Динамика чувствительных элементов пороговых устройств автоматики. Учебное издание

q 0, 413117 0, 412817 0, 0003 м,

что соответствует = 3 10–4 м, т. е. величине межконтактного зазора датчика.

Перемещение чувствительного элемента датчика можно определить также путем численного решения уравнения (3.47).

Для этого нужно сначала определить xд t0 и xд t0

вмомент времени t0 = 0,00015 c. Примем, что V0 = 1000 м/с.

Всоответствии с (3.58) и (3.59) имеем xд t0 0,14994 м

и xд t0 998,875 м/с.

На рис. 3.5 показаны зависимости перемещения xи.т и xд от времени, полученные в результате численного решения уравнения (3.47).

Рис. 3.5. Зависимости перемещения от времени инерционного тела датчика и корпуса датчика

На момент времени tср = 0,000414 c имеем xи.т = 0,413124 м и xд = 0,412817 м. В соответствии с формулой (3.42) получим перемещение чувствительного элемента датчика:

q 0, 413124 0, 412817 0, 000306 м,

что соответствует = 3 10–4 м, т. е. величине межконтактного зазора датчика.

61

Таким образом, в результате аналитического и численного решений уравнения (3.47), представляющего собой уравнение движения чувствительного элемента датчика при его кинематическом возмущении, соответствующем торможению корпуса датчика, подтверждено, что данное уравнение является динамической моделью порогового датчика инерционного типа, у которого силовую характеристику упругого элемента можно описать уравнением F(q) = F0 + cq.

Получим уравнение движения чувствительного элемента датчика № 2, у которого силовая характеристика упругого элемента описывается уравнением F(q) = F0 – cq. С учетом уравнения (3.42) можно записать выражение F(q), опустив

Составим дифференциальное уравнение движения чувствительного элемента датчика в абсолютной системе координат в виде

Преобразовав уравнение (3.66) и разделив все его части на m, получим уравнение движения в окончательном виде:

Уравнение (3.67) является неоднородным дифференциальным уравнением, его можно решить численным методом, считая известными параметры датчика, временные зависимо-

сти xд t , xд t и определив соответствующие начальные

условия.

Получим решения данного уравнения в аналитическом виде для модельной задачи, в которой на корпус датчика при

62

его торможении действует ускорение, имеющее временную зависимость j(t) = kt.

Решение дифференциального уравнения (3.67) представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения и частного решения:

Однородное дифференциальное уравнение имеет вид

Получение общего решения однородного дифференциального уравнения, имеющего данный вид, подробно рассмотрено в главе 2. Таким образом, общее решение однородного уравнения (3.69) запишется в виде

где С1 и С2 – произвольные постоянные, определяемые из начальных условий.

Найдем теперь частное решение xчаст, но сначала подставим в уравнение (3.67) выражение (3.41), в результате чего получим уравнение в виде

или, раскрыв скобки, в виде

длячастного решения будем искать также в виде многочлена:

то, подставив соответствующие выражения в (3.72), получим

63

6At 2B 02 At3 Bt2 Ct D

Раскрыв в выражении (3.74) скобки и приравняв соответствующие члены в левой и правой частях, получим выражения для А, В, С и D:

D j0 .

02

Поэтому выражение для частного решения запишется в виде

Решение для уравнения (3.67) с учетом (3.71) запишется в виде

Для определения постоянных С1 и С2 из начальных условий продифференцируем уравнение (3.76), в результате получим уравнение

Рассмотрим начальные условия. Чувствительный элемент датчика начнет перемещаться с момента времени t0, ко-

64

гда ускорение j(t), действующее на датчик, достигнет значения j0, равного порогу по ускорению срабатывания датчика, т. е. когда будет выполнено условие j0 = kt0. Поэтому перемещение корпуса датчика в момент времени t0 можно определить как

В результате решения данной системы уравнений находим постоянные коэффициенты С1 и С2:

Подставляя полученные значения в уравнение (3.76), получим уравнение движения чувствительного элемента в окончательном виде:

65

Проверим полученную формулу для датчика № 2 с пара-

метрами j0 = 15000 м/с2 (1500 g), m = 1,6 10–4 кг, c = 5000 Н/м,

= 3 10–4 м при действии линейно возрастающего ускорения j(t) = kt, где k = 108 м/с3 – темп нарастания ускорения.

Ранее было получено, что время срабатывания датчика при действии данного ускорения составляет tср = 0,000403 c (403 мкс). Так как j0 = 15000 м/с2, то t0 = 0,00015 с. Примем,

что V0 = 1000 м/с.

Подставив все данные в уравнение (3.83), получим, что к моменту времени tср = 0,000403 c чувствительный элемент переместится на 1,18664 м (или 1186,64 мм). При этом корпус датчика переместится к моменту времени tср = 0,000403 c на

1,18634 м (или 1186,34 мм).

В соответствии с формулой (3.42) получим перемещение чувствительного элемента датчика:

q 1,18664 1,18634 0, 0003 м,

что соответствует = 3 10–4 м, т. е. величине межконтактного зазора датчика.

Перемещение чувствительного элемента датчика можно определить также путем численного решения уравнения

(3.67). Для этого нужно вначале определить xд t0 и xд t0 в момент времени t0 = 0,00015 с. Примем, что V0 = 1000 м/с.

66

В соответствии с (3.78) и (3.79) имеем также xд t0 0,14994 м и xд t0 998,875 м/с.

На рис. 3.6 показаны зависимости перемещения xи.т и xд от времени, полученные в результате численного решения уравнения (3.67).

Рис. 3.6. Зависимости перемещения от времени инерционного тела датчика и корпуса датчика

На момент времени tср = 0,000403 c имеем xи.т = 0,402676 м и xд = 0,402376 м. В соответствии с формулой (3.42) получим перемещение чувствительного элемента датчика:

q 0, 402676 0, 402376 0,0003 м,

что соответствует = 3 10–4 м, т. е. величине межконтактного зазора датчика.

Таким образом, в результате аналитического и численного решений уравнения (3.67), представляющего собой уравнение движения чувствительного элемента датчика при его кинематическом возмущении, соответствующем торможению корпуса датчика, подтверждено, что данное уравнение является динамической моделью порогового датчика инерционного типа, у которого силовую характеристику упругого элемента можно описать уравнением F(q) = F0 – cq.

67

3.3. Алгоритмы поиска начальных условий для численного решения уравнений движения чувствительных элементов датчиков

Для численного решения полученных уравнений движения чувствительных элементов датчиков необходимо определить начальные условия.

При силовом возмущении начальными условиями являются равенство нулю перемещения и скорости чувствительных элементов датчиков в момент времени t0, когда действующее на датчик ускорение будет равно его порогу по

ускорению срабатывания, т. е. q t0 q t0 0 .

Если зависимость ускорения j(t), действующего на датчик, дается в виде аналитической зависимости, то момент времени t0 легко определяется из условия j0 = j(t0). В том случае, когда временная зависимость ускорения, действующего на датчик, дается в виде исходных данных в табличном виде, полученных в ходе динамических расчетов или в результате проведения натурных испытаний, процесс определения момента времени t0 несколько усложняется. Для этого необходимо интерполировать временную зависимость ускорения, предварительно получив соответствующие коэффициенты, например, кубического сплайна. Получив временную зависимость ускорения j(t) в виде некой функции, t0 можно определяется из условия j0 = j(t0) Определив t0 и имея временную зависимость ускорения j(t), перемещение чувствительного элемента датчика находим путем численного решения соответствующего уравнения движения.

При кинематическом возмущении пороговых датчиков инерционного типа начальными условиями являются перемещение и скорость корпуса датчика также в момент времени t0, когда действующее на датчик ускорение будет равно его порогу по ускорению срабатывания. При этом в качестве ис-

68

ходных данных должны быть указаны временные зависимости перемещения и скорости корпуса датчика при его разгоне или торможении соответственно. Кроме того, если при разгоне корпуса датчика считается, что начальная скорость корпуса датчика равна нулю, то при торможении корпуса датчика необходимо знать его начальную скорость, начиная с некоего начального момента времени, т. е. при t = 0.

Если исходные данные для расчета перемещений чувствительного элемента датчика даны в виде таблицы, содержащей данные по изменению времени t с некоторым шагом, соответствующему изменениям положения корпуса датчика

xд t и его скорости xд t , то для определения момента вре-

мени t0 можно использовать следующий алгоритм.

Так как временная зависимость xд t известна, то счи-

тается известным положение корпуса датчика в некие моменты времени tn и tn+1, которые соотносятся как tn+1 = tn + t, где t – шаг по времени, с которым представлены исходные дан-

ные. В связи с тем, что временная зависимость xд t может

быть многократно продифференцирована, ее можно представить, разложив в ряд Тейлора [5]:

xд tn 1 xд tn xд tn tn 1 tn

Из формулы (3.84) можно найти ускорение корпуса датчика xд tn в момент времени tn:

В том случае, когда ускорение корпуса датчика xд tn будет равно порогу по ускорению срабатывания датчика j0, за

69

время t0 принимается момент времени tn. Поэтому начальные условия определятся как

xд t0 xд tn и xд t0 xд tn . (3.86)

Продемонстрируем применение данного алгоритма на модельной задаче.

Будем рассматривать условия кинематического возмущения датчика с порогом по ускорению срабатывания j0 = 15000 м/с2. Пусть условия кинематического возмущения соответствуют действию на датчик линейно возрастающего ускорения j(t) = kt, где k = 108 м/с3 – темп нарастания ускорения. Так как в данном случае известно, что при t = 0,00015 c

Данный алгоритм поиска начальных условий может применяться и в случае, когда в результате расчетов или непосредственно при испытаниях в натурных условиях получен

массив исходных данных t, xд t и xд t В данном случае необходимо вычислить значения xд t для всех моментов времени tn и сравнить их с j0. При этом может оказаться, что

70