Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика. Том 3. Элементы высшей алгебры. Интегральное исчисление функций одной переменной и его приложения. Учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

R x, ax3 bx2 cx d dx;

R x, ax4 bx3 cx2 dx e dx,

содержащие квадратный корень из многочленов третьей или четвертой степени. Это очень важный класс интегралов, называемых эллиптическими и нередко встречающихся в различных приложениях. Однако нужно сказать, что такие интегралы, как правило, не выражаются в конечном виде через элементарные функции.

Вопросы для самопроверки

1.Какая функция называется первообразной?

2.Что называется неопределенным интегралом?

3.	Какому условию должна удовлетворять подынтегральная				функция
f (x) на промежутке [a;b], для того чтобы существовал f (x)dx ?
4.
4.	Чему равна производная от неопределенного интеграла f (x)dx ?
					f (x)dx ?
5.	Чему равен дифференциал от неопределённого интеграла d				f (x)dx ?

		1 3
		1 3	x	dx , для того что-
6.	Какую замену нужно сделать в интеграле
6.	Какую замену нужно сделать в интеграле
		4 x 6 x

бы свести его к интегралу от рациональной функции?

7. Каким методом берется интеграл Pn (x)eaxdx, где Pn (x) – многочлен степени n ?

8.Какую функцию нужно принять за u в интеграле x 1 arccosxdx при нахождении его по формуле интегрирования по частям udv uv vdu ?

9.Какое преобразование нужно произвести в знаменателе подынте-

						dx
грального выражения при нахождении интеграла							?
грального выражения при нахождении интеграла							?
					x2	x 1
10. Что нужно выделить в числителе подынтегрального выражения при
	(3x 2)dx
нахождении интеграла				?
нахождении интеграла				?
x2 x 1
11. Каким образом нужно представить подынтегральную функцию при
	xdx
нахождении интеграла					?
нахождении интеграла	(x 1)(x	2			?
	(x 1)(x		x 1)

12. Какую замену нужно сделать в интеграле

бы свести его к интегралу от рациональной функции?

3 xdx, для того что-

2 x

			x	2	1		dx?
13.	С помощью какой формулы берется интеграл		x		1


			x2 x 1
			x5dx
14.	Какую замену нужно сделать в интеграле						, для того

		1)			x2
	(x2	1)			x2	1

чтобы свести его к интегралу от рациональной функции ?

15.Какая замена называется универсальной тригонометрической подстановкой ?

16.С помощью какой формулы берется интеграл sin3xsin7xdx ?

17.С помощью какой формулы берется интеграл tg7xdx ?

cosxdx

18. Какую замену нужно сделать в интеграле , чтобы свести

sin3 x

его к интегралу от рациональной функции?

	19. Какую замену нужно сделать в интеграле																dx					, чтобы


									(x2 16) x2												16
свести его к интегралу от тригонометрической функции?
	20. Какие интегралы называются «неберущимися» ?
				Тесты

№				Вопрос								Варианты ответа
п/п				Вопрос								Варианты ответа
п/п
1			dx		1.								8 x
						arcsin									C


										7
			49 8x2							7
					2.	1					arcsin						8	x		C
					2.						arcsin									C
						8								49
						1												x		C
					3.	1					arcsin						8	x
														7
						8
						8
							1									x			C
					4.		1	arcsin						8		x
					4.	8		arcsin
						8								7
2		Если F(x) – первообразная функ-			1. F(x) C
		ции f(x), то dF(x) равен			2.		F(x)
					3.		f (x) C
					4.		f (x)

3		Первообразная всегда существует			1. Непрерывная
		для функции, если она			2. Неограниченная
					3.	Положительная
62					4.	Отрицательная
62

Продолжение таблицы

№

Вопрос

Варианты ответа

п/п

Если F (x) –

первообразная для за-

1. df (x) F(x) C

данной функции f(x), то

dF(x) f (x) C

dF(x) xf (x) C

df (x) f (x) C

Какая из предложенных формул

dcos(5,1 2,6x)

подведения функции sin(5,1 2,6x)dx

5,1

под знак дифференциала будет пра-

2,6

dcos(5,1 2,6x)

вильной ?

5,1

dcos(5,1 2,6x)

2,6

dcos(5,1 2,6x)

2,6

Если функция f (x) непрерывная, то

f (x)

производная

от неопределенного

F(x)

интеграла

f(x)x

f (x)dx равна

f (x)

Указать простейшую дробь I типа

x a 2

x a

ax2 bx c

Ax B

ax2 bx c

Разложение правильной рациональ-

Bx c

x2 1

x 1

ной дроби

на про-

(x 1)(x2 1)

стейшие дроби имеет вид

(x 1)2

x 1

Окончание таблицы

№			Вопрос					Варианты ответа
п/п			Вопрос					Варианты ответа
п/п
9		dx	равен				1						2x
					1.				arctg										C
					1.				arctg										C
	4 3x2						2	3				3
							1								x			C
					2.		1	arctg					3		x
												2
						2	3
						2	3
					3.		1	arcctg			2			x			C
					3.			arcctg									C
						2	3					3
					4.		1	arcsin		2				x		C
					4.			arcsin								C
						2	3					3

10	При	интегрировании по частям		в	1.	u(x) cosx
	интеграле (x3 4x 8)cos xdx			в	2.	u(x) x3 4x 8
	качестве функции u(x) следует				3.	u(x) cosxdx
	принять				4.	u(x) sin xdx

Глава 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

9.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Рассмотрим задачу нахождения площади криволинейной трапеции,

которая естественным образом приведет к понятию определенного интеграла. Пусть на отрезке [а,b] дана неотрицательная непрерывная функция f(x).

Рассмотрим фигуру, ограниченную графиком этой функции, осью Ох и прямыми х = а, х = b (рис.9.1). Такая фигура называется криволинейной трапецией. Требуется найти ее площадь S.

Для решения задачи разобьем отрезок [а,b] произвольным образом точками x0 ,x1,x2 ,...,xn на п частей, считая a x0 x1 x2 ... xn 1 xn b, и проведем через них прямые x xk k 0,1,2,...,n . Тогда рассматриваемая криволинейная трапеция разобьется на п частичных трапеций, построенных на промежутках xk ,xk 1 k 0,1, 2,...,n 1. Выберем на каждом из частич-

ных промежутков xk,xk 1 произвольную точку

k , вычислим значения

функции f(

k ) и введем обозначения xk

xk 1 xk

для частичного отрезка.

Легко видеть,

что

каждое из произведений

0 x0,

x1 x1,

f (

) x2,..., f

n 1 xn 1

равно площади прямоугольника, опирающегося соот-

ветственно на

частичные промежутки

x0,x1 , x1,x2 , x2,x3 ,..., xn 1,xn и

имеющего высоты f

0 , f

x1 , f

2 ,..., f

n 1 . Сумма

n 1

Sn f

k 0

равна площади ступенчатой (заштрихованной) фигуры, составленной из указанных прямоугольников. При неограниченном увеличении числа точек

f x0

f xn 1

y = f (x)

х1

n 1

х3

n 1

хn

Рис.9.1

0 k 0 n

дробления (n ) отрезка [а,b] на части так, чтобы длина самого большого

частичного промежутка стремилась к нулю ( max xk 0), необходимо

установить, как ведет себя величина Sn, т.е. найти предел вида

n 1

lim f xk xk .

Решение многих практических задач (определение массы стержня переменной плотности, определение работы силы при прямолинейном движении точки и др.) сводится к вычислению пределов указанного вида. Это обусловило введение понятия определенного интеграла – одного из фундаментальных понятий математики. Перейдем к его определению, отвлекаясь от кон-

кретного содержания задачи.
	Определение 1. Пусть на отрезке [а,b], где а < b, определена непрерыв-
ная функция f(x). Проделаем пять операций:
	1) разобьем промежуток [а,b] произвольным образом на п частей точка-
ми	x0, x1, x2,......,xn 1, xn ,	следующими	друг	за другом,	так что
a x0 x1 x2 ... xn 1 xn		b (для удобства записи точки а и b обозначе-
ны	соответственно через	x0 и хп) и	введем	обозначения	xk xk 1

xk k 0,1,2, ,n 1. Назовем рангом (шагом) дробления число max xk ;

в каждом частичном промежутке xk ,xk 1

k 0,1,2,...,n 1 выберем

произвольно точку

k ;

вычислим значения f

0 , f

x1 , f

2 , ...,

n 1 функции f(x) в

выбранных точках;

составим сумму

n 1

σn f

k xk ,

k 0

называемую интегральной суммой (суммой Римана) функции f(x) на отрез-

ке [а,b], отвечающей данному разбиению его на п частей и данному выбору точек xk ;

5) рассмотрим предел интегральной суммы при 0 (при этом число промежутков n )

		n 1
limσn	lim f		x	k	xk
0	0	k 0
n	n

Если существует этот конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения промежутка [а,b] на части, ни от выбора промежуточных точек xk , то он называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [а, b]

b	f x dx . Здесь f(x) – подынтегральная функция;
и обозначается символом	f x dx . Здесь f(x) – подынтегральная функция;
a
66

f(x)dx – подынтегральное выраже-		у
ние; х – переменная интегрирова-
ние; х – переменная интегрирова-
ния; а – нижний предел интегриро-						+
вания; b – верхний предел интегри-						+
рования.		О			a
Таким образом, по определе-
нию полагаем
b		n 1
f x dx lim		f	x	k	xk .
a	0	k 0
	n

–b х

Рис.9.2

(9.1)

Если для функции f(x) существует интеграл по промежутку [а,b], то ее называют интегрируемой на этом промежутке.

В определении интеграла (9.1) предполагалось, что а < b. Снимем это

b	b	f x dx, если b < а, и
ограничение, положив по определению,	f x dx	f x dx, если b < а, и
a	a
b
f x dx 0, если b=a.
a

Определение 2. Функция f(x) называется кусочно-непрерывной на не-

котором промежутке, если она непрерывна на всем промежутке, кроме конечного числа точек, где она имеет разрывы первого рода.

Теорема (без доказательства). Если функция f(x) кусочно-непрерывна на промежутке [а,b], то она на нем интегрируема.

Из изложенного следует, что формула (9.1), дающая выражение для площади S криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком неотрицательной непрерывной функции f(x), снизу – осью Ох, а с боков – вертикальными прямыми х = а, х = b, может быть записана в виде

S f x dx.

Геометрический смысл определенного интеграла можно сформулиро-

вать следующим образом: определенный интеграл от непрерывной функции равен алгебраической сумме площадей криволинейных трапеций, ограниченных графиком этой функции, осью абсцисс, а также прямыми х = а и х = b (рис.9.2). При этом площади криволинейных трапеций, расположенных над осью абсцисс, берутся со знаком плюс, а площади трапеций, расположенных под осью абсцисс – со знаком минус.

9.2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Свойство 1. Если функция f(x) интегрируема на промежутке [а,b] а с – некоторая постоянная, то функция сf(x) также интегрируема на [а,b], причем

b b

cf x dx c f x dx .

a a

Доказательство.

b		n 1					n 1				b
cf x dx lim		cf	x	k	xk	c lim f		x	k	xk	c f x dx .
a	0	k 0				0	k 0				a
	n					n

Свойство 2. Если функции f1(x) и f2(x) интегрируемы на промежутке [а,b], тоих сумма f1(x) + f2(x) также интегрируема на промежутке [а,b], причем

f1 x f2 x dx f1 x dx f2 x dx.

Доказательство.

n 1

f1 x f2 x dx lim

k 0

n 1

lim f1

lim f2

k xk

f1 x dx f2 x dx

k 0

Легко видеть, что свойство 2 справедливо для любого конечного числа слагаемых.

Заметим, что свойства 1 и 2 выражают свойство линейности опреде-

ленного интеграла относительно подынтегральной функции: определен-

ный интеграл от линейной комбинации конечного числа интегрируемых функций равен соответствующей (т.е. с теми же коэффициентами) линейной комбинации определенных интегралов от этих функций:

b	b	b
	c1 f1 x c2 f2 x cn fn x dx c1 f1 x dx cn fn x dx.
a	a	a

Свойство 3 (аддитивность относительно промежутка интегрирова-

ния). Если функция f(x) интегрируема в наибольшем по длине промежутке, определяемом любыми числами а, b, с, то имеет место равенство


	b		c			b
			f x dx f x dx f x dx.					(9.2)
	a		a			c
Доказательство. Будем считать число с одной из точек деления отрезка
[a,b] на части. Тогда имеем
n 1			c					b
n lim f	x	k xk lim f		x	k	xk	lim f		x	k xk .
0 k 0			0 a				0	c
n			n				n
Переходя в этом равенстве к пределу при n ,							получим равенство (9.2).
Свойство 4. Если а < b и на промежутке [а,b] функция f(x) интегрируе-
ма, причем всюду в [а,b]			выполняется неравенство					f (x) 0 f (x) 0 , то

имеет место неравенство вида

f x dx 0

f x dx 0 . (9.3)

Доказательство. Составим интегральную сумму для функции f(x) на промежутке [а,b]:

n 1

f xk xk.

k 0

В согласии с условием имеем f (x) 0 при x [a,b]. В частности

f (xk ) 0. Так как при любом k имеем xk 0, то для каждого слагаемого в интегральной сумме получим f (xk ) xk 0 . Отсюда следует, что для любой


	n 1
интегральной суммы имеет место неравенство f		x	k	xk	0. Переходя к
	k 0
пределу при 0,	n , получим (9.3).

Свойство 5. Если а < b и на промежутке [а,b] функции f(x) и g(x) интегрируемы, причем в [а,b] выполняется неравенство f(x) g(x), то имеем для

x [a,b]

b	b
g x dx f (x)dx.
a	a
Доказательство. Найдем разность
b	b	b
g x dx f x dx (g x f x dx.
a	a	a
По условию g(x) f (x) 0,		тогда, учитывая свойство 4,
b	b	b
g(x) f (x) dx 0, а значит,	g(x)dx	f (x)dx .
a	a	a

Свойство 6. Если a b и на отрезке a,b функция f(x) интегрируема, а т и М – соответственно наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке a,b , то имеет место неравенство

b	f (x)dx M b a
m b a	f (x)dx M b a	(9.4)

Доказательство. Так как для функции f(x) всюду в a,b выполняется неравенство m f (x) M , то, используя дважды свойство 5, получим:

mdx f (x)dx Mdx .

Вынесем постоянные множители m и М за знак интеграла и, учитывая,

b	b
что m dx m(b a) и	M dx M(b a) , придем к неравенству (9.4).
a	a
Свойство 7 (теорема о среднем значении). Если функция f(x) непре-
рывна на отрезке a,b , то найдется хотя бы одна такая точка		c [a,b], что
справедливо равенство
	b
	f (x)dx f (c)(b a) .	(9.5)

Доказательство. Рассмотрим лишь случай a < b. Так как функция f(x) непрерывна на промежутке a,b , то она достигает на этом промежутке своих наименьшего и наибольшего значений, которые обозначим соответственно m и М. Это значит, что всюду на a,b выполняется неравенство m f (x) M и, следовательно, в согласии со свойством 6, можно написать

m b a f (x)dx M b a .

Разделив все части неравенств на положительное число b a, получим

1 b

m b a a f (x)dx M .

Так как функция f(x) непрерывна на отрезке a,b , то она принимает на нем все значения между т и М, в частности в некоторой точке c [a,b] принимает значение

		1			b
			f (c)		f (x)dx,
			f (c)		f (x)dx,
				b a a
				называемое средним значением функ-
у	у = f (x)			ции f(x) на отрезке a,b .
	у = f (x)				Умножим обе части последнего
				равенства на b – a и получим (9.5).
					Теорема о среднем в случае неот-
f (c)				рицательной функции f(x) имеет про-
f (c)				рицательной функции f(x) имеет про-
				стой геометрический смысл: площадь
				криволинейной трапеции, ограничен-
				ной сверху графиком функции f(x),
				равна площади прямоугольника с тем
				же основанием и высотой f(c) (рис.9.3).
О					Свойство 8. Если a < b и на про-
	a	c b х			Свойство 8. Если a < b и на про-
	a	c b х				f (x)	интегри-
				межутке a,b функция		f (x)	интегри-
	Рис.9.3			руема, то
70

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]