Министерство образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Национальный минерально-сырьевой университет «Горный»

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

В ШЕСТИ ТОМАХ

Том 3

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

УЧЕБНИК

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2015

ISBN 978-5-94211-712-2 (Том 3) ISBN 978-5-94211-709-2

u v v u;

u v w u v w;

u v w u w v w.

Если на плоскости введена прямоугольная декартова система координат Oxy, то всякое комплексное число (а;b) можно изобразить точкой на плоско-

сти, положив x a, y b . Плоскость, изображающая множество комплекс-

ных чисел, называется комплексной плоскостью. Ясно, что при этом устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством комплексных чисел и множеством точек комплексной плоскости. Так как всякое комплексное число вида (а;0) изображается точкой оси Ох, то множество комплексных чисел вида (а;0) можно отождествить с множеством вещественных чисел и, следовательно, рассматривать множество комплексных чисел как расширение множества вещественных чисел. Например, комплексные числа (0;0) и (2;0) являются обычными вещественными числами 0 и 2, в общем виде

Обозначим комплексное число (0;1) буквой i и вычислим произведение комплексных чисел (b;0) и (0;1) согласно формуле (7.3):

В согласии с формулой (7.2) всякое комплексное число (а;b) можно представить в виде

Используя формулы (7.4) и (7.5), можем записать равенство (7.6) в виде

a;b a bi.

Выражение а + bi называется алгебраической формой комплексного числа (а;b). Комплексное число i называется мнимой единицей, число a –

вещественной частью комплексного числа, а число b – мнимой частью

этого числа. При этом используются обозначения а = Re(a+bi), b = Im(a+bi). Числа вида bi часто называются чисто мнимыми числами.

Вычислим, например, величины i2,i3,i4 :

i2 i i 0;1 0;1 0 0 1 1;0 1 1 0 1;0 1;

i3 i2 i 1 i i;

i4 i2 i2 1 1 1.

Заметим, что, используя равенство i2 1, часто чисто условно пишут,

что i 1 и определяют комплексные числа как выражения вида а + bi.

5

Операции сложения и умножения комплексных чисел в алгебраической форме можно выполнять по обычным правилам алгебры многочленов, если учесть, что

i2 1,i3 i,i4 1 и i4n 1 i, i4n 2 1, i4n 3 i, i4n 1,

где п – любое натуральное число.

Комплексное число а – bi называется сопряженным комплексному числу z = а + bi и обозначается символом z . Очевидно, что

z z 2a, z z a2 b2.

7.1.2. Арифметические действия с комплексными числами

Для комплексных чисел вводятся операции вычитания и деления, которые определяются как действия, обратные сложению и умножению. Разностью u – v комплексных чисел u a bi и c di называется такое комплексное число z x yi, которое в сумме с числом v дает число и, т.е. z u. Отсюда для определения чисел x и y имеем x a c, y b d.

зывается такое комплексное число z x yi, которое при умножении на число v дает число и, т.е.

Для определения числа z сначала обе части равенства (7.7) умножим наc di, а затем разделим на вещественное число c2 d2 . Будем последовательно иметь

z c2 d2 ac bd bc ad i;

Введем на комплексной плоскости (рис.7.1) полярную систему координат Or , где r – расстояние произвольной точки от начала координат O; – угол между радиусом-вектором выбранной точки и

уположительным направлением оси Ox. Используя

6

Представление комплексного числа z в виде (7.9) называется тригоно-

метрической формой комплексного числа z. Неотрицательное число r называют модулем комплексного числа z, а угол – аргументом этого числа.

При этом используются обозначения

r z; Argz.

Заметим, что каждое комплексное число имеет бесконечное множество значений аргумента, отличающихся друг от друга на число, кратное 2 (число z = 0 имеет модуль, равный нулю, а аргумент для него не определяется). Среди всех значений аргумента выделяют так называемое главное значение, которое обозначают символом argz и которое заключено в промежутке 0;2

или ; .

Зная модуль и аргумент комплексного числа, можно по формулам (7.8) найти его вещественную (a) и мнимую (b) части. Наоборот, зная вещественную и мнимую части комплексного числа, можно найти модуль этого числа

r a2 b2 .

Формула получена после возведения в квадрат каждой из частей равенств (7.8), сложения и извлечения квадратного корня. Аргумент при этом определяется с помощью формул

которые получаются из формул (7.8).

Покажем теперь, что тригонометрической формой комплексных чисел довольно удобно пользоваться при следующих действиях:

•умножении комплексных чисел;

•делении комплексных чисел;

•возведении комплексного числа в целую положительную степень;

•извлечении корня из комплексного числа.

Пусть заданы два комплексных числа в тригонометрической форме

z1 r1 cos 1 isin 1 , z2 r2 cos 2 isin 2 .

Таким образом, модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению их модулей, а аргумент этого произведения равен сумме аргументов сомножителей.

7

Используя определение частного двух комплексных чисел, нетрудно показать справедливость равенства

z1 r1 cos( 1 2 ) isin( 1 2 ) , z2 r2

которое означает, что модуль частного двух комплексных чисел равен частному их модулей, а аргумент равен разности аргументов делимого и делителя.

Используя формулу (7.10), легко показать справедливость формулы для возведения комплексного числа в целую положительную степень п:

которая носит название формулы Муавра.

Комплексное число w R cos isin называют корнем степени п из

w nz.

Используя формулу Муавра и учитывая, что аргумент комплексного числа определяется с точностью до слагаемого, кратного 2π, можем написать

Остальным значениям k соответствуют значения , отличающиеся от одного из указанных значений на величину, кратную 2π.

Итак, nz имеет n различных значений, определяемых формулой

причем nr означает положительное значение корня степени n из положительного вещественного числа r.

При изучении комплексных чисел также играет большое значение формула Эйлера, которая связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями. Формула Эйлера утверждает, что для любого действи-

тельного числа x выполняется равенство eix cosx isin x, где e – основание натурального логарифма, i – мнимая единица.

8

Формула Эйлера впервые была приведена в книге «Гармония мер» английского математика Роджера Котса (помощника Ньютона), которая была издана в 1722 г., уже после смерти автора. Котс открыл формулу около 1714 г. и выразил ее в логарифмической форме: ln cosx isin x ix.

Эйлер опубликовал формулу в её привычном виде в статье 1740 г. и в книге «Введение в анализ бесконечно малых» (1748), построив доказательство на равенстве бесконечных разложений в степенные ряды правой и левой

Известное тождество Эйлера, связывающее две фундаментальные мате-

матические константы: ei 1 0,является частным случаем формулы Эйлера

при x = Благодаря формуле Эйлера появилась так называемая тригонометрическая и показательная запись комплексного числа:

z a ib r cos isin ri .

Решение. Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, т.е. на число 4 3i. Будем иметь

ской форме.

Решение. В соответствии с изложенным можем написать

Из двух последних формул следует, что 3 /4, тогда данное ком-

плексное число в тригонометрической форме имеет вид

9

Пример 7.4. Вычислить по формуле Муавра 3 i 3.

Решение. Запишем сначала комплексное число 3 i в тригонометрической форме:

Пример 7.5. Найти все значения 31 из множества комплексных чисел. Решение. Рассматривая число 1 как комплексное число 1 0i, легко за-

метить, что его модуль равен 1, а главное значение аргумента равно 0. По формуле (7.12) имеем

или три следующих значения:

cos0 isin0;

cos 2 isin 2 ; 3 3

cos 4 isin 4 . 3 3

Упрощая последние выражения, получим окончательно

10