Высшая математика. Том 3. Элементы высшей алгебры. Интегральное исчисление функций одной переменной и его приложения. Учебник

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

метрическими уравнениями

x φ(t), y ψ(t),

z λ(t) α t β , то можно

показать, что имеет место формула

λ (t) 2 dt .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 119 10 11 > Следующая >>>

Пример 9.8. Вычислить площадь S фи-

гуры, ограниченной гиперболой y		1	и
гуры, ограниченной гиперболой y		x	и
		x
прямыми y x,	x 2.

Решение. Изобразим данные линии

(рис.9.10).

Из рисунка видно, что фигура ограничена сверху линией y 1/ x, а снизу линией y x . Найдем сначала абсциссу точки А – точки пересечения указанных линий:

у
1	2	х
0

	А	у	1
–1		у	х


–2		x = 2
		у = –x


		Рис.9.10

1/ x x, x2 1, x 1, так как точка А

имеет положительную абсциссу. С учетом формулы (9.11), имеем

3	1				3	1		x2			3	3
3	1				3	1		x2			3	3

S				( x) dx (x )dx						lnx	1		ln2
1			x		1		x		2			2
1			x		1		x		2			2
Пример 9.9.		Найти площадь,				ограни-				у
ченную параболой				y2 2x 1	и	прямой				у
ченную параболой				y2 2x 1	и	прямой				3
										3

y x 1 (рис.9.11).

			Решение. Найдем точки пересечения
параболы с осями координат:															1) при				x 0					1
имеем				y2 1 y 1;								2) при y 0 полу-												1
имеем				y2 1 y 1;								2) при y 0 полу-
чим x					1	; парабола симметрична относи-																	1		0	1	2	3	4	х
																							1		0	1	2	3	4	х
																									–1
				2																		2			–1
тельно оси Ox;								вершина находится в точке																			Рис.9.11
	1																										Рис.9.11
	1
			;0 . Найдем точки пересечения прямой
	2		;0 . Найдем точки пересечения прямой
	2
и параболы:
						y2 2x 1;								x y 1;									у	2	2y 3 0
																							у		2y 3 0
						y x 1								y2 2 y 1 1
										y1 3; y2 1 x1 4; x2 0.
			Здесь g1 y						y2 1		;	g2 y y 1, тогда по формуле (9.12)
			Здесь g1 y								;	g2 y y 1, тогда по формуле (9.12)
										2
		3																		3
							y2	1						2				3		3	9 9 27 1 3 1 16
S				y 1						dy			y		3y		y												(кв.ед.).
S				y 1						dy																			(кв.ед.).
				2											2	6					2 2 6 2 2 6 3
				2								2			2	6				1	2 2 6 2 2 6 3
		1
																														81

9.5.2. Вычисление площади плоской фигуры, ограниченной параметрически заданной функцией

Пусть кривая задана параметрически, т.е.

висимая переменная t называется параметром. Уравнение кривой в явной форме y f (x),

ся к параметрическому виду по формуле

	x t;
	t .

y y t ;

x x t ,	t , где неза-
	t , где неза-
y y t ,

a x b, легко преобразует-

Для определения площади области, граница которой задана параметри-

ческими уравнениями		x x(t);		t , причем функция x x(t)		воз-
ческими уравнениями				t , причем функция x x(t)		воз-
		y y t 0;
растает и x(α) a,	x(β) b, в формуле (9.10) сделаем замену переменной и
получим
			x x t ;
b			y y t ;	a x t t α;	β	(9.13)
S f (x)dx			y y t ;		y t x t dt.	(9.13)
a				b x t t α

		dx x t dt;
Пример 9.10. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой
			x acos3 t;
				0 t 2 .
			y asin3 t;

Решение. Астроида – это плоская кривая, описываемая точкой касания окружностей радиуса a и радиуса a/4, если меньшая окружность катится по большей внутри нее (рис.9.12).

Учитывая симметрию астроиды относительно всех осей координат, найдем четвертую часть площади фигуры.

у					0
а			S 4 asin3 t 3acos2 t sint dt

					2


–а	а				12a	2	2	4	t cos		2	tdt
О	х				12a		sin		t cos			tdt
О	х						0
							0

		2			2t 1 cos2t
	12a	2 sin2			2t 1 cos2t					dt 12a			2	1 2		2	2t dt
–а															sin
–а				4			2								sin
Рис.9.12				4			2							8 0
Рис.9.12		0
82


	3a2			sin2 2t cos2t dt							3a2			1 cos4t dt 3a2											2t dsin2t
	3a2			sin2 2t cos2t dt							3a2			1 cos4t dt 3a2									sin2		2t dsin2t
			2										2										2
	2	0									4		0								4		0
												a2										3 a2
			3			2	sin4t										2	3
			3			2	sin4t			2					3		2	3		2
					a	t							sin			2t			a					. (кв.ед.).
			4		a	t	4				4		sin			2t		4	a		2		8	. (кв.ед.).
			4				4		0		4						0	4			2		8
									0								0
Замечание. В силу того, что в первой четверти
Замечание. В силу того, что в первой четверти																							x (t) 0, пределы интег-
рирования переменной t								меняются от к .

9.5.3.Вычисление площади криволинейного сектора

вполярной системе координат

Вполярной системе координат точка М имеет координаты и , где – расстояние от точки до полюса О ( 0), – угол между радиусом-вектором

OM и полярной осью. Полюс О совпадает с началом координат декартовой прямоугольной системы, полярная ось – с осью Ox (рис.9.13). Полярный угол считается положительным, если отсчитывается от полярной оси против часовой стрелки. Кривые задаются полярными уравнениями в виде .

Пусть фигура ограничена двумя лучами = , = и кривой, заданной в полярных координатах непрерывной функцией = ( ), [ , ] (рис.9.14). Такую фигуру называют криволинейным сектором. Для отыскания площади S данного криволинейного сектора разобьем данный сектор на бо-

лее узкие секторы при помощи лучей = k	(k = 0,1,2, , n) при условии
= 0 < 1 < 2 < < n–1 < n = . Внутри	каждого отрезка [ k,	k+1]
(k = 0, 1, 2, , n – 1) выберем произвольно точку ck и будем считать,		что

площадь частичного криволинейного сектора рассматриваемой фигуры, ограниченного лучами = k , = k+1, приближенно равна площади кругового

		n	k +1
			k +1
		= ( )	ck
			ck
у			k
М( , )			1
М( , )
			0

0	х,
0	х,	О
Рис.9.13		О
Рис.9.13		Рис.9.14

у			сектора, ограниченного теми же лучами и ок-
у			ружностью радиуса = (ck). Известно, что
			площадь указанного кругового сектора равна
				1	ρ2 ck φk , где k = k+1 – k			(k = 0, 1, 2,
	π/4		2		ρ2 ck φk , где k = k+1 – k			(k = 0, 1, 2,
			2
0		х,	, n – 1). Естественно считать, что площадь
			, n – 1). Естественно считать, что площадь
			криволинейного сектора
			криволинейного сектора
					n 1	1	ρ2 ck φk
					S lim	1		,
					S lim	2		,
					0 k 0	2
Рис.9.15			где λ max φk . Сумма, стоящая в правой
Рис.9.15					k
			части этого равенства, представляет собой

интегральную сумму для функции							1		ρ2 φ			на промежутке α,β , а ее предел
интегральную сумму для функции									ρ2 φ			на промежутке α,β , а ее предел
					2

равен	1	2		)d	. Таким образом,
равен		2			. Таким образом,
			(
2

					S	1		β		1	ρ2 φ dφ .
						1				1			(9.14)
										2			(9.14)
					2			α		2

Пример 9.11. Найти площадь фигуры, ограниченной двухлепестковой розой: asin2 (a 0).

Решение. Определим искомую область: 0 0 2 0 –

диапазон изменения угла φ для первого лепестка. Учитывая симметрию фи-

гуры (рис.9.15),

1									1 cos4			sin4			a	2
		4	2		2		2	4			2			4
S 4		a		sin		2 d 2a				d a							. (кв.ед.).
									2			4			4
2	0							0					0

9.5.4. Вычисление объема тела вращения

Рассмотрим вначале вспомогательную задачу. Пусть дано тело конечных размеров, для которого известны площади всех сечений, перпендикулярных некоторой прямой. Выведем формулу для вычисления объема V этого тела, направив ось Ох по указанной прямой и обозначив а и b (а < b) абсциссы точек пересечения с осью Ох перпендикулярных ей крайних плоскостей, ограничивающих тело (рис.9.16). По условию задачи площадь сечения тела плоскостью, проходящей через точку с абсциссой х перпендикулярно оси абсцисс, является известной функцией S(x). Разобьем данное тело на п слоев при по-

Рис.9.16

мощи плоскостей, перпендикулярных

у = f (x)

оси Ох и проходящих через точки с

абсциссами

x1,x2,...,xn 1

так, чтобы

S(ck)

a x0 x1 x2 ... xn 1 xn b и выберем

внутри

каждого

промежутка

xk ,xk 1 k 0,1,2,...,n 1

точку ck .

Будем считать объем слоя, ограни-

ченного

сечениями x xk , x xk 1,

О a

приближенно равным объему прямого

цилиндра,

высота

которого

х0

хk

x , a основанием служит

сk хk+1

k 1

фигура, которая получается в сечении

тела плоскостью x ck . Как известно, объем такого цилиндра равен произ-

ведению площади основания на высоту. Таким образом, объем рассматри-

ваемого слоя приближенно равен произведению S ck xk ,			а для искомого
объема тела можно написать
n 1	xk .
V S ck	xk .
k 0
Обозначим – ранг дробления промежутка		a,b	на части, т.е.

max xk . Считаем, что погрешность данного приближенного равенства

будет стремиться к нулю при увеличении числа секущих плоскостей и стремлении 0, n . Таким образом,

n 1

V lim S ck xk .

0 k 0 n

Сумма, стоящая в правой части этого равенства, представляет собой интегральную сумму для функции S(x) на промежутке a,b , а ее предел равен

S(x)dx , т.е. имеем окончательно

V S(x)dx.

В частности, если тело образованно вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной кривой y f (x) прямыми x a и x b

(считая, что a b ), то поперечное сечение этого тела плоскостью, проходящей через точку с абсциссой х перпендикулярно оси Ох, представляет собой

круг радиуса f (x) площадью S(x) f 2(x). Следовательно, для объема тела вращения имеем

b
V f 2(x)dx .	(9.15)

Пример 9.12. Найти объем V шара радиуса r.

Решение. Введем в рассмотрение полуокружность

r2 x2 при

x r,r .

Так как шар есть тело, образованное вращением такой полуок-

ружности вокруг оси Ох, то по формуле (9.15) получим

V r2

x2 dx r2 x

r r

r3 r3

r3 (куб.ед.).

9.5.5. Вычисление длины дуги кривой

Пусть

кривая задана в

прямоугольных

координатах

уравнением

y f (x). Найдем длину дуги АВ этой кривой,

заключенной между верти-

кальными прямыми x a, x b (рис.9.17).

Возьмем на дуге точки А, М1, М2, , Мк, , В с абсциссами а = х0, х1, х2,, хk, , хn = b и проведем хорды АМ1, М1М2, , Мк Мк+1, , Мn-1, В, длину которых обозначим l1 , l2 , , ln (max lk nk 1 ). Получим ломаную

АМ1,М2, , Мn-1, В, вписанную в дугу АВ. Длина ломаной

ln lk .

k 1

Определение. Длиной дуги АВ называется предел, к которому стремится длина вписанной ломаной, когда длина ее наибольшего звена стремится к нулю ( 0 ):

l lim lk

0 k 1 n

у	у = f (x)		Мk+1
			Мk+1
		Мk		В
				В
		хk	уk
	М1		уk
	М1
	А
О	a х1	хk	хk+1	b х
		Рис.9.17

Если на отрезке a,b функ-

ция y = f(x) и ее производная f (x) непрерывны, то этот предел существует. Докажем это.

Введем обозначение yk = = f(xk+1) – f(xk). Тогда

lk xk 2 yk 2

1 yk 2 xk .

По теореме Лагранжа имеем

	yk	f (xk 1) f (xk )			f '(ck ),		xk ck xk 1 .
	xk				f '(ck ),		xk ck xk 1 .
	xk		xk 1 xk
				xk . Таким
Следовательно, lk			1 f '(ck ) 2	xk . Таким			образом, длина вписанной
ломаной
			n
			n			f '(ck ) 2 xk .
			l 1			f '(ck ) 2 xk .
			k 1

По условию, производная f
По условию, производная f		(x)непрерывна, поэтому существует предел
интегральной суммы, который равен определенному интегралу:
n			b
n	1 f '(ck ) 2 xk		b	1 f '(x) 2 dx .
l lim	1 f '(ck ) 2 xk			1 f '(x) 2 dx .
0 k 1			a

Итак, окончательно

		b
	l			2
					(9.16)
			1 f (x) dx .
		a
Пусть теперь плоская дуга		АВ задана параметрическими уравнения-
ми x φ(t), y ψ(t)	α t β ,	где функции (t) и (t)			имеют непрерывные

производные, не обращающиеся в нуль одновременно. Сделав подстанов-

ку x φ(t), dx

φ (t)dt , получим

1 f

'(x) dx

ψ'(t)

φ'(t)dt

φ'(t)

ψ'(t)

φ'(t)

Окончательно,

	φ'(t) 2	ψ'(t) 2 dt .
l			(9.17)

Замечание. Выше рассматривался случай плоских кривых. Если же требуется найти длину пространственной гладкой кривой, которая задана пара-

Пример 9.13. Найти длину одного витка дуги винтовой линии

	x 3cost, y 3sint,		z 4t	0 t 2 .
Решение. Вычислим сначала производные
		x 3sint, y 3cost,		z 4 ,
а затем по формуле (9.18) получим
2				2
		3sint 2 3cost 2
l			42 dt	5dt 5t	02 10 .

0				0

Выведем теперь формулу для длины дуги плоской кривой, которая задана в полярных координатах уравнением ρ=ρ φ , где функция ρ φ непре-

рывно дифференцируема на промежутке α,β . Выпишем формулы перехода от полярных координат к прямоугольным:

x ρ φ cosφ, y ρ φ sinφ α φ β .

Рассматривая эти формулы как параметрические уравнения дуги с параметром и используя формулу (9.17), имеем

x ρ'cosφ ρsinφ, y ρ'sinφ ρcosφ .

Тогда

x 2 y 2 ρ cos φ ρ sin φ 2 ρ sin φ ρ cos φ 2

ρ 2 cos 2 φ 2ρρ cos φsin φ ρ2 sin 2 φ ρ 2 sin 2 φ

2ρρ cosφsinφ ρ2 cos2 φ ρ 2 cos2 φ sin2 φ

ρ2 sin2

φ cos2

φ ρ 2 ρ2 .

Итак, окончательно

ρ 2

ρ2 dφ .

(9.19)

Пример 9.14. Вычислить длину кривой ρ sin3

, где 0 /2.

Решение. Имеем ρ 3sin2

cos

sin2

cos

. Поэтому по фор-

муле (9.19)


	/2		2 φ				φ 2						3		φ 2						/2			4	φ			2 φ			2		φ
l		sin			cos						sin					dφ					sin					cos					sin			dφ
l		sin		3	cos						sin					dφ					sin					cos			3		sin			dφ
	0			3			3								3						0				3				3				3
		π/2		2	φ				1π/2									2φ			1						3			2φ		π/2
		π/2		2	φ				1π/2									2φ			1						3			2φ		π/2
			sin			dφ							1 cos							dφ					φ			sin
			sin		3	dφ			2				1 cos							dφ					φ		2	sin
		0			3				2			0							3				2				2			3		0
								1				π	3				π				1
								1				π	3				π				1
														sin								(2π 3 3) .
								2						sin							8	(2π 3 3) .
								2		2			2				3				8

9.5.6. Вычисление площади поверхности тела вращения

Пусть на плоскости дана дуга АВ, уравнение которой задано функцией y f (x) a x b , причем функция f(x) неотрицательна на a,b и имеет непрерывную производную. Требуется вычислить площадь Q боковой поверхности тела, получающегося при вращении дуги АВ вокруг оси Ох (рис.9.18). Разобьем промежуток a,b точками x1,x2,...,xn 1 и проведем через

каждую из точек прямую, перпендикулярную оси Ох, до пересечения с кривой АВ. Соединив последовательно полученные точки пересечения, получим ломаную.

Учитывая, что площадь боковой поверхности усеченного конуса, имеющего радиусы оснований r и R, а образующую l, равна π r R l , можем утверждать, что площадь Qn поверхности тела, полученного при вращении указанной ломаной вокруг оси Ох, может быть вычислена по формуле

n 1

Qn f xk f xk 1 xk2 yk2 .

k 0

где xk xk 1 xk , yk yk 1 yk .

Устремляя	ранг		дробления
max xk к нулю,			можно пока-
k
зать, что
b
			2
Q 2 f (x)
	1 f	(x) dx. (9.20)

Если кривая задана параметриче-

скими уравнениями x x(t); t ,

y y(t);

причем а = х( ), b = x( ), то

у		уk+1 = f (xk+1)
уk = f(xk)		В
		В
у = f (x)
А
О	хk	х
a	хk	xk +1 b

Рис.9.18


	x't 2	y't 2 dt .
Q 2 y(t)	x't 2	y't 2 dt .	(9.21)

Для кривой, заданной в полярных координатах ( ) ,			,

		ρ' 2 dφ .
Q 2 ρsinφ ρ2		ρ' 2 dφ .	(9.22)

Поменяв местами x и y, получим формулы для вычисления площади поверхно-


сти, образованной вращением дуги кривой x g(y) ,					c y d , вокруг оси Oy:
d

Qy 2 x(y) 1 x'y 2 dy .
c
Аналогично, если кривая задана параметрическими уравнениями, то
имеем


Qy 2 x(t) x't 2 y't 2 dt .

и если кривая задана в полярных координатах, то

Qy 2 ρsinφ ρ2 ρ' 2 dφ .

Пример 9.15. Найти площадь поверхности тела, полученного вращени-

ем части окружности x2 y2 4, заключенной между прямыми y 1, вокруг оси Oy (шаровой пояс).

Решение. Так как x

4 y2 ,

, то по формуле (9.22)

4 y2

2 1

4 y2

2 dy

4 y

4 dy 4 y

8 (кв. ед.).

Пример 9.16. Найти площадь поверхности, полученной вращением од-

ной арки циклоиды

x a (t sint);

0 t 2 вокруг оси Oх.

y a (1 cost);

Решение. Так как xt 2

yt 2 2a2(1 cost) 4a2 sin2

, то по формуле

(9.21)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 119 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]