Высшая математика. Том 3. Элементы высшей алгебры. Интегральное исчисление функций одной переменной и его приложения. Учебник

Последний интеграл является интегралом от неправильной рациональ-

Метод нахождения коэффициентов А, В, С, D рассмотрен подробно в разделе 7.2.2. Применив его, получим

4t2 – 2 = At(t2 + 1) + B(t2 + 1) + (Ct + D)t2;

4t2 – 2 = At3 + At + Bt2 + B + Ct3 + Dt2;

Отсюда

dt

Рассмотрим также некоторые другие частные случаи интегрирования тригонометрических выражений, для которых полезно знать подстановки и приемы интегрирования, приводящие к цели быстрее, чем универсальная тригонометрическая подстановка.

Интегралы вида sinmxcosnxdx, sinmxsinnxdx, cosmxsinnxdx, m ≠ n,

вычисляются с помощью следующих тригонометрических формул:

sinαcosβ 1 sin α β sin α β ; 2

sinαsinβ 1 cos α β cos α β ; 2

cosαcosβ 1 cos α β cos α β . 2

Пример 8.53. Найти интеграл cos3xcos5xdx.

Решение. Воспользуемся одной из указанных формул. Тогда

52

Пример 8.54. Найти интеграл sin3xcos7xdx

Решение. Запишем

Интегралы вида tgnxdx и ctgnxdx, n > 0, вычисляются с помощью тригонометрических формул tg2 x 1/cos2 x 1 и ctg2 x 1/sin2 x 1.

Пример 8.55. Найти интеграл tg5 xdx

Решение. Вычислим

Интегралы вида sinmxcosnxdx, где m, n – целые числа; m – показатель степени синуса; n – показатель степени косинуса, вычисляются особенно просто в следующих случаях:

1)хотя бы одно из чисел m и n положительное и нечетное;

2)оба числа m и n неотрицательные и четные;

3)оба числа четные и хотя бы одно из них отрицательное (более общий случай: m + n = –2k – отрицательное четное число).

53

В первом случае, если показатель степени синуса – нечетное положительное число m = 2k + 1, то в подынтегральном выражении sinmx преобразуем так:

sinmx = sin2k+1x = sin2kx sinx = (1 – cos2 x)ksinx.

Тогда

m n 2 k n

I sin xcos xdx 1 cos x cos xsin xdx.

Теперь применим подстановку t = cosx, dt = –sinxdx, в результате чего полу-

чим I 1 t2 ktndt , т.е. решение сводится к интегрированию суммы сте-

пенных функций.

Аналогично, если n – нечетное и положительное число, т.е. n = 2k + 1, то подынтегральное выражение cosnx представляем как

cosnx = cos2k+1x = cos2kxcosx = (1 – sin2x)kcosxdx.

Тогда

m n m 2 k

I sin xcos xdx sin x1 sin x cosхdx .

Применим подстановку t = sinx, dt = cosxdx и получим

I tm 1 t2 k dt .

Пример 8.57. Найти интеграл sin22xcos3xdx. Решение. Имеем случай 1. Тогда

Пример 8.58. Найти интеграл sin3 xdx .

Решение. Имеем

54

В случае 2, когда оба числа m и n четные и неотрицательные, нужно осуществить понижение степени тригонометрических функций по известным тригонометрическим формулам через косинус двойного аргумента:

Пример 8.60. Найти интеграл sin2 xcos4 xdx.

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение, используя указанные выше тригонометрические формулы:

Пример 8.61. Найти интеграл cos4 xdx .

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение следующим образом:

55

В случае 3, когда m + n= –2k, применима любая из подстановок t = tgx или t = ctgx. Если в подынтегральной функции в числителе находится степень sinx, то более удачной является подстановка t = tgx:

Если в числителе находится степень cosx, то рациональнее использовать подстановку