Высшая математика. Том 3. Элементы высшей алгебры. Интегральное исчисление функций одной переменной и его приложения. Учебник

Глава 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

8.1. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) в промежутке [a,b] , если во всех точках этого промежутка выполняется равенство

F'(x) = f(x) или dF(x) = f(x)dx.

Теорема 1. Если F1(x) и F2(x) – две первообразные для функции f(x) на промежутке a,b , то они отличаются на постоянную величину С.

Доказательство. По определению первообразной имеем

F1(x) f (x),F2(x) f (x), x a,b .

Обозначим F1(x) F2(x) (x),продифференцируем это равенство:

Следовательно, (x) C, теорема доказана.

Определение 2. Неопределенным интегралом от функции f(x) или от выражения f(x)dx называется совокупность всех ее первообразных.

Неопределенный интеграл обозначается символом f (x)dx, где f(x) на-

зывается подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выраже-

нием; знаком интеграла. Таким образом, имеем

f (x)dx F(x) C .

Отыскание неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием. Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию. Отметим также, что f (x)dxсуществует, если по-

дынтегральная функция f(x) непрерывна на промежутке a,b .

Основные свойства неопределенного интеграла следующие:

1)f (x)dx f (x) ;

2)d f (x)dx f (x)dx ;

3)dF(x) F(x) C ;

4)af (x)dx a f (x)dx , где a = const;

5)f1(x) f2(x) dx f1(x)dx f2(x)dx .

Свойства 1-3 следуют из определения первообразной и неопределенного интеграла и легкопроверяются дифференцированием. Докажем свойства 4 и 5.

Свойство 4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла,

т.е. если a = const, то

21

af (x)dx a f (x)dx.

Доказательство. Запишем для левой и правой частей соответственно

af (x)dx af (x).

a f (x)dx a f (x)dx af (x).

Свойство 5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов:

f1(x) f2(x)dx f1(x)dx f2(x)dx (для двух функций).

Доказательство. Применив свойство 1 к левой и правой частям равенства, запишем соответственно

по правилу дифференцирования суммы.

Полезно иметь ввиду также следующие соотношения для неопределенного интеграла:

Эти соотношения также проверяются дифференцированием. Например, для первого из них справедливо для левой части

f (ax)dx f (ax),

для правой части

Используя таблицу производных, составим таблицу основных интегралов, которую впоследствии дополним.

Таблица основных интегралов:

I.dx x C.

22

III.dx

ln x C.x

Каждую из этих формул также легко проверить дифференцированием. Рассмотрим ряд примеров непосредственного интегрирования, под ко-

торым понимается алгебраическое преобразование подынтегральной функции, применение свойств 1-5 и вычисление интегралов с помощью таблицы основных интегралов.

Решение. Возводя подынтегральную функцию в квадрат и используя свойства 4 и 5, получим

23

dx

Пример 8.3. Найти интеграл .

x4 x2

Решение. В числителе подынтегральной функции прибавим и вычтем х2, в знаменателе вынесем за скобки общий множитель х2 и поделим числитель на знаменатель. В результате получим

Решение. По свойству степени подынтегральную функцию можно записать следующим образом:

x2 m

рифмом».

24

8.2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В НЕОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ

Пусть требуется найти f (x)dx, причем непосредственно подобрать

первообразную для f(x) мы не можем, но известно, что она существует. В этом случае используются «специальные» методы интегрирования. В частности, одним из наиболее сильных приемов для интегрирования функции является метод замены переменной или подстановки.

Теорема. Пусть существует первообразная для функций f(x) и x (t),

где (t) – непрерывная функция, имеющая непрерывную производную. Тогда

функция, имеющая непрерывную производную (t) и обратную функцию

t(x). Формула замены переменной в этом случае имеет вид

f (x)dx f (t) '(t)dt ;

2)u = (x), где u – новая переменная. Формула замены переменной при такой подстановке выглядит так:

f ψ(x) ψ'(x)dx f (u)du.

t x 2ln1 x C 2ln(1 x) C.

* Здесь и далее в фигурных скобках даны необходимые пояснения.

25

ременной t равна наименьшему общему кратному степеней корней перемен-