Высшая математика. Том 3. Элементы высшей алгебры. Интегральное исчисление функций одной переменной и его приложения. Учебник

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

00,05 1,25 Дж.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

3 t

;

dt;

2 t

Q 2

a (1 cost)

sin

dt 8 a

sin

t 0

z 0;

t 2 z

16 a2 sin3 z dz 16 a2 (1 cos2 z) dcosz

			0					0
	2		cos3	z			2	1	1	64 a2


16 a		cos z				16 a		1	1		(кв. ед.).
16 a		cos z				16 a		1	1		(кв. ед.).
			3					3	3	3
			3		0			3	3	3
					0

9.5.7. Вычисление работы силы при перемещении материальной точки

Пусть под действием силы F материальная точка M движется по оси Ox, причем направление силы совпадает с направлением движения. Найдем работу, произведенную этой силой при перемещении точки M из положения x a в положение x b .

Если сила постоянна, то работа А выражается произведением силы F на длину пути, т.е. A F b a .

Если сила меняется в зависимости от положения материальной точки, то она представляет собой функцию F x . Разобьем промежуток a,b точками

x1,x2,..., xn 1 на n частей длиной соответственно l1, l2,..., ln, max lk nk 1 . На каждом частичном отрезке выберем произвольную точку ck и заменим

работу силы F x на пути lk	произведением F(ck ) lk , полагая силу внутри
	n

каждого отрезка постоянной величиной. Тогда сумма An F(ck ) lk даст

k 1

приближенное значение работы силы F на отрезке a,b . Указанная сумма есть интегральная сумма для функции F F x на отрезке a,b . Предел этой суммы при 0 существует и выражает работу силы F x на пути от точки a до точки b:

b
A F x dx .	(9.23)

Пример 9.17. Сжатие х винтовой пружины пропорционально приложенной силе F. Вычислить работу силы, необходимой для сжатия пружины на 5 см, если для сжатия ее на 1 см нужна сила в 10 Н.

Решение. По условию F kx , где k = const. Выразим х в метрах, то-

гда x 0,01, 10 k 0,01 и k =10.

По формуле (9.23) имеем

9.5.8. Определение статических моментов и координат центра тяжести

Как известно из курса механики, статическими моментами системы материальных точек относительно осей Ох и Оу называются числа

n	n
Mx ykmk	и My xk mk ,
k 1	k 1

где xk , yk – координаты материальных точек; mk – их массы.

Пусть кривая АВ задана уравнением y f x , a x b и ее линейная

плотность равна . Разобьем кривую на n частей с длиной l1, l2,..., ln , max lk nk 1 . Массы этих частей будут равны произведению их длин на плотность mk lk . Представляя каждую часть дуги lk материальной точкой с координатами ck , f (ck ) , где ck – произвольно выбранная точка промежутка, получим приближенные формулы для определения статических моментов дуги кривой относительно осей Ох и Оу:

n	n
Mx f (ck ) lk ;	My ck lk.
k 1	k 1

Если функция y f x непрерывна и дифференцируема, то указанные суммы при 0 имеют пределы, равные пределам соответствующих интегральных сумм. Если масса равномерно распределена по кривой, то будем считать, что плотность распределения равна единице, и получим выражения для статических моментов дуги кривой относительно осей Ох и Оу:

b	b
b	b
Mx f (x)dl f (x) 1 (f '(x))2dx;
a	a	(9.24)
b	b	(9.24)

		1 ( f '(x))2 dx.
M y	xdl x	1 ( f '(x))2 dx.
a	a

Координаты центра тяжести кривой

M y

1 b

1 ( f '(x))

dx;

(9.25)

1 ( f '(x))2 dx,

f (x)

	b
	b	1 ( f '(x))2 dx – длина дуги у
	где l	1 ( f '(x))2 dx – длина дуги у
	a

кривой.

Для отыскания координат цен-

тра тяжести плоской области ис-

пользуем формулы, известные из курса механики:

	n			n
	xkmk			ykmk	О a х1
x	k 1	; y	c	k 1	.
c	n		c	n
	mk			mk
	k 1			k 1

Рассмотрим фигуру, ограниченную линиями

f2(ck) – f1(ck)

		у = f2(x)
		у = f1(x)
сk

хk хk xk +1	b	х
Рис.9.19
y f1 x ,	y f2 x ,

x a, x b (рис.9.19), поверхностная плотность в каждой точке которой рав-

на . Разобьем фигуру прямыми x a, x x1, x x2,...,x xn b на полоски шириной x1, x2,..., xn . Площадь каждой полоски приближенно равна пло-

щади прямоугольника с основанием хk и высотой f1(ck) – f2(ck), где

ck xk 1 xk , а масса полоски – произведению площади прямоугольника на

плотность , где const внутри каждой полоски:

mk f2(ck ) f1(ck) xk .

Заменяя каждую полоску материальной точкой, масса которой равна массе соответствующей полоски и сосредоточена в ее центре тяжести:

xk ck ,	yk		f1(ck ) f2(ck )	,

		2

найдем приближенное значение центра тяжести всей фигуры :

ck f2(ck ) f1(ck ) xk

k 1

;

f2(ck ) f1(ck ) xk

k 1

1 f (c ) f (c ) f (c ) f (c ) x

1 k

2 k

1 k

2k 1

f2(ck ) f1(ck )

k 1

Переходя к пределу при xk 0, получим координаты центра тяже-

сти плоской фигуры:

	b				1	b	f22(x) f12(x) dx
	x f2(x) f1(x) dx				1
	x f2(x) f1(x) dx
x	a		; y	c	2a			,
x	b		; y					,
c	b	f2(x) f1(x) dx				b	f2(x) f1(x) dx
		f2(x) f1(x) dx					f2(x) f1(x) dx
	a					a

С учетом того, что x		My			и y	c	M	x	, запишем формулы для стати-
c			S			c	S
ческих моментов плоской области относительно осей Ох и Оу, где S – пло-
щадь фигуры:
				1	b
	Mx			1	f22(x) f12(x)dx;
	Mx				f22(x) f12(x)dx;
				2a				(9.26)
								(9.26)

My x f2(x) f1(x)dx.

Пример 9.18. Найти статические моменты и центр тяжести треугольни-

ка, ограниченного осями координат и прямой x y 1 (рис.9.20). a b

Решение. Применим формулы (9.25), (9.26) и выразим		x
	y b 1		,

0 x a. Тогда		a

аа

		1 a		2	x dx	b2		x	2	b2a		x	2	x
Mx			y				1		dx		1		d 1
						2				2
	2		0					a				a		a
							0				0

					b2a 1				x 3		a		ab	2	;
					b2a 1				x 3		a		ab	2
							1
							1
			2			3			a		0	6
											0	a

			x			x		2		x3				a2
M	y	b ax 1		dx b								b
	y	0	a				2								2
			a				2			3a		0			2
										3a		0

a3	a2b
		.

	6
3a

Площадь

треугольника S

ab.

Окончательно,

b/2

М1

a2b 2

М2

6 ab

3 ;

b/3

а/3 а/2

ab2 2 b

Рис.9.20

6ab

9.5.9. Вычисление моментов инерции кривой и плоской области

Моменты инерции системы материальных точек относительно точки О и осей координат Ох и Оу определяются формулами

y2)m

, I

(9.27)

(x2

y2m

x2m

k 1

где xk , yk – координаты материальных точек,

– их массы.

Пусть кривая АВ задана уравнением y f

x ,где a x b и ее линейная

плотность равна . Разобьем

кривую

на

частей

длиной l1, l2,..., ln ,

max lk kn 1

. Масса этих частей будет равна произведе-

x2k y2k ,

нию их длины на плотность mk

lk . На каждой части дуги возьмем про-

извольную точку с координатами ck , f (ck ) . Приближенно моменты инерции дуги кривой по формулам (9.27)

f 2(c )) l ,

(c2

f 2(c ) l ,

k k

k 1

Пусть линейная плотность распределена равномерно, т.е. 1.

Если функция у = f(x) непрерывна и имеет непрерывную производную, то при 0 эти суммы имеют пределы, выражающиеся определенными интегралами, и определяющие моменты инерции дуги кривой относительно точки О и осей координат Ох и Оу:

Ix f 2 (x)1 ( f (x))2 dx ;

	a
	b
Iy	x2	1 ( f (x))2 dx ;	(9.28)
	a
b
I0 (x2 f 2(x)) 1 (f (x))2dx.
a
Для плоской области,	ограниченной графиком		функции у = f(x),

a x b и осью Ох, формулы для моментов инерции этой области относительно точки О и осей координат Ох и Оу имеют вид

b		1
I0 (x2		1		f 2(x))f(x)dx;
I0 (x2				f 2(x))f(x)dx;
a		3
	1b				3
Ix			f			(x)dx;	(9.29)
Ix			f			(x)dx;	(9.29)
	3a

Iy f (x)x2dx.

Пример 9.19. Вычислить момент инерции

Вравнобедренного треугольника относительно его основания.

Решение. Расположим оси координат так, как показано на рис.9.21. Обозначим: |AC| = b, |BO| = h. Запишем уравнение прямой ВС

	х	x 0		y	h	или y	h	(b 2x).
Рис.9.21		b/2 0			h
			0				b

Момент инерции треугольника АВС относительно оси Ох равен удвоенному моменту инерции треугольника ВОС относительно той же оси. Значит,

2 b / 2

2 b / 2 h3

(x)dx

(b 2x)

0 b3

2h3

b / 2

b/2

(b 2x)

d (b 2x)

(b 2x)

3b3 ( 2)

12b3

Вопросы для самопроверки

1.Дайте определение определенного интеграла.

2.Сформулируйте теорему существования определенного интеграла.

3.В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла от неотрицательной непрерывной функции?

4.Перечислите основные свойства определенного интеграла.

5.Дайте геометрическую интерпретацию теоремы о среднем значении.

6.Сформулируйте теорему Барроу о дифференцировании интеграла с переменным верхним пределом.

7.Какая формула определяет связь между определенным и неопределенным интегралами?

8.Докажите основную теорему интегрального исчисления.

9.Выведите формулу замены переменной в определенном интеграле.

10.Напишите формулу интегрирования по частям для определенного интеграла.

11.Определите несобственный интеграл от непрерывной функции по бесконечному промежутку.

12.Дайте определение несобственного интеграла по конечному промежутку от функции, непрерывной на отрезке [a,b) и неограниченной в точке

х= b.

13.Сформулируйте определение абсолютной сходимости несобственного интеграла.

14.Перечислите признаки сходимости несобственных интегралов.

15.Какие геометрические приложения определенного интеграла вы

знаете?

16.Получите формулу для вычисления площади плоской фигуры, заданной в полярной системе координат.

17.Выведите формулу для вычисления объема тела вращения.

18.Как вычислить длину дуги плоской кривой, заданной в прямоугольной системе координат?

19.Перечислите известные вам механические приложения определенного интеграла.

20.Выведите формулу для расчета работы силы при перемещении материальной точки.

Тесты

№	Вопрос	Варианты ответа
п/п

1	При перемене местами преде-		1.		f x
		b				b
	лов интегрирования f x dx		2.			b	f x dx
	лов интегрирования f x dx		2.				f x dx
		a				a
	равен					a
	равен					b	f x dx
			3.	ab			f x dx
						a
			4.			a	f x dx
			4.				f x dx
						b

2	Укажите название формулы		1. Формула Коши
	b		2. Формула Ньютона – Лейбница
	f x dx F b F a		3. Формула Лагранжа
	a		4. Формула Ролля
			4. Формула Ролля

3			1.
3	2
	2			2
	Вычислите интеграл sin3 xdx			2
	0		2.	3
			2.	3
			3.		2
			3.	3
				3
			4.	0

		Продолжение таблицы

№	Вопрос	Варианты ответа
п/п	Вопрос	Варианты ответа
п/п

После подстановки t 6

ин-

64 2 t 6t

2 6

5t3

теграл

dx сведется к

2 2 t 6t5

0 3 x 5 x

интегралу

0 t

2 t

5t3

2 t

2 5t3

0 t

Выберите среди предложенных

интегралов несобственный

ин-

x 3 dx

теграл

x 3 dx

Вычислите несобственный

ин-

1. –2

2. 0

теграл

3. 2

0 1 x

4. 1/2

Укажите,

по

какой

формуле

вычисляется площадь криволи-

S f2 x f1 x dx

нейной трапеции, изображен-

ной на рисунке

2. S f1 x f2 x dx

y f2 x

3. S f2 x f1 x dx

y f1 x

f2 x dx

O a

Окончание таблицы

№

Вопрос

Варианты ответа

п/п

Вычислите

площадь

фигуры,

изображенной на рисунке и ог-

2. 4

раниченной параболой

3. 2

x 1; x 3

прямыми

и осью

абсцисс

		O	1		3			x

9				b							4
	Зная формулу			b	1 f x 2 dx						4
	Зная формулу			l	1 f x 2 dx					1.				1 36xdx
				a							1
	вычисления длины дуги l								кри-		1
	вычисления длины дуги l								кри-		1
	вой,	являющейся				графиком				2.			1 36xdx
	функции f(x) при				x a;b ,				вы-		4
	берите интеграл, дающий длину										4
											4		1 6
										3.			1 6		xdx
								3			1
	дуги	кривой		у 4х2					при		1
	дуги	кривой		у 4х2					при	4.	4
	x 1;4									4.			1 16x3 dx
											1

10	Вычислите объем тела, образо-									1.		2
	ванного вращением одной								по-
	ванного вращением одной								по-		2
	луволны		синусоиды				у = sinx,				2
	луволны		синусоиды				у = sinx,			2.
	0 x
	0 x										2
											2
										3.	2
										4.	2

ОТВЕТЫ К ТЕСТАМ

Глава 7

Номер вопроса	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Номер
правильного ответа	1	4	1	2	3	4	2	1	2	3

Глава 8

Номер вопроса	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Номер
правильного ответа	3	1	1	4	4	1	2	2	2	2

Глава 9

Номер вопроса	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Номер
правильного ответа	4	2	3	2	3	3	3	4	1	2

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]