Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика. Том 3. Элементы высшей алгебры. Интегральное исчисление функций одной переменной и его приложения. Учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

f (x)dx f (x)dx.

a a

Доказательство. Очевидно, справедливо неравенство

f (x) f (x) f (x) ,

проинтегрировав которое почленно с учетом свойства 6, получим

b		b	b
	f (x)	dx	f (x)dx	f (x)	dx,
a		a	a

откуда следует требуемое неравенство.

9.3.ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

9.3.1.Формула Ньютона – Лейбница

Пусть функция f(x) интегрируема на промежутке a,b . Возьмем произ-

вольное значение x a,b и рассмотрим определенный интеграл f (t)dt , где

переменная интегрирования обозначена t, чтобы не путать ее с выбранным значением х. Очевидно, что величина указанного интеграла зависит от значения х, т.е. является функцией этого аргумента. Обозначим эту функцию

F(x) f (t)dt ,

и назовем ее определенным интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема Барроу. Если функция f(x) непрерывна на промежутке a,b , то производная интеграла с переменным верхним пределом

F(x) f (t)dt

равна значению подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена значением верхнего предела, т.е.

		x
				f (x) .
F	(x)		f (t)dt
	a

Доказательство. Вычислим производную функции F(x), исходя из определения производной. Для этого зафиксируем произвольное значение х изa,b , дадим ему некоторое приращение x и найдем соответствующее ему приращение функции F(x), используя свойство аддитивности определенного интеграла относительно промежутка интегрирования:

F(x) F x x F(x)			x x	x
F(x) F x x F(x)			f (t)dt f (t)dt
			a	a
x	x x	x		x x
f (t)dt	f (t)dt f (t)dt			f (t)dt.
a	x	a		x

Применяя к последнему интегралу теорему о среднем, получим

F(x) f (c) x , c [x,x x].

Из последнего равенства следует

F(x) f (c).

Замечая, что при x 0 точка с стремится к точке х, и учитывая непрерывность функции f(x), получим окончательно

F (x) lim F(x) lim f (c) f (x).

x 0 x c x

Основная теорема интегрального исчисления. Если функция f(x) не-

прерывна на отрезке a,b и (x) – ее любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

b
f (x)dx (b) (a).		(9.6)
a
Эта формула называется формулой Ньютона – Лейбница.
Доказательство. Каждая из функций (x) и	x
Доказательство. Каждая из функций (x) и	F(x) f (t)dt	является

первообразной для f(x) на промежутке a,b и, следовательно, они отличаются друг от друга на некоторую определенную постоянную С, так что

f (t)dt (x) C .

Если принять x a, то получим C (a) и можем записать предыдущее равенство в виде

f (t)dt (x) (a).

Положив теперь x b:

f (t)dt (b) (a)

и вернувшись к прежнему обозначению переменной интегрирования, получим равенство (9.6).

Замечание. Для краткости записи часто употребляют обозначение (знак двойной подстановки)

b a x ba ,

с учетом которого формулу Ньютона – Лейбница можно записать в виде

f (x)dx x ba .

Пример 9.1. Вычислить x2dx.

Решение. Используя табличные интегралы и формулу Ньютона – Лейбница, получим

1	x	3	1	3			1

x2dx					1	0		.

0	3		0	3			3

Пример 9.2. Вычислить sin xdx .

Решение. Используя табличные интегралы и формулу Ньютона – Лейбница, получим

	0 cos cos0 1 1 2.
sin xdx cosx	0 cos cos0 1 1 2.
0

Замечание. Если функция f(x) имеет на промежутке a,b конечное чис-

ло точек разрыва 1-го рода, то для вычисления интеграла f (x)dx следует

использовать вначале свойство аддитивности интеграла относительно промежутка интегрирования. В этом случае промежуток a,b разбивается точками разрыва на частичные промежутки, в каждом из которых функция непрерывна. Затем на каждом из них вычисляется интеграл и их значения складываются.

Пример 9.3. Вычислить f (x)dx, где

0
x2	0 x 1,
f (x)	1 x 2.
3 x	1 x 2.

Решение. Данная функция имеет один разрыв 1-го рода в точке х = 1. Поэтому получим

2	1	2	2	x	3	1		x	2	2	1		5	11



f (x)dx x dx 3 x dx							3x
												4		.
												4		.
0	0		1	3		0		2		1	3		2	6
				3

9.3.2. Формула замены переменной в определенном интеграле

Одним из эффективных методов вычисления определенного интеграла является метод подстановки. Выведем формулу замены переменной в определенном интеграле.

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на промежутке a,b , а функ-

ция (t) непрерывно дифференцируема на промежутке a, , причем проме-

жуток a, отображается	функцией (t) в промежуток	a,b , так что
φ α a, φ β b, то
b
		(9.7)
	f (x)dx f (t) (t)dt.	(9.7)
a
Эта формула называется формулой замены переменной интегрирования
(подстановки).
Доказательство. Пусть F(x) – какая-либо первообразная для функции

f(x) на промежутке a,b . Вычислим производную сложной функции

F φ t ,

используя правило дифференцирования

сложной

функции

то, что

f x . Получим

F x

F (t) F (t) (t) f (t) (t)

Из последнего равенства следует, что функция

F (t) является перво-

образной для функции

и, следовательно, по формуле Ньютона –

f (t) (t)

Лейбница имеем

F ( ) F ( ) F(b) F(a)

f (t) (t)dt F (t)

С другой стороны, по формуле Ньютона – Лейбница имеем

f (x)dx F(b) F(a).

Из совпадения правых частей двух последних равенства следует совпа-

дение левых, т.е. справедливость формулы (9.7).

Пример 9.4. Вычислить интеграл x 1 x2 dx.

Решение. Применим формулу замены переменной:

x sint

dx costdt

1 x2 dx

sint 1 sin2 t costdt

x 0 t 0,

1 t /2 0

2 td(cost) cos

sintcos2 tdt

cos

1 0 1 1 .

В заключение заметим, что подбор удачной подстановки бывает не так очевиден, как в рассмотренных случаях. Все зависит от навыков и опыта того, кто выполняет интегрирование, ибо общих правил отыскания удачных подстановок не существует.

9.3.3. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле

Одним из основных методов вычисления определенного интеграла является метод интегрирования по частям. Выведем формулу интегрирования по частям в определенном интеграле.

Теорема. Если функции u u(x) и v v(x) непрерывны вместе со свои-

ми производными на промежутке a,b , то справедлива формула

udv uvba vdu

a a

Эта формула называется формулой интегрирования по частям в опре-

деленном интеграле.

Доказательство. Вычислим интеграл:

b	b					b		b
uv
uv	dx u v uv		dx u vdx uv dx .
a	a					a		a
С другой стороны, по формуле Ньютона – Лейбница
	b						b


	uv dx uv						a .
	a
Из последних двух равенств следует					b	b		b
					b	b		b
		uv			a	u vdx uv dx, откуда и получим
						a		a
	b			ba		b
	udv uv			ba		vdu .
	a					a

Пример 9.5. Вычислить интеграл xlnxdx.

Решение. Воспользуемся формулой интегрирования по частям:

2	u ln		x, dv			xdx				x 2				2		x2		1
2										x 2			2	2		x2		1
x ln xdx		1					x 2					ln x	1							dx
x ln xdx		1					x 2					ln x	1							dx
1	du			dx ,		v		2						1	2				x
		x				2
	1 2			xdx					x 2		2				3
	1 2								x 2		2				3
	2 ln 2				2 ln 2							ln 4					.
	2 ln 2				2 ln 2			4				ln 4					.
	2	1						4			1				4
											1

9.4. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

При определении определенного интеграла предполагалось, что проме-

жуток интегрирования конечен и функция на этом промежутке ограничена.

Однако, исходя из теоретических и практических соображений, целесообразно обобщить понятие определенного интеграла на случай, когда указанные ограничения не выполняются.

9.4.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами

Пусть функция f(x) определена и непрерывна в промежутке a, . Вы-

берем произвольное число А из промежутка a, . Так как функция f(x) не-

прерывна на промежутке a,A , то существует интеграл f (x)dx, который

зависит от выбранного значения А.

Определение 1. Несобственным интегралом от функции f(x) no про-

межутку [a, + ] называется предел

lim f (x)dx .

A a

Он обозначается символом f (x)dx. Таким образом, по определению

	a
			A
	f (x)dx	lim	f (x)dx.	(9.8)
a		A a

Несобственный интеграл (9.8) называется сходящимся, если предел в правой части (9.8) конечен, и расходящимся, если этот предел не конечен или не существует.

Несобственный интеграл от функции f(x) по промежутку ,a определяется аналогично

a		a
f (x)dx	lim	f (x)dx.
	A	A

Несобственный интеграл от функции f(x) по промежутку , определяется с помощью равенства

f (x)dx f (x)dx f (x)dx,

где а – произвольное число.

Интеграл в левой части этого равенства считается сходящимся, если сходятся оба интеграла в правой части; если хотя бы один из этих интегралов

расходится,	то расходится	и	интеграл
			у
f (x)dx . Сходимость указанного инте-

грала и его значение не зависят от выбора				у = f (x)
числа а. Рассмотрим несобственные инте-				у = f (x)
числа а. Рассмотрим несобственные инте-

гралы вида	f (x)dx, так как теория не-
	a
собственных интегралов вида		a
собственных интегралов вида			f (x)dx и О a	Рис.9.4
				Рис.9.4

f (x)dx аналогична.

С геометрической точки зрения несобственный интеграл

f (x)dx от

непрерывной неотрицательной функции f(x) можно интерпретировать как площадь неограниченной криволинейной трапеции (рис.9.4).

Если интеграл f (x)dx сходится, то за площадь этой трапеции прини-

мается величина, равная значению интеграла.

Несобственный интеграл может быть вычислен с помощью формулы Ньютона – Лейбница. Если F(x) – первообразная для f(x) на промежутке

a, , то

		a
f (x)dx	lim	f (x)dx lim F(A) F(a) .
a	A A		A
			dx
Пример 9.6. Вычислить интеграл				.
Пример 9.6. Вычислить интеграл			1 x2	.
		1	1 x2

Решение. Используя определение несобственного интеграла, получим

	dx	arctgx		lim arctgx arctg1

			1					.
	1 x2
1				x	2	4	4

Часто бывает достаточно лишь ответить на вопрос сходится или расходится данный интеграл. Для этой цели существуют несколько признаков.


Определение 2. Несобственный интеграл		f (x)dx называется абсолют-
		a

но сходящимся, если сходится интеграл	f (x)		dx . Если интеграл	f (x)dx
a				a

сходится, а интеграл f (x)dx расходится, то он называется неабсолютно

(или условно) сходящимся.

у			Теорема 1 (признак сходимости). Не-
			Теорема 1 (признак сходимости). Не-

			собственный интеграл		f (x)dx сходится,
			собственный интеграл		f (x)dx сходится,
				a
			если он абсолютно сходится.
	l2		Теорема 2 (признак		сравнения). Если
	l2		на промежутке a,	функции (x) и f(x)
			на промежутке a,	функции (x) и f(x)
	l1		непрерывны и 0 φ x f (x) , то из схо-

О a		х	димости интеграла	f (x)dx следует схо-
	Рис.9.5		a

димость интеграла		(x)dx,	a из расходимости интеграла		(x)dx следует
		a			a

расходимость интеграла f (x)dx.

Дадим последней теореме геометрическую интерпретацию (рис.9.5). Пусть кривые l1 и l2 – графики соответственно функций (x) и f(x). Так как

φ x f (x),

то кривая l1 расположена не выше кривой l2 . Очевидно, что

если интеграл

f (x)dx сходится, то кривая l2 ограничивает фигуру конеч-

ной площади,

тогда и кривая l1

ограничивает область, имеющую конечную

площадь, т.е.

интеграл (x)dx

сходится. С другой стороны, если интеграл

ограниченной кривой l1 ,

(x)dx расходится, то площадь области,

беско-

нечна, и площадь области, ограниченной кривой l2 ,

тоже бесконечна,

а это и

значит, что интеграл f (x)dx расходится.

Пример 9.7. Исследовать сходимость интеграла

sin x

dx.

1 x2

Решение. Так как при всех рассматриваемых х выполняется неравенство

sin x

1 x2

а интеграл

сходится (см. пример 9.6), то данный интеграл сходится и

1 x2

притом абсолютно.

9.4.2. Несобственный интеграл от неограниченной функции

Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке a,b , а в точке b неог-

раничена, т.е. в этой точке она имеет бесконечный разрыв:			lim f (x) .
			x b 0
Определение. Несобственным интегралом от функции f(x) на про-
межутке [a, b) называется предел вида lim		b
межутке [a, b) называется предел вида lim		f (x)dx. Он обозначается сим-
	0	a
b
волом f (x)dx . Таким образом, по определению
a
b	b
	f (x)dx lim	f (x)dx.	(9.9)
a	0 a

Несобственный интеграл (9.9) называется сходящимся, если указанный предел существует и конечен, и расходящимся, если он не существует или бесконечен.

Аналогично определяется несобственный интеграл от функции f(x) на промежутке a,b , когда функция имеет бесконечный разрыв в точке а:

b		b
	f (x)dx lim	f (x)dx.
a	0	a

Если функция f(x) имеет бесконечные разрывы на обоих концах промежутка a,b , то несобственный интеграл от нее определяется равенством

b	c	b
f (x)dx f (x)dx f (x)dx,
a	a	c
где с – произвольная точка	промежутка	a,b . В этом случае интеграл

f (x)dx считается сходящимся, если сходятся оба несобственных интеграла

в правой части. Выбор точки с в этом случае не имеет значения.

С геометрической точки зрения несобственный интеграл f (x)dx от не-

отрицательной функции, неограниченной в точке b, можно интерпретировать как площадь неограниченной области

(рис.9.6). Если интеграл сходится, то пло-	у
щадь этой области равна значению интеграла.
На несобственный интеграл от неогра-		у = f (x)
ниченной функции распространяется форму-
ла Ньютона – Лейбница. Так, если F(x) –
ла Ньютона – Лейбница. Так, если F(x) –
первообразная для f(x) на промежутке a,b ,
т.е. в точке b функция f(x) имеет бесконечный		b х
т.е. в точке b функция f(x) имеет бесконечный	О a	b х
разрыв, то		Рис.9.6
		79

b			b		lim F(b ) F(a) .
	f (x)dx	lim		f (x)dx	lim F(b ) F(a) .
a		0 0	a		0 0

Понятие абсолютной сходимости для несобственного интеграла от неограниченной функции определяется точно так же, как и для несобственного интеграла по бесконечному промежутку.

Для несобственных интегралов от неограниченных функций имеют место признаки сходимости, аналогичные признакам сходимости интегралов по бесконечному промежутку.

9.5.ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

9.5.1.Вычисление площади плоской фигуры

впрямоугольных координатах

у = f (x)

О a

b х

Рис.9.7

у = f2(x)

у = f1(x)

О a

b х

Рис.9.8

x= g2(y)

x= g1(y)

0 х

Рис.9.9

Как ранее было показано, площадь S криволинейной трапеции, ограниченной графиком неотрицательной функции f(x), осью Ох и вертикальными прямыми x = a, x = b, a < b (рис.9.7) определяется формулой

b
S f (x)dx.	(9.10)
a
Из геометрического смысла	определенного

интеграла для областей, задаваемых соотноше-

ниями f1 x y f2 x ,	и a x b (рис.9.8), име-
ет место формула
b	b
S S2 S1 f2 x dx f1 x dx
a	a
b
= f2 x f1 x dx .		(9.11)

Вычисление площади более сложной фигуры может быть выполнено при помощи формулы (9.10) путем предварительного разбиения фигуры на соответствующие части и суммирования их площадей.

В том случае, когда плоская область (рис.9.9) задается неравенствами g1(y) x g2(y), c y d ее площадь

d
S g2 y g1 y dy .	(9.12)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]