10–3 кг, с= 6560 H/м,

= 3 10–4 м, при действии линейно возрастающего ускорения j(t) = kt, где k = 108 м/с3 – темп нарастания ускорения, полученный путем решения уравнения (2.23) численным методом. В результате получим tср = 0,000414 c (414 мкс) как время от момента начала действия ускорения на датчик до момента замыкания его электрического контакта или до момента пе-

ремещения чувствительного датчика на величину рабочего хода = 3 10–4 м.

На рис. 2.2 показан график зависимости перемещения чувствительного элемента датчика от времени.

35

Рис. 2.2. Зависимость перемещения чувствительного элемента датчика от времени в соответствии с уравнением (2.22)

2.3. Построение динамической модели порогового датчика инерционного типа с упругим элементом отрицательной жесткости при силовом возмущении

Получим уравнение движения чувствительного элемента датчика, у которого силовая характеристика упругого элемента описывается уравнением F(q) = F0 – cq.

Составим дифференциальное уравнение движения чувствительного элемента датчика в виде

Подставив в (2.28) уравнения j(t) = kt и F(q) = F0 – cq, получим уравнение

Разделив данное уравнение на m и преобразовав, получим уравнение движения в окончательном виде:

В уравнении (2.30) приняты следующие обозначения: j0 Fm0 ,

36

где j0 – порог по ускорению срабатывания датчика, и

02 mс ,

где 02 – параметр, характеризующий отношение коэффици-

ента жесткости упругого элемента к массе чувствительного элемента датчика, так как рассматриваемая динамическая система уже не является колебательной.

Уравнение (2.30) является неоднородным дифференциальным уравнением. Его решение представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения и частного решения:

Найдем решение линейного однородного уравнения (2.32). Будем искать частные решения также в виде q = ert. Так как

то, подставив соответствующие выражения в (2.32), получим

Множитель ert в формуле (2.34) не обращается в нуль ни при каком значении t. Поэтому функция q = ert удовлетворяет линейному однородному дифференциальному уравнению (2.32) тогда и только тогда, когда число r является корнем характеристического уравнения

Корни характеристического уравнения (2.35)

37

различные и действительные, поэтому паре действительных корней уравнения (2.32) соответствуют два частных решения

а общее решение однородного уравнения (2.32) запишется в виде

где С1 и С2 – произвольные постоянные, определяемые из начальных условий.

Теперь найдем частное решение qчаст. Исходя из вида правой части уравнения (2.30), частное решение будем искать также в виде

то, подставив соответствующие выражения в (2.30), получим уравнение

Раскрыв скобки и приравняв соответствующие части, найдем

Тогда частное решение запишется в виде

Для нахождения постоянных коэффициентов С1 и С2 продифференцируем уравнение (2.41), в результате чего получим уравнение

Данные начальные условия определяют, что движение инерционного элемента начинается в тот момент, когда выполнено условие j0 = kt0.

Из уравнений (2.41) и (2.42) с учетом начальных условий cоставим систему уравнений

В результате решения данной системы уравнений находим постоянные коэффициенты С1 и С2:

Подставляя С1 и С2 вуравнение (2.41), получим уравнение

39