Алгебраические структуры с двумя бинарными операциями. Учебное пособие. Специальность 050201.65 – «Математика» с дополнительной специальностью «Информ

Замечание. В области целостности можно построить теорию делимости,

аналогичную кольцам целых чисел и многочленов.

1.6.Идеалы кольца

Определение. Подкольцо кольца К называется левым идеалом, если оно замкнуто относительно умножения на все элементы кольца слева. Подкольцо кольца К называется правым идеалом, если оно замкнуто относительно умно-

жения на все элементы кольца справа.

Итак, I – левый идеал кольца К, если: 1)I – подкольцо кольца К;

2)для t K и a I ta I .

I – правый идеал кольца К, если: 3)I – подкольцо кольца К;

для t K и a I at I .

Если идеал одновременно является и левым, и правым, то он называется

двусторонним или просто идеалом.

Итак, чтобы проверить, что непустое подмножество I кольца К является ле-

вым (правым) идеалом, необходимо проверить следующие условия:

Пример 1.

В кольце целых чисел Z, , подмножество I 2n| n Z является дву-

сторонним идеалом.

Пример 2.

В кольце матриц второго порядка M2(R) подмножество диагональных мат-

Проверим, будет ли М левым или правым идеалом.

21

ляется левым идеалом.

Теорема (Критерий левого идеала). Непустое подмножество I кольца К яв-

ляется левым идеалом тогда и только тогда, когда выполняются следующие ус-

Доказательство.

1.Необходимое условие. Пусть I – левый идеал кольца К. Тогда I – под-

кольцо кольца К и выполняется условие (2). Покажем, что выполняется

тельно, a b a b I .

2.Достаточное условие. Пусть I – непустое подмножество кольца К, для ко-

торого выполняются условия (1) и (2). Докажем, что I – левый идеал.

Поэтому из условия (1) b b I . Итак, условие б) выполняется.

Условие а) также выполняется, потому что a b a b I .

Условие в) следует из условия (2).

22

Построим главный идеал, порожденный элементом 5.

5 r 5 n 5| r,n Z 5m| m Z .

Пример 2.

Пусть K 2Z, , .

Построим главный идеал, порожденный элементом 6.

6 r 6 n 6| r 2Z,n Z .

В данном случае 6 6m| m 2Z .

Такое несовпадение связано с отсутствием в кольце K 2Z, , единич-

ного элемента.

Свойство идеала в кольце с единицей

Теорема. Если К – кольцо с единицей, то главный идеал, порожденный элементом а, состоит из всех элементов кольца, кратных элементу а, то есть

а rа| r K .

Доказательство.

Пусть а K . Рассмотрим сумму ra na ra n ea ra ne a r ne a.

Так как ra na K , то r K такой, что ra na r a.

Замечание. Если в кольце построить идеал е , порожденный единичным элементом, то он совпадет с самим кольцом: е tе|t K .

Идеалы, порожденные несколькими элементами

Пусть а,b K . Идеал, порожденный этими элементами, задается следую-

щим образом:

а,b r1a n1a r2b n2b| r1,r2 K,n1,n2 Z .

Если К – кольцо с единицей, то а,b r1a r2b| r1,r2 K .

Аналогично строятся идеалы из трех, четырех и любого конечного числа

элементов кольца.

24

1.8. Отношение сравнимости элементов кольца по идеалу

Пусть К – кольцо, I – идеал К.

Определение. Элементы а и b кольца К называются сравнимыми по идеалу I,

если а b I .

Обозначение: а b( I) .

Свойства сравнимости

Свойство 1. Отношение сравнимости по идеалу является отношением экви-

валентности.

Доказательство.

1.Рефлексивность.

аа(I), так как а а I.

2.Симметричность.

b a(I).

3.Транзитивность.

аb(I) и b c(I), следовательно, а b,b c I

и а b b c a c I, поэтому a c(I).

Свойство 2. Сравнения по одному и тому же идеалу можно почленно скла-

дывать.

Доказательство.

Пусть а b(I) и c d (I). Значит, а b,c d I. Так как I – идеал, то

а b c d a c b d I, поэтому a c b d (I).

Свойство 3. К обеим частям сравнения можно прибавлять один и тот же элемент кольца.

Доказательство:

а b(I), следовательно, a c b с(I) для с K .

Свойство 4. Слагаемые из одной части сравнения можно переносить в дру-

гую с противоположным знаком.

25

Доказательство:

а b c(I), следовательно, a b ( b) с ( b)(I), поэтому a с b(I).

Свойство 5. К любой части сравнения можно добавлять любой элемент из

идеала.

Дано:

а b(I), m1,m2 ,m3 I .

Доказать: а) а m1 b(I); б) а b m1 (I); в) а m2 b m3 (I).

Доказательство:

а) а b(I), поэтому а b I . Так как m1 I , то а b m1 а m1 b I, по-

этому а m1 b(I).

Случаи б и в доказываются аналогично.

Свойство 6. Сравнения по одному идеалу можно почленно вычитать. (Доказательство аналогично свойству 2).

Свойство 7. Сравнения по одному идеалу можно почленно перемножать.

Дано:

а b(I), c d (I).

Доказать: ac bd (I).

Доказательство:

а b(I), c d (I) поэтому а b I, c d I .

Следствие. Обе части сравнения можно возводить в одну и ту же натураль-

ную степень.

Свойство 8. Обе части сравнения можно умножать на один и тот же эле-

мент кольца.

26

1.9. Классы вычетов по идеалу. Факторкольцо

Поскольку отношение сравнимости элементов кольца по идеалу является отношением эквивалентности, то элементы кольца К можно разбить на классы,

называемые классами вычетов по идеалу.

Класс вычетов с представителем а будем обозначать Ка.

По определению, Ka b K |b a I .

Свойства классов вычетов по идеалу

Свойство 1. Каждый класс Ka , так как a Ka .

Свойство 2. Если a b I , то Ka Kb .

Свойство 3. Если a b I , то Ka Kb .

Свойство 4. Все различные классы вычетов по идеалу в объединении дают кольцо К.

Пусть К – кольцо, I – идеал кольца К. Построим классы вычетов по данному идеалу. Обозначим множество классов вычетов K I .

Итак, K I Ka ,Kb ,... .

Введем на множестве K I операции.

Для Ka ,Kb K I

1.Ka Kb Ka b ;

2.Ka Kb Kab .

Покажем, что множество классов вычетов по заданным операциям образует кольцо.

1.Докажем, что K I , – абелева группа.

1)операция сложения выполнима и однозначна по определению;

27

2)ассоциативность операции следует из ассоциативности операции сложения в кольце К;

3)K b K |b I I – нулевой элемент;

4)к элементу Ka противоположный элемент K a ;

5)оммутативность операции следует из коммутативности операции сложения в кольце К.

2.Докажем, что K I , – полугруппа.

1)операция умножения выполнима и однозначна по определению;

2)ассоциативность операции следует из ассоциативности операции ум-

ножения в кольце К.

3. Докажем дистрибутивные законы.

Ka Kb Kc Ka b Kc K a b c Kac bc Kac Kbc Ka Kc Kb Kc .

Аналогично проверяется левый дистрибутивный закон.

Итак, K I , , – кольцо. Данное кольцо называется факторкольцом кольца

К по идеалу I.

1.10. Понятие и простейшие свойства полей

Очень важным частным случаем кольца является поле.

Определение. Полем называется коммутативное кольцо с единицей e , в

котором всякий элемент, отличный от нуля, имеет обратный.

28

R x , , , C x , , также не являются полями, так как всякий многочлен степени больше нуля не имеет обратного элемента в этих кольцах.

Пример 2.

Докажем, что множество R является полем относительно операций и

, определенных по следующим правилам: a b a b; a b πab.

Ясно, что и являются алгебраическими бинарными на множестве R.

Покажем, что R, , – поле.

1.Очевидно, что R, – абелева группа.

2.Покажем, что операция в R ассоциативна.

Пусть a,b,c R. Тогда

a b c πab c π2abc;

ab c a πbc π2abc.

3.Докажем, что операция дистрибутивна относительно операции .

Пусть a,b,c R. Отметим, что операция в R коммутативна.

В силу коммутативности операции достаточно проверить только один из

двух дистрибутивных законов, например, что a b c a c b c .

Имеем:

a b c a b c π a b c πac πbc a c b c a c b c

5.Покажем, что для всякого a R, где a 0 в кольце R, , имеется обратный элемент.

це R, , , обратный к а.

Простейшие свойства полей

Свойство 1. Во всяком поле F, , справедлив закон сокращения на об-

щий множитель, отличный от нуля, то есть

a,b,c F , если ab ac и a , то b c.

Доказательство. Если a , то в поле F, , есть элемент a 1 , обратный к а. Поэтому, умножив равенство ab ac на a 1 , получим eb ec, где е – еди-

ница поля F, , . Значит, b c.

Свойство 2. Во всяком поле нет делителей нуля.

Доказательство. Пусть a,b F и ab . Если a , то сокращая равен-

ство ab a на a , получим, b . Таким образом, если произведение двух элементов из F равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.

Значит, в F нет делителей нуля.

Обозначим K \ K 0 .

Свойство 3. Кольцо K, , является полем тогда и только тогда, когда

K 0 , есть абелева группа.

Доказательство.

1. Необходимость.

Пусть K, , – поле с единицей е. Покажем, что K 0 , есть абелева группа.

30