Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Алгебраические структуры с двумя бинарными операциями. Учебное пособие. Специальность 050201.65 – «Математика» с дополнительной специальностью «Информ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

841 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

25.	K R2 , a,b c,d a c,b d , a,b c,d ac bc,ad bd ;
	H a,5k b \| a,b Q, k Z .
26.	K Z, a b a b 1, a b ab a b;	H 2Z 1.

27.K Q2 , a,b c,d a c,b d , a,b c,d ac,bd ;

2 2

H2m k,2n l | k,l Z, n,m N .

28.K R3 , a,b,c u,v,w a u,b v,c w ,

a,b,c u,v,w au,bw,cu bw ;

H0,0,c |c Z .

29.K Z2 ,

a,b c,d a c,b d , a,b c,d 2ac 3bd,2ad 2bc ;

Ha,b Z2 |b 3 .

30.K Q, a b a b 2, a b ab 2a 2b 2;

H 4k 2| k Z .

II.Докажите, что множество F является полем с операциями и . Про-

верьте, будет ли Н подполем поля К.

1.	F Q,		– сложение чисел, a b 3ab;		H 3k l \| k,l Z .
2.	F Q,		– сложение чисел, a b 2ab;
		k
	H			\| k Z,n N 0 .
	H			\| k Z,n N 0 .

		2n

3.F Q2 , a,b c,d a c,b d , a,b c,d ac 11bd,ad bc ;

H a,0 | a Q .

4. F R, – сложение чисел, a b		ab; H c d		\| c,d Q .
	2		2

5.F a b7 | a,b Q , и – сложение и умножение чисел.

H a b7 | a,b Z .

6.F a b11| a,b Q , и – сложение и умножение чисел.

H a b11| a Z, b 2Z .

7.F a bi | a,b Q , и – сложение и умножение чисел.

H a bi| a Q, b Z .

8.F R2 , a,b c,d a c,b d , a,b c,d ac 13bd,ad bc ;

H a,0 | a R .

9.F R2 , a,b c,d a c,b d , a,b c,d ac 5bd,ad bc ;

H a,b | a 2Z 1, b 2Z .

a		b
10.F		\| a,b R , и – сложение и умножение матриц.
	b
		a

a H 0

a 11.F b

2k H 0

0			.
\| a Q			.

a
b				, и – сложение и умножение матриц.
	\| a,b Q			, и – сложение и умножение матриц.
a
a
0
		\| k Z .
2	k	\| k Z .
2

12.F Q2 , a,b c,d a c,b d , a,b c,d ac 5bd,ad bc ;

H a,b | a,b Z .

13.F Q2 , a,b c,d a c,b d , a,b c,d ac 3bd,ad bc ;

H a,b | a,b 2Z .

14.F Q2 , a,b c,d a c,b d , a,b c,d ac 7bd,ad bc ;

H a,b |a,b Z, a 3, b 3 .

15.F Q2 , a,b c,d a c,b d , a,b c,d ac 11bd,ad bc ;

H a,b |a,b Z, a 5, b 5 .

a 16.F b

a H a

2b			, и – сложение и умножение матриц.
	\| a,b R		, и – сложение и умножение матриц.
a
a
2a		.
	\| a R	.
a
a

a 17.F

a H 3a

b			, и – сложение и умножение матриц.
	\| a,b R		, и – сложение и умножение матриц.
a
a
a		.
	\| a Q	.
a
a

a		b
18.F		\| a,b Q , и – сложение и умножение матриц.
	5b
		a

a H 5 2k

2k a |

a Q, k Z .

a	7b
19.F	\|

b	a
a	7b
H	\|

b	a

a,b Q , и – сложение и умножение матриц.

a Z .

a 20.F

11b

a H 11b

b	, и – сложение и умножение матриц.
\| a,b R	, и – сложение и умножение матриц.

a
b		.
\| a 2Z 1, b 2Z		.

a

21.F R2 , a,b c,d a c,b d , a,b c,d ac 2bd,ad bc ;

H a,b | a,b Q .

22.F Q2 , a,b c,d a c,b d , a,b c,d ac 3bd,ad bc ;

H a,0 | a Z .

23.F C, – сложение чисел, a b iab;

H c di |c,d Q .

24.F Q2 , a,b c,d a c,b d , a,b c,d ac 7bd,ad bc ;

H a,b | a,b Z .

a				4a
25.F				\|			a Q , и – сложение и умножение матриц.

a				4a
	2	k	l	2	k 2			l
	2		l	2				l
									\|k,l Z .
H		k				k			\|k,l Z .
	2	k	l	2		k	l
	2		l	2			l
									53

26.F

| a R , и – сложение и умножение матриц.

| a c d

2,c,d Q .

27.F

| a Q , и – сложение и умножение матриц.

| a 4

l,k,l Z .

28.F

| a Q , и – сложение и умножение матриц.

| a

,k Z,n N 0 .

29.F

a 30.F a

a

3
		\| a R , и
a

3

	a

3
		\| a Q .
	a

3

a			, и
	\| a R

a

– сложение и умножение матриц.

a	a
H	\| a Q .

a	a

2.3. Индивидуальные задания для студентов
Вариант 1
1. Докажите, что структура K, , , где	a	b
1. Докажите, что структура K, , , где	K	\|a,b Z , является

	b	a

кольцом. Выясните, будет ли это кольцо коммутативным, имеет ли оно делители нуля и единичный элемент. Найдите множество обратимых элементов кольца. Является ли K, , полем?

2. Делится ли элемент α на элемент β в кольце K, , (см. задание 1), если:

5		5	1		2	3		4	2		3
а) α			, β			; б) α			, β			?
	5	5		2	1		4	3		3	2

a		b
3. Докажите, что подмножество I		\| a,b 2Z K образует идеал
	b
		a

кольца K, , (см. задание 1). Будут ли сравнимы по этому идеалу эле-

менты α и β, если:

1		5		4		3		3		1	7		1
а) α			,	β			; б)	α		,	β			? Приведите
	5	1			3	4			1			1	7
										3

пример пары элементов данного кольца, сравнимых по идеалу I.

4.Постройте факторкольцо кольца K, , по идеалу I (см. задание 3). Со-

ставьте таблицы сложения и умножения элементов этого факторкольца. Найдите делители нуля и обратимые элементы факторкольца.

5.Даны два кольца: K, , (см. задание 1) и Z i , , . Задано соответст-

вие φ между элементами этих колец следующим образом: для любого эле-

	a	b	положим φ α a bi Z i . Определите, будет ли
мента α		K	положим φ α a bi Z i . Определите, будет ли
	b
	b	a

данное соответствие	φ гомоморфизмом кольца		K, , в кольцо
Z i , , . Если да, то найдите ядро гомоморфизма.
Вариант 2
1. Докажите, что структура		K, , , где	K a,b \|a,b Z ,
a c,	и a,b c,d a c,b d ,
a,b c,d	и a,b c,d a c,b d ,
b d

a,b c,d ac,bd , является кольцом. Выясните, будет ли это кольцо коммутативным, имеет ли оно делители нуля и единичный элемент. Найдите множество обратимых элементов кольца. Является ли K, , полем?

2. Делится ли элемент α на элемент β в кольце K, , (см. задание 1), ес-

ли: а) α 10, 3 , β 2,3 ; б) α 6, 5 , β 3,2 ?

3. Докажите, что подмножество I a,b |a,b 2Z K образует идеал кольца

K, , (см. задание 1). Будут ли сравнимы по этому идеалу элементы α

иβ, если:

а) α 15, 6 , β 7,4 ; б) α 3,8 , β 2, 7 ? Приведите пример пары

элементов данного кольца, несравнимых по идеалу I.

4.Постройте факторкольцо кольца K, , по идеалу I (см. задание 3). Со-

ставьте таблицы сложения и умножения элементов этого факторкольца. Найдите: делители нуля и обратимые элементы факторкольца; для каждого элемента факторкольца противоположный элемент.

5.Даны два кольца: K, , (см. задание 1) и Z, , . Задано соответст-

вие φ между элементами этих колец следующим образом: для любого элемента α a,b K положим φ α a Z. Определите, будет ли данное со-

ответствие φ гомоморфизмом кольца

K, , в кольцо Z, , . Если

да, то найдите ядро гомоморфизма.

Вариант 3

K a b

| a,b Z является

Докажите,

что

структура

K, , ,

где

кольцом. Выясните, будет ли это кольцо коммутативным, имеет ли оно де-

лители нуля и единичный элемент. Найдите множество обратимых элемен-

тов кольца. Является ли K, , полем?

Делится ли элемент α на элемент β в кольце K, , (см. задание 1), если:

а) α 16 17

, β 5

; б) α 12 3

, β 5 2

Докажите,

что

подмножество

I a b

| a,b 3Z K

образует идеал

кольца K, ,

(см. задание 1). Будут ли сравнимы по этому идеалу эле-

менты α

и β,

если: а)

α 6 7

β 2 5

;

б)

α 11 2

β 1 4

? Приведите пример пары элементов данного кольца, сравни-

мых по идеалу I.

Постройте факторкольцо кольца K, ,

по идеалу I (см. задание 3). Со-

ставьте таблицы

сложения

умножения

элементов этого

факторкольца.

Найдите: делители нуля и обратимые элементы факторкольца; для каждого элемента факторкольца противоположный элемент.

5. Даны	два	кольца:	K, , (см.	задание	1)	и	M, , , где
a		b
M		\|a,b Z . Задано соответствие φ между элементами этих ко-

2b		a
лец следующим образом: для любого элемента					α a b			K положим
лец следующим образом: для любого элемента					α a b		2	K положим
a		b
φ α		M . Определите, будет ли данное соответствие φ гомомор-
	2b
	2b	a
физмом кольца K, , в кольцо M, , . Если да, то найдите ядро го-
моморфизма.
Вариант 4
1. Докажите, что структура K, , ,				a		b
1. Докажите, что структура K, , ,				где K		\|a,b Z , является

				b		a

2. Делится ли элемент α на элемент β в кольце K, , (см. задание 1), ес-

		2	7	4	1			5 2	3		2
	ли: а) α		,	β			; б) α		, β		?
					4					2
		7 2		1	4			2 5		2	3
3.	Докажите,	что подмножество					a	b
3.	Докажите,	что подмножество				I		\|a,b 2Z K образует идеал

							b	a
	кольца K, , (см. задание 1). Будут ли сравнимы по этому идеалу эле-
	менты α и β, если:
а)	7	12		3 4	б)		1	15	5		6
а)	α	,	β	;	б)		α	,	β		? Приведите
										6
	12	7		4 3			15	1		6	5

пример пары элементов данного кольца, несравнимых по идеалу I.

4.Постройте факторкольцо кольца K, , по идеалу I (см. задание 3). Со-

ставьте таблицы сложения и умножения элементов этого факторкольца. Пользуясь таблицами, найдите делители нуля и множество обратимых элементов факторкольца.

5.Даны два кольца: K, , (см. задание 1) и Z, , . Задано соответст-

вие φ между элементами этих колец следующим образом: для любого

a	b	будет ли
элемента α	K положим φ α a b Z. Определите,	будет ли

b	a
данное соответствие φ гомоморфизмом кольца K, ,		в кольцо
Z, , . Если да, то найдите ядро гомоморфизма.

Вариант 5

1.Докажите, что структура K, , , где K a bi2 | a,b Z является кольцом. Выясните, будет ли это кольцо коммутативным, имеет ли оно делители нуля и единичный элемент. Найдите множество обратимых элементов кольца. Является ли K, , полем?

2.Делится ли элемент α на элемент β в кольце K, , (см. задание 1), ес-

ли: а) α 3 5i2 , β 1 2i2 ; б) α 12 11i2, β 3 i2 ?

3.Докажите, что подмножество I a bi2 | a,b 2Z K образует идеал кольца K, , (см. задание 1). Будут ли сравнимы по этому идеалу эле-

менты α и β, если: а) α 5 4i 2,

β 3 2i 2 ; б)

α 11 3i 2 ,

β 6 4i2? Приведите пример пары элементов данного кольца, сравни-

мых по идеалу I.

4.Постройте факторкольцо кольца K, , по идеалу I (см. задание 3). Со-

ставьте таблицы сложения и умножения элементов этого факторкольца.

Пользуясь таблицами, для каждого элемента факторкольца найдите противоположный элемент. Определите делители нуля и обратимые элементы факторкольца.

5. Даны	два	кольца:	K, , (см. задание 1) и	M, , , где
a		2b
M		\|a,b Z . Задано соответствие φ между элементами этих
	b
	b	a

колец следующим образом: для любого элемента α a bi			2 K поло-
	a	2b
жим φ α		M . Определите, будет ли данное соответствие
	b
	b	a

гомоморфизмом кольца K, , в кольцо M, , . Если да, то найдите ядро гомоморфизма.

Вариант 6
1. Докажите, что структура K, , ,	где K a,b \|a,b Z и для
a c,
α,β K, α a,b , β c,d , α β	и α β a c,b d ,

b d

α β ac 2bd,ad bc , является кольцом. Выясните, будет ли это кольцо коммутативным, имеет ли оно делители нуля и единичный элемент. Найдите множество обратимых элементов кольца. Является ли K, , полем?

2.Делится ли элемент α на элемент β в кольце K, , (см. задание 1),

если: а) α 25, 1 , β 3,7 ; б) α 4, 17 , β 1,3 ?

3. Докажите, что подмножество I a,b | a,b 3Z K образует идеал кольца K, , (см. задание 1). Будут ли сравнимы по этому идеалу

элементы α и β, если:

а) α 11, 7 , β 13,2 ; б) α 3,5 , β 7, 4 ? Приведите пример па-

ры элементов данного кольца, несравнимых по идеалу I.

4.Постройте факторкольцо кольца K, , по идеалу I (см. задание 3).

Составьте таблицы сложения и умножения элементов этого факторкольца. Найдите: делители нуля и обратимые элементы факторкольца; для каждого элемента факторкольца противоположный элемент.

5.Даны два кольца: K, , (см. задание 1) и Z, , . Задано соответ-

ствие φ между элементами этих колец следующим образом: для любого элемента α a,b K положим φ α a Z. Определите, будет ли данное

соответствие φ гомоморфизмом кольца K, , в кольцо Z, , . Ес-

ли да, то найдите ядро гомоморфизма.

Вариант 7
1. Докажите, что структура K, , , где	a		0
1. Докажите, что структура K, , , где	K			\| a,b Z , является
		0	b
		0	b

кольцом. Выясните, будет ли это кольцо областью целостности. Найдите множество обратимых элементов кольца. Является ли K, , полем?

2. Делится ли элемент α на элемент β в кольце K, , (см. задание 1), ес-

9		0	3		0	15		0	4		0
ли: а) α			, β			; б) α			, β			?
	0	12		0	4		0	6		0	2

a		0
3. Докажите, что подмножество I			\| a,b 3Z K образует идеал
	0	b

кольца K, , (см. задание 1). Будут ли сравнимы по этому идеалу эле-

менты α и β, если:

17		0	4		0	11		0	5		0
а) α			, β			; б) α			, β			? Постройте пример
	0	5		0	4		0	3		0	1

пары элементов данного кольца, несравнимых по идеалу I.

4.Постройте факторкольцо кольца K, , по идеалу I (см. задание 3). Со-

ставьте таблицы сложения и умножения элементов этого факторкольца. Пользуясь таблицами, найдите противоположные элементы для элементов факторкольца; делители нуля и множество обратимых элементов.

5.Даны два кольца: K, , (см. задание 1) и Z, , . Зададим соответ-

ствие φ между элементами этих колец следующим образом: для любого

a	0
элемента α	K положим φ α a Z. Определите, будет ли дан-

0	b
ное соответствие φ гомоморфизмом кольца K, ,			в кольцо Z, , .
Если да, то найдите ядро гомоморфизма.
Вариант 8		K, , , где	K a,b \|a,b Z ,
1. Докажите, что	структура	K, , , где	K a,b \|a,b Z ,
a c,
a,b c,d	и a,b c,d a c,b d ,
b d
a,b c,d ac 3bd,ad bc ,		является кольцом. Выясните, будет ли это

кольцо коммутативным, имеет ли оно делители нуля и единичный элемент. Найдите множество обратимых элементов кольца. Является ли K, ,

полем?
2.	Делится ли элемент α на элемент β в кольце K, , (см. задание 1),
	если: а) α 39, 1 , β 3,7 ; б)	α 15, 2 , β 3, 1 ?
3.	Докажите, что подмножество	I a,b \|a,b 2Z K образует идеал

кольца K, , (см. задание 1). Будут ли сравнимы по этому идеалу элементы α и β, если:

а) α 17, 3 , β 14,9 ; б) α 16,5 , β 2,7 ? Постройте пример пары элементов данного кольца, сравнимых по идеалу I.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]