Динамика чувствительных элементов пороговых устройств автоматики. Учебное издание

Определим время срабатывания датчика № 2, имеющего

параметры j0 = 15000 м/с2 (1500 g), m = 1,6 10–4 кг, с= 5000 Н/м,

= 3 10–4 м, при действии линейно возрастающего ускорения j(t) = kt, где k = 108 м/с3 – темп нарастания ускорения, полученный путем решения уравнения (2.49) численным методом. В результате получим tср = 0,000403 c (403 мкс) как время от момента начала действия ускорения на датчик до момента замыкания его электрического контакта или до момента пе-

ремещения чувствительного датчика на величину рабочего хода = 3 10–4 м.

На рис. 2.3 показан график зависимости перемещения чувствительного элемента датчика от времени.

Рис. 2.3. Зависимость перемещения чувствительного элемента датчика от времени в соответствии с уравнением (2.48)

Следует отметить, что сравнение времени срабатывания датчиков № 1 и № 2 показало, что датчик № 2 с такими же параметрами j0 и , как и у датчика № 1, но имеющий упругий элемент отрицательной жесткости, обладает повышенным быстродействием, т. е. срабатывает быстрее в условиях нагружения датчиков одинаковым ускорением.

41

ГЛАВА 3

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЧУВСТВИТЕЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПОРОГОВЫХ УСТРОЙСТВ АВТОМАТИКИ ПРИ КИНЕМАТИЧЕСКОМ ВОЗМУЩЕНИИ

3.1. Построение динамических моделей пороговых датчиков инерционного типа при кинематическом возмущении, соответствующем разгону корпуса датчика

Под кинематическим возмущением пороговых датчиков инерционного типа будем понимать перемещение корпуса датчика по заданному закону. При этом при построении динамических моделей датчиков принимаются те же допущения, указанные в главе 2, что и при силовом возмущении.

При кинематическом возмущении следует различать перемещение корпуса датчика в составе движущегося объекта при его разгоне и торможении, так как начальные условия перемещения инерционного тела датчика в этих случаях будут отличаться. Соответствующие обоснования с примерами будут приведены в дальнейшем при построении динамических моделей.

С целью взаимной верификации построенных динамических моделей пороговых датчиков инерционного типа при кинематическом и силовом возмущениях зависимости перемещения корпуса датчика при его разгоне и торможении от времени будут получены исходя из условий нагружения, эквивалентных условиям нагружения при силовом возмущении, т. е. при действии на датчик ускорения, изменяющегося по линейному закону в виде j(t) = kt. В этом случае времена сра-

42

батывания датчика № 1 и датчика № 2 при силовом и кинематическом возмущениях должно быть одинаковым.

Построим динамические модели датчиков № 1 и № 2 при кинематическом возмущении, соответствующем разгону корпуса датчика.

На рис. 3.1 показана динамическая модель датчиков. При разгоне начальная скорость корпуса датчика равна нулю.

Рис. 3.1. Динамическая модель порового датчика инерционного типа: xи.т – перемещение инерционного тела датчика, xд – перемещение корпуса датчика

Примем, что зависимость скорости корпуса датчика от времени при действии на него ускорения в виде j(t) = kt определяется после интегрирования данной зависимости как

Соответственно зависимость перемещения корпуса датчика от времени можно определить по формуле

Из рис. 3.1 видно, что при разгоне корпуса датчика и перемещении инерционного тела относительно корпуса датчика на величину q перемещение корпуса датчика xд в абсолютной системе координат больше, чем перемещение инер-

43

ционного тела xи.т. Поэтому перемещение инерционного тела относительно корпуса датчика можно записать в виде

Получим уравнение движения чувствительного элемента датчика, у которого силовая характеристика упругого элемента описывается уравнением F(q) = F0 + cq. С учетом уравнения (3.3) можно записать выражение F(q), опустив аргу-

Составим дифференциальное уравнение движения чувствительного элемента датчика в абсолютной системе координат в виде

Преобразовав уравнение (3.6) и разделив все его части на m, получим уравнение движения в окончательном виде:

В уравнении (3.7) приняты следующие обозначения:

j0 Fm0 ,

где j0 – порог по ускорению срабатывания датчика, и

02 mс ,

где 02 – квадрат угловой частоты колебаний чувствительно-

го элемента датчика.

Уравнение (3.7) является неоднородным дифференциальным уравнением, его можно решить численным методом, например, методом Рунге – Кутты, считая известными пара-

44

метры датчика, временные зависимости xд t , xд t и опре-

делив соответствующие начальные условия.

Научный и практический интерес представляет решение данного уравнения в аналитическом виде для модельной задачи, в которой, как уже говорилось, на корпус датчика при его разгоне действует ускорение, имеющее временную зависимость j(t) = kt.

Решение дифференциального уравнения (3.7) представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения и частного решения:

Однородное дифференциальное уравнение имеет вид

Получение общего решения однородного дифференциального уравнения, имеющего данный вид, подробно рассмотрено в главе 2. Таким образом, общее решение однородного уравнения (3.9) запишется в виде

где С1 и С2 – произвольные постоянные, определяемые из начальных условий.

Теперь найдем частное решение xчаст, но вначале подставим в уравнение (3.7) выражение (3.2), в результате чего получим уравнение в виде

то, подставив соответствующие выражения в (3.11), получим

Раскрыв в выражении (3.13) скобки и приравняв соответствующие члены в левой и правой частях, получим выражения для А, В, С и D в виде

A 16 k,

B 0,

C k2 ,

0

D j0 .

02

Соответственно, выражение для частного решения запишется в виде

Поэтому решение для уравнения (3.7) с учетом (3.11) запишется в виде

Для определения постоянных С1 и С2 из начальных условий продифференцируем уравнение (3.15), в результате получим уравнение

Рассмотрим начальные условия. Чувствительный элемент датчика начнет перемещаться с момента времени t0, когда ускорение j(t), действующее на датчик, достигнет значе-

46

ния j0, равного порогу по ускорению срабатывания датчика, т. е. когда выполнено условие j0 = kt0.

Перемещение корпуса датчика в момент времени t0 можно определить как

а скорость корпуса датчика – по формуле

Из уравнений (3.15) и (3.16) с учетом начальных условий составим систему уравнений

В результате решения данной системы уравнений находим постоянные коэффициенты С1 и С2:

Подставляя полученные значения в уравнение (3.15), в окончательном виде получим

47

Проверим полученную формулу для датчика № 1 с па-

раметрами j0 = 15000 м/с2 (1500 g), m = 1 10–3 кг, c = 6560 Н/м,

= 3 10–4 м при действии линейно возрастающего ускорения j(t) = kt, где k = 108 м/с3 – темп нарастания ускорения. Ранее было получено время срабатывания датчика при действии данного ускорения tср = 0,000414 c (414 мкс). Так как j0 = 15000 м/с2, то t0 = 0,00015 с.

Подставив все данные в уравнение (3.22), получим, что к моменту времени tср = 0,000414 c чувствительный элемент переместится на 0,000882 м (или 0,882 мм). При этом корпус датчика переместится к моменту времени tср = 0,000414 c на

0,001182 м (или 1,182 мм).

В соответствии с формулой (3.3) найдем перемещение чувствительного элемента датчика:

q = 0,001182 – 0,000882 = 0,0003 м,

что соответствует = 3 10–4 м, т. е. величине межконтактного зазора датчика.

Перемещение чувствительного элемента датчика можно определить также путем численного решения уравнения (3.7).

Для этого нужно сначала определить xд t0 и xд t0 в мо-

мент времени t0 = 0,00015 с. В соответствии с (3.17) и (3.18)

имеем: xд t0 0, 00005625 м, xд t0 1,125 м/с.

48

На рис. 3.2 показаны зависимости перемещения xи.т и xд от времени, полученные в результате численного решения уравнения (3.7).

Рис. 3.2. Зависимости перемещения от времени инерционного тела датчика и корпуса датчика

На момент времени tср = 0,000414 c имеем xи.т = 0,000875 м и xд = 0,001182 м. В соответствии с формулой (3.3) получим перемещение чувствительного элемента датчика:

q = 0,001182 – 0,000875 = 0,000307 м,

что соответствует зазора датчика.

Таким образом, в результате аналитического и численного решений уравнения (3.7), представляющего собой уравнение движения чувствительного элемента датчика при его кинематическом возмущении, соответствующем разгону корпуса датчика, подтверждено, что данное уравнение является динамической моделью порогового датчика инерционного типа, у которого силовую характеристику упругого элемента можно описать уравнением F(q) = F0 + cq.

49

Получим уравнение движения чувствительного элемента датчика, у которого силовая характеристика упругого элемента описывается уравнением F(q) = F0 – cq. C учетом уравнения (3.3) можно записать выражение F(q), опустив аргумент t, в виде

(3.23)

Составим дифференциальное уравнение движения чувствительного элемента датчика в абсолютной системе координат в виде

Преобразовав уравнение (3.25) и разделив все его части на m, получим уравнение движения в окончательном виде:

В уравнении (3.26) приняты следующие обозначения: j0 Fm0 ,

где j0 – порог по ускорению срабатывания датчика, и

02 mс ,

где 02 – параметр, характеризующий отношение коэффици-

ента жесткости упругого элемента к массе чувствительного элемента датчика, так как рассматриваемая динамическая система уже не является колебательной.

Уравнение (3.26) является неоднородным дифференциальным уравнением, его можно решить численным методом, считая известными параметры датчика, временные зависимо-