Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика. Том 3. Элементы высшей алгебры. Интегральное исчисление функций одной переменной и его приложения. Учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

8.3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ

Пусть функции u = u(x) и v = v(x) имеют непрерывные производные u'(x), v'(x). Тогда, как известно, дифференциал их произведения вычисляется по формуле

d(uv) = udv + vdu.

Отсюда, интегрируя, получим

uv udv vdu

или

udv uv vdu.

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Применяя данную формулу, нужно подынтегральное выражение представить в виде двух сомножителей u и dv. Первый из них следует дифференцировать, а второй интегрировать. Поэтому подынтегральное выражение нужно так разбить на сомножители, чтобы интегрирование дифференциала dv не представляло трудностей и чтобы интеграл vdu был либо проще данного, либо был

ему подобен.

Пример 8.20. Найти интеграл xcosxdx.

Решение. Запишем преобразования в виде

	u x,du dx	xsin x sin xdx xsin x cosx C .
xcosxdx		xsin x sin xdx xsin x cosx C .
dv cosxdx,v sin x

Пример 8.21 Найти интеграл 3x2 ln xdx.

Решение. Запишем преобразования в виде

															dx
					u lnx, du															3		5			3			5	dx 3						3		2
	3														x
			2																													3		5
		x	2	lndx																												3		5		x3 dx
								2										5			x3 lnx						x3						x		lnx
								2										5			x3 lnx						x3						x		lnx
									dx, v					3		x				5					5				x	5					5
								3						3				3
								3										3
					dv x
														5
														5
							33							9 3							3									3
							33				5			9 3						5	3		3			5				3
										x		ln x							x		C			x			lnx				C.
							5			x		ln x							x		C			x			lnx				C.
							5							25							5									5
			Пример 8.22. Найти интеграл xe xdx.
			Решение. Произведем преобразования:
				u x;			du dx;										xe x e xdx xe x e x C e x x 1 C.
xe xdx						x	dx;v e						x				xe x e xdx xe x e x C e x x 1 C.
				dv e			dx;v e								;
																																				31

Пример 8.23. Найти интеграл x2					1 sin xdx.
Решение. Преобразуем интеграл:
(x	2		u x2 1;	du 2xdx;		2	1 cosx 2 xcosxdx
(x		1)sin xdx			x		1 cosx 2 xcosxdx
			dv sin xdx;v cosx
		u x;	du dx;		1 cosx 2 xsin x sin xdx
				x2	1 cosx 2 xsin x sin xdx
		dv cosxdx;v sinx

x2 1 cos x 2 xsin x cos x C x2 1 cos x 2xsin x 2cos x

Как видно из этого примера, формулу интегрирования по частям можно применять несколько раз.

Пример 8.24.Найти интеграл arctgxdx.

Решение. Запишем

xdx

u arctgx;du

;

arctgxdx

1 x2

xarctgx

1 x

dv dx;

v x

d(1 x2)

= xarctgx

xarctgx

ln(1 x

) C.

1 x

1		2xdx


2	1 x2

Полезно запомнить два основных класса функций, которые удобно интегрировать по частям. К первому классу относятся интегралы вида

Pn (x)eaxdx;

Pn (x)sinbxdx,

Pn (x)cosbxdx,

где Pn(x), – многочлен степени n , т.е.

Pn(x) = C0xn + C1xn-1 +…+ Cn-1x + Cn

Если в этих интегралах положить u = Pn(x), то новый интеграл, полученный после применения формулы интегрирования по частям, будет содержать многочлен Qn-1(x), т.е. степень многочлена оказывается на единицу меньше. За dv следует принять соответственно выражения eaxdx, sinbxdx, cosbxdx.

(см. примеры 8.20,8.22,8.23).

Ко второму классу относятся интегралы вида

xk loga xdx;	xk ln xdx;
xk arcsinxdx;	xk arccosxdx;
xk arctgxdx;	xk arcctgxdx.
(здесь k – целое число, k 0).

В этих интегралах за uследует принять трансцендентную функцию соответственно logax, arcsinx, arctgx, и т.п., а за dv – выражение xkdx. Тогда

v xk 1 , а интеграл в правой части не будет содержать трансцендентной k 1

функции,

так

как в

этом случае du

будет соответственно равен

xlna

и т.п. (см. примеры 8.21 и 8.24).

1 x2

Пример 8.25. Найти интеграл I ex sin xdx.

Решение. Преобразуем интеграл:

I e

u ex, du exdx

cosx

cosxdx

sin xdx

dv sinxdx,v cosx

u ex;

du exdx;

cosx e

sin x e

sinxdx .

dv cosxdx;v sinx

Применив дважды операцию интегрирования по частям, мы в правой части снова получим исходный интеграл. Таким образом приходим к уравне-

нию I ex cosx ex sin x I .

Из этого уравнения находим

2I ex cosx ex sin x,

т.е. I =	ex	sinx cosx C	=	ex	(sin x cosx) C.

2			2

Прибавив к найденной первообразной функции произвольную константу интегрирования, получим окончательный результат. Говорят, что это пример нахождения интеграла сведением к «самому себе».

С помощью интегрирования по частям можно также получить некоторые общие формулы.

Пример 8.26. Вывести рекуррентную формулу для интеграла

		.
x2	n
	a2

Решение. Заданный интеграл можно преобразовать так:

1 a2 x2 x2

1 x x dx

x2 a2

2 a2

n 1

xdx

In 1

x2 a2

u x;du dx

xdx

2xdx

; v

2 x

2(n 1)

2 n 1

In 1

2 n

1 x

n 1

2 n 1

In 1

2a2 n 1 x2 a2 n 1

2a2 n 1

или

2n 3

In 1.

2a2 n 1 x2 a2 n 1

2n 2

Полагая n = 2 получим выражение интеграла I2 через элементарные функции. Полагая теперь n = 3, находим I3 ( интеграл I2 уже найден). Таким образом, можно найти In при любом целом положительном n. Выведенная нами рекуррентная формула будет использоваться при интегрировании рациональных функций.

8.4.ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

Вглаве 7 были введены понятия рациональной функции, рациональной дроби, простейшей (элементарной) дроби и типы простейших дробей. В этом разделе будет рассмотрен вопрос об интегрировании рациональных функций.

Рациональная функция одного переменного после всех необходимых упрощений может быть представлена в виде рациональной дроби, интегрирование которой сводится к интегрированию простейших рациональных дробей. Поэтому сначала рассмотрим вопрос об интегрировании простейших дробей.

Интегралы от простейших дробей типов I и II берутся непосредственно, соответственно

	A

		dx Aln	x a	C ;

x a

			m 1
A		dx	A x a	A	1		.

x a	m		m 1		x a	m 1
				m 1

Рассмотрение интеграла от простейшей дроби III типа начнем с частного

случая (M = 0, N = 1). Выделим в знаменателе этой дроби пол- x2 px q

ный квадрат:

				2									2								p		2								p2									p					2						p		2				2			2
			x		px q x									px										q												x											q							t				a			,
			x		px q x									px										q												x											q					4		t				a			,
																			4											4										2												4

где t x					p		a					4q p2							(				p2				q 0).
						,
					2	,								2									4
	Тогда				2									2									4
	Тогда
																					t		x						p
																															;
																															;
										dx																		2													dt								1							t
																						dx dt;																												arctg
							2															dx dt;																2								2				arctg
					x			px q																	4p q2											t					a								a							a
																		a
																		a										2
																												2
											C								2									arctg						2x p									C.

																		4q p2																4q p2
																		4q p2																4q p2
	Пример 8.27. Найти интеграл																																		dx						.


																												x2 4x 13
	Решение. Выделим в знаменателе подынтегральной функции полный
квадрат:
											dx																dx									t x 2													dt

								2																				2		9									dt													2
						x			4x 13										x 2											9						dx			dt										t				9
																1	arctg						t	C								1	arctg				x 2							C.
																	arctg							C									arctg											C.
															3								3							3								3
	Пример 8.28. Найти интеграл																																		dx							.


																												2x2						2x 3
	Решение. Выполним преобразования:

			dx						1							dx										1										dx														1									dx
			dx						1							dx										1										dx														1									dx

		2												2						3																2															2										2
	2x		2x 3						2					2						3			2											1					3									1			2								1			5
											x				x															x																									x
											x				x															x																									x
																			2																2				2									4											2			4
																																			2				2									4											2			4
																																																														35

				1
1		d x
		d x		2
				2

							2
2		1	2
2		1	2			5
	x
	x
		2			2
		2			2


	1	2		x		1			1			2x	1
			arctg	x			2	C			arctg			C .
							2

2		5			5				5	5
				2

Покажем теперь как интегрируются простейшие дроби III типа в общем

			Ax B		p2
виде. Пусть требуется найти интеграл				dx,		q 0.
		2	px q		4
	x

Выделим в числителе подынтегрального выражения производную знаменателя (x2 + px + q)' = 2x + p. Для этого представим числитель в виде

Ax B (2x p)

B .

Тогда

Ax B dx

2x p

px q

2 x

px q

2 x px q

В первом интеграле в числителе стоит дифференциал знаменателя, по-

этому

d x2 px q

2x p

ln x

px q C .

px q

Отметим, что знак модуля под логарифмом можно не ставить, так как

x + px + q > 0 для любого значения х

q 0 . Второй интеграл, как уже

было отмечено, находится по формуле

arctg

2x p

C .

px q

4q p2

Итак, интеграл от дроби III типа

Ax B

ln x

px q

2B Ap

2x p

arctg

px q

4q p2

Пример 8.29. Найти интеграл

3x 2

dx.

2x 5

Решение. Найдем (x2 + 2x + 5)' = 2x + 2. Подберем коэффициенты в числителе подынтегральной функции так, чтобы выделить в нем найденную производную, затем выделим в знаменателе полный квадрат и, поделив почленно числитель на знаменатель, распишем интеграл в виде суммы двух интегралов, вынося постоянный множитель за знак интеграла:

3x 2

2x 2 5

3 2x 2 dx

x2 2x 5

2 x2 2x 5

2x 5

3 d x2 2x 5

ln x2 2x 5

arctg

x 1

C .

2x 5

x 1

Пример 8.30. Найти интеграл

4 x

dx .

4x 10

Решение. Произведя действия, аналогичные преобразованиям в примере 8.29, получим

4 x

2 2x 4 6

2x 4 dx

4x 10

2 x

4x 10

ln x2

4x 10

arctg x

2 C .

x 2

Указанным выше способом можно интегрировать не только простейшие

Ax B

дроби III типа, т.е. дроби вида

0 , но и дроби, в

px q

знаменателе которых стоит квадратный трехчлен, имеющий действительные

	p2
корни		q 0	. В этом случае повторяем аналогичные преобразования с
корни		q 0	. В этом случае повторяем аналогичные преобразования с
	4
	4

той лишь разницей, что в первом интеграле под знаком логарифма обязательно нужно ставить знак модуля (так как выражение x2 + px + q > 0 не для всех х), а второй интеграл после выделения полного квадрата в знаменателе будет не «табличным арктангенсом» (XVIII), а «высоким логарифмом» (ХХ).

		Пример 8.31. Найти интеграл																	5x 6
																						dx.
																						dx.
																x2			3x 2
		Решение. Найдем (x2 – 3x + 2)' = 2x – 3. Проделаем указанные выше пре-
образования подынтегральной функции
		5x 6					5	2x 3					27						5 2x 3 dx					27				dx
								2x 3
				dx		2							2			dx
						2							2
									x2 3x 2																			3 2			1
x2 3x 2									x2 3x 2										2 x2 3x 2					2				3 2			1
																									x
																									x
																												2			4
	5				27				1			x			3		1			5						27			x 2
												x			3		1
		ln	x2 3x 2								ln	2 2							C		ln		x2 3x 2				ln					C.
												2 2

2					2 2					1		x		3				1	2						2					x 1
										1				3				1

								2				2				2
																															37

Теперь покажем, как интегрируются простейшие дроби IV типа. Пусть требуется найти

	Ax B			p2
		dx,	n 1,		q 0.
x2	n			4
	px q

Выделим в числителе подынтегральной функции производную от квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе:

Ax B

2x p B

px q

2x p dx

x2 px q

px q

Первый интеграл легко сводится с помощью приема подведения под знак дифференциала выражения (2x + p) или подстановкой t = x2 + px + q к табличному интегралу II m n , а второй интеграл преобразуем следующим образом:

px q

Обозначив теперь dx = dt,	t x p/2,		a2 q p2 /4, получим
		dx			dx
						.
	x2	n		t2	n
		px q			a2

Этот интеграл уже рассматривался нами в примере 8.26. К нему следует применить рекуррентную формулу.

Пример 8.32.			2x 3
	Найти интеграл			dx .
		x2	2
			2x 5

Решение. Найдем (x2 + 2х + 5)' = 2x + 2 и сделаем соответствующие преобразования:

2x 3

2x 2 1

2x 2 dx

2x 5

t x 1;

d x2 2x 5

dt dx;

x2 2x

t2 4

2x 5

2 4 2 1 t

1 4 3

t x

x 1

arctg

8 x2 2x 5

4 4 2 t2

2x 5

Теперь перейдем к интегрированию рациональной дроби

f (x) Pm (x) , Qn (x)

где

Pm(x) C0xm C1xm 1 ... Cm;

Qn (x) B0xn B1xn 1 ... Bn.

Как было отмечено ранее, рациональная дробь Pm(x)/Qn(x) называется правильной, если старшая степень числителя меньше старшей степени знаменателя (m < n), и неправильной в противном случае (m n).

Если дробь неправильная, то в ней всегда можно выделить целую часть, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочлена на многочлен (см. главу 7), т.е.

f (x) Pm (x) M(x) R(x) , Qn (x) Qn (x)

где М(х) – целая часть; R(x) – остаток от деления.

Так как интегрирование целой части не представляет труда, то задача интегрирования неправильной рациональной дроби фактически сводится к вычислению интеграла от правильной рациональной дроби. Для решения данной задачи нужно правильную дробь представить в виде суммы нескольких простейших дробей по правилам, изложенным в главе 7, после чего проинтегрировать все эти дроби.

Пример 8.33. Найти интеграл

			x2	1
	I					dx .
	I					dx .
		x 1 x 2 x 3
Решение. Имеем равенство
	x2 1			A	B		C
								.
	x 1 x 2 x 3							.
	x 1 x 2 x 3			x 1	x 2		x 3

Умножим обе части равенства на знаменатель левой части и приравняем числители дробей, стоящих в левой и правой частях равенства:

x2 + 1 = A(x – 2)(x – 3) + B(x – 1)(x – 3) + C(x – 1)(x – 2).

Неизвестные коэффициенты можно определить двумя способами. Метод частных значений основан на утверждении, что если два много-

члена равны тождественно, то они равны при любых значениях аргумента. Положив в последнем равенстве последовательно х = 1, х = 2, х = 3, получим

2А = 2, 5 = –В, 10 = 2С. Следовательно, А = 1, В = –5, С = 5.

Метод неопределенных коэффициентов, или сравнение коэффициентов при одинаковых степенях х опирается на правило, согласно которому, если два многочлена равны тождественно, то равны их коэффициенты при одинаковых степенях аргумента. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему

x2 : 1 A B C;

x1 : 0 5A 4B 3C; x0 : 1 6A 3B 2C,

решив которую, найдем А = 1, В = –5, С = 5. Таким образом,

x2 1

x 1 x 2 x 3

x 2

x 1

x 3

и следовательно,

x 1

5ln

x 2

5ln

x 3

C .

x 1

x 2

x 3

Пример 8.34. Найти интеграл

dx.

Решение. Имеем

x 1

(x 3)

x2 1

x 1 2 x 3

x 1 2

x 1

x 3

Освобождаясь от знаменателя, получим

х2 + 1 = A(x + 3) + B(x – 1)(x + 3) + C(x – 1)2

и, полагая последовательно х = 1, х = –3, найдем А = 1/2, С = 5/8.

Сравним коэффициенты при x2 : 1 B C . Следовательно, B 3/8. Таким образом,

x2 1			1		3			5	.
x 1 2 x 3			2 x 1 2		8 x 1			8 x 3

Тогда

		1
	I
	I	2 x 1 2
		2 x 1 2

C .

x 1

x 3

8 x 1

8 x 3

2 x 1

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]