Алгебраические структуры с двумя бинарными операциями. Учебное пособие. Специальность 050201.65 – «Математика» с дополнительной специальностью «Информ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет»

Алгебраические структуры с двумя бинарными операциями

Учебное пособие

Специальность 050201.65 – «Математика» с дополнительной специальностью «Информатика»,

направление 050100 – «Педагогическое образование», профиль «Математика. Информатика и ИКТ»,

направление 050200.62 – «Физико-математическое образование», профиль «Математика»

Пермь

ПГГПУ

2013

1

УДК 512.565 ББК В 144.4 А 456

Рецензент:

доктор педагогических наук, профессор кафедры высшей математики НИУ ВШЭ – Пермь Е.Г. Плотникова

Автор-составитель: кандидат педагогических наук, доцент кафедры высшей матема-

тики ПГГПУ Ю.В. Корзнякова

Алгебраические структуры с двумя бинарными операциями: учеб- А 456 ное пособие. Специальность 050201.65 – «Математика» с дополнительной специальностью «Информатика», направление 050100 – «Педагогическое образование», профиль «Математика. Информатика и ИКТ», направление 050200.62 – «Физикоматематическое образование», профиль «Математика» / авт.-сост.

Ю.В. Корзнякова; Перм. гос. гуманит.-пед. ун-т. – Пермь, 2013. – 78 с.

Представлен теоретический материал (конспекты лекций) и комплексы практических заданий для организации аудиторной и самостоятельной работы студентов по изучению раздела «Алгебраические структуры с двумя бинарными операциями» курса «Алгебраические структуры» и «Математические модели, методы и теории».

Пособие предназначено для студентов очного и заочного отделений, обучающихся по направлениям 050200.62 – «Физико-математическое образование» (профиль «Математика»), 050100 – «Педагогическое образование» (профиль «Математика»), специальности 050201.65 – «Математика, информатика».

УДК 512. 565 ББК В 144.6

Печатается по решению учебно-методического совета Пермского государственного гуманитарно-педагогического университета

© ФГБОУ ВПО «Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет», 2013

2

Часть 2. Организация контроля знаний и самостоятельной работы студентов по

4

Используемые обозначения

В данном пособии используются следующие обозначения для некоторых часто встречающихся множеств:

– пустое множество;

N – множество всех натуральных чисел;

Z – множество всех целых чисел;

Z 0 Z\ 0 ;

Q – множество всех рациональных чисел;

Q 0 Q\ 0 ;

R – множество всех действительных чисел;

R 0 R \ 0 ;

C – множество всех комплексных чисел;

C 0 C\ 0 ;

Rn (Zn, Qn, Cn) – множество арифметических n-мерных векторов с действительными (целыми, рациональными, комплексными) компонентами (напри-

мер, Z2 a,b |a,b Z );

Zm – множество классов вычетов по модулю m;

n – класс вычетов, порожденный элементом n, в кольце классов вычетов по модулю m;

mZ {mx| x Z}, где заданное m N – множество всех целочисленных

кратных натурального числа m (например, 2Z {2x| x Z}– множество всех четных целых чисел);

2Z 1 {2x 1| x Z}– множество всех нечетных целых чисел;

5

Z x (Q x ,R x ,C x ) – множество всех многочленов от одного переменно-

го с целыми (рациональными, действительными, комплексными) коэффициентами; Р х – с коэффициентами из некоторого поля Р.

Z i {a bi | a,b Z,i2 1} – множество целых гауссовых чисел;

Z p {a bp | a,b Z}, где заданное р – простое число (например,

Z 2 {a b2 | a,b Z}; Z 3 {a b3 | a,b Z});

Q p {a bp | a,b Q};

mZ p {a bp | a,b mZ};

Mn(К) – множество квадратных матриц n-го порядка с коэффициентами из числового множества К, где К – кольцо или поле;

6

Введение

Под алгебраической структурой (иногда говорят об универсальных алгеб-

рах) понимается множество A, на котором определена некоторая система внут-

ренних операций и отношений, подчиняющихся тем или иным законам – ак-

сиомам соответствующих структур. Само множество A называется носителем алгебраической структуры.

Каждую алгебраическую структуру можно записать в виде: A, ,ω , где

– множество операций, заданных на А, ω – множество отношений, заданных на А.

Иногда как саму структуру, так и ее носитель обозначают одной и той же буквой.

В важнейших классических алгебраических структурах, изучаемых в стан-

дартных программах курса алгебры, рассматриваются почти всегда бинарные операции.

К алгебраическим структурам с одной алгебраической бинарной операци-

ей относятся группоиды, полугруппы, моноиды и группы.

Важнейшими алгебраическими структурами с двумя алгебраическими би-

нарными операциями являются кольца (коммутативные и некоммутативные),

поля, тела. Другой тип алгебраических структур с двумя бинарными операция-

ми образуют так называемые решетки.

При изучении алгебры студент обязан научиться различать основные алгеб-

раические структуры (группа, кольцо, поле), их виды, знать основные стан-

дартные примеры этих структур. Описание видов и свойств алгебраических структур с одной бинарной операций содержится в [8]. В данном учебном по-

собии рассматриваются алгебраические структуры с двумя бинарными опера-

циями: кольца и поля.

В первой главе «Методические рекомендации по изучению раздела „Алгеб-

раические структуры с двумя бинарными операциями”» приводится подробное

7

изложение первоначальных понятий и теорем. Оно сопровождается достаточно большим количеством примеров и упражнений.

Во второй главе «Организация контроля знаний и самостоятельной работы студентов по разделу „Алгебраические структуры с двумя бинарными опера-

циями”» представлены практические задания для организации аудиторных за-

нятий и домашних работ. Все они разбиты на два уровня сложности: А и В. За-

дачи уровня А являются базовыми, их должны уметь решать все студенты; для поиска решений задач уровня В студенты должны свободно владеть изучаемым теоретическим материалом и опытом решения задач уровня А.

В этой главе также содержатся задачи для организации самостоятельной ра-

боты студентов, включая индивидуальные домашние задания (25 вариантов),

примерный вариант итогового теста и список рекомендованной литературы.

8

Часть 1. Методические рекомендации по изучению раздела «Алгебраические структуры с двумя бинарными операциями»

1.1.Понятие и простейшие свойства колец

Определение 1. Непустое множество K, на котором заданы две (бинарные алгебраические) операции + (сложение) и (умножение), называется кольцом,

если по первой операции оно образует абелеву группу, по второй операции – полугруппу, и операции связаны дистрибутивными законами.

Итак, K, , – кольцо, если:

1)K, – абелева группа;

2)K, – полугруппа;

3)умножение дистрибутивно относительно сложения, то есть для

a,b,c K верны равенства:

a b c a b a c (левый дистрибутивный закон);

b c a b a c a (правый дистрибутивный закон).

Все перечисленные выше требования в определении кольца принято назы-

вать аксиомами кольца.

Замечание. В некоторых приложениях и в общей теории колец ассоциатив-

ность умножения не требуется. В таких случаях различают ассоциативные и неассоциативные кольца. В данном пособии будут рассматриваться только ас-

социативные кольца.

Алгебра K, называется аддитивной группой кольца.

Если K, – моноид, то говорят, что K, , – кольцо с единицей.

Обозначение единичного элемента – 1 или е.

Определение 2. Элементы a и b кольца K, , называются делителями нуля, если они оба отличны от нуля (нулевого элемента кольца) (a и b ),

а их произведение равно нулю (ab ).

9

Если кольцо K, , содержит делители нуля, то говорят, что это кольцо с делителями нуля.

Если операция умножения в кольце является коммутативной, то есть

a,b K a b b a, то кольцо K, , называется коммутативным (в отли-

чие от групп, коммутативное кольцо не принято называть абелевым!).

Примеры колец.

I.Числовые кольца:

1)Z, , , Q, , , R, , , C, , , Z i , , – коммутативные

кольца с единицей;

2)nZ, , – коммутативное кольцо (без единицы при n 1).

II. Кольца квадратных матриц порядка n:

1)Mn C , , с комплексными элементами;

2)Mn R , , с действительными элементами;

3)Mn Q , , с рациональными элементами;

4)Mn Z , , с целыми элементами;

III.Кольца многочленов от одной переменной:

1)Z x , , с целыми коэффициентами;

2)Q x , , с рациональными коэффициентами;

3)R x , , с действительными коэффициентами;

4)C x , , с комплексными коэффициентами.

Все они являются коммутативными с единицей.

IV.Кольцо многочленов от n переменных P x1,x2 ,...,xn , , с коэффи-

циентами из поля P.

10