Алгебраические структуры с двумя бинарными операциями. Учебное пособие. Специальность 050201.65 – «Математика» с дополнительной специальностью «Информ

V. Кольцо классов вычетов по модулю m.

Это конечное кольцо. Оно содержит m элементов.

Для примера рассмотрим Z6, , – кольцо классов вычетов по модулю 6.

Это кольцо содержит 6 элементов: Z6 0,1,2,3,4,5 . Таблицы Кэли по опера-

циям сложения и умножения имеют следующий вид (табл. 1 и 2):

Как видно из таблиц, данное кольцо является коммутативным, содержит

единицу (1) и делители нуля (например, 2·3=0).

Простейшие свойства колец

Пусть K, , – кольцо.

Свойство 1. Выполняются все свойства аддитивной группы кольца (един-

ственность нулевого элемента, единственность противоположного элемента у каждого элемента кольца и др.).

Свойство 2. Для a,b,c K a b c ac bc.

Доказательство.

Содной стороны, применяя дистрибутивный закон для элементов кольца,

имеем: a b b c a b c bc.

Сдругой стороны, a b b c ac.

11

Поэтому: a b c bc ac, откуда a b c ac bc.

Свойство 3. Для a K a .

Доказательство.

b b, поэтому a b b a ba ba .

Свойство 4. Для a,b K a b ab.

Доказательство.

a a, поэтому a b a b ab ab.

1.2.Подкольцо кольца

Определение. Непустое подмножество L кольца K, , называется под-

кольцом этого кольца, если оно само образует кольцо по тем же операциям, что

и K, , .

Теорема (Критерий подкольца). Непустое подмножество L кольца K, ,

является подкольцом этого кольца тогда и только тогда, когда:

1)для a,b L a b L;

2)для a L a L;

3)для a,b L ab L.

Доказательство.

1.Необходимость. Пусть L – подкольцо кольца K, , . Тогда L, , само является кольцом, следовательно, L не пусто и в нем выполняются условия

1) – 3).

2.Достаточность. Пусть L – непустое подмножество кольца K, , и в L вы-

полняются условия 1) – 3). Докажем, что L – подкольцо кольца K, , .

Проверим, что в L выполняются аксиомы кольца:

1) L, – абелева группа:

а) операция в L выполнима по условию 1);

б) ассоциативность выполняется в К, следовательно, выполняется в L;

в) из условий 1) и 2) – a a L;

12

г) наличие противоположных элементов в L следует из условия 2);

д) коммутативность выполнима в К, следовательно, выполнима в L. 2) L, – полугруппа:

а) операция выполнима по условию 3);

б) ассоциативность выполняется в К, следовательно, выполняется в L.

3)Дистрибутивные законы выполняются в К, следовательно, выполняются в

L.

Итак, L, , является кольцом.

Примеры.

1. 2Z – подкольцо кольца Z, , ; Z – подкольцо кольца Q, , ; Q – под-

кольцо кольца R, , ; Q – подкольцо кольца C, , .

2.Z[x] – подкольцо кольца Q x , , .

3.Пусть К – произвольное кольцо, Θ K , Θ {θ}, где θ – нулевой элемент К.

Очевидно, что Θ будет подкольцом кольца К. Это подкольцо называется ну-

левым подкольцом.

4.Пусть K, , – произвольное кольцо. Само кольцо K, , также являет-

ся подкольцом кольца K, , .

5. 2Z 1 не образует подкольцо кольца Z, , , так как нарушается условие

1) критерия подкольца: для a,b 2Z 1 a b 2Z 1. Действительно,

3 2Z 1 и 5 2Z 1, а 3 5 8 2Z 1.

6. N не образует подкольцо кольца Z, , , так как нарушается условие 2)

критерия подкольца: для a N a N. Действительно, 2 N, а 2 N.

1.3.Обратимые элементы кольца

Определение 1. Элемент a 1 кольца K, , с единицей е называется об-

ратным к элементу а, если a 1 а а a 1 е.

Например, в кольце Z, , целых чисел обратным к элементу 1 является элемент 1, к элементу 1 – элемент 1. В этом кольце ни у каких других эле-

13

ментов обратных нет. В кольце Q, , рациональных чисел обратным к эле-

всех элементов, кроме нулевого, есть обратные.

Определение 2. Элемент кольца K, , с единицей называется обрати-

мым (или делителем единицы), если существует обратный a 1 K .

Примеры.

1.В кольце Z, , обратимыми являются числа 1 и –1.

2.В кольце 2Z, , обратимых элементов нет, так как нет единичного

элемента.

3.В кольце Q, , обратимы все числа, кроме нуля.

4.В кольце Mn R , , квадратных матриц с действительными элемента-

ми обратимы все невырожденные матрицы.

Теорема. Множество обратимых элементов кольца с единицей образуют мультипликативную группу.

Доказательство.

Пусть L – множество обратимых элементов кольца K, , с единицей.

Так как единичный элемент e – обратимый элемент кольца K, , , следо-

вательно, 1 L, поэтому L .

Докажем, что L, – группа:

1)пусть a,b L. Покажем, что ab L.

Так как a,b L, то а и b – обратимы, то есть a 1,b 1 К .

Так как K, , – кольцо, то ab 1 b 1a 1 K , значит, элемент ab – об-

ратим, поэтому ab L;

2)умножение в L ассоциативно, так как оно ассоциативно в К;

3)e L, так как e 1 e К ;

элемент a 1 также обратим, следовательно, a 1 L.

14

Итак, L, – группа.

Замечание. Группу обратимых элементов кольца называют мультиплика-

тивной группой кольца. Таким образом, с кольцом принято связывать две груп-

пы – аддитивную и мультипликативную.

Примеры.

1.В кольце Z, , аддитивная группа Z, , мультипликативная груп-

па 1 , .

2.В кольце Q, , аддитивная группа Q, , мультипликативная груп-

па Q-0 , .

3.В кольце 2Z, , аддитивная группа 2Z, , мультипликативная

группа не существует.

4. В кольце Mn R , , квадратных матриц с действительными элемента-

ми аддитивная группа Mn R , , мультипликативная группа состоит из множества всех невырожденных матриц.

1.4.Гомоморфизм и изоморфизм колец

Определение. Кольца К1, , и К2 , , называются гомоморфными,

если существует отображение φ:К1 К2 , сохраняющее операции.

То есть, кольца К1, , и К2 , , гомоморфны, если выполняются следующие условия:

1) отображение φ:К1 К2 ;

2) a,b K1 φ a b φ a φ b и φ a b φ a φ b .

Если отображение φ взаимно-однозначно, то кольца К1, , и К2 , ,

называются изоморфными.

Обозначение: К1 К2 .

Пример.

15

1. К2 , – абелева группа, так как изоморфный образ абелевой группы – абелева группа [8].

2. К2 , – полугруппа, так как изоморфный образ полугруппы – полугруп-

па [8].

3. Проверим, что в К2 выполняются дистрибутивные законы.

a1 b1 с1 a1 c1 b1 c1 .

Тогда: φ a1 b1 с1 φ a1 c1 b1 c1 , значит,

φa1 b1 φ с1 φ a1 c1 φ b1 c1 ,

φa1 φ b1 φ с1 φ a1 φ c1 φ b1 φ c1 ,

то есть a2 b2 с2 a2 c2 b2 c2 .

Аналогично доказывается левый дистрибутивный закон.

Замечание. Так как при доказательстве не использовалась взаимная одно-

значность φ, то гомоморфный образ кольца также будет кольцом.

1.5. Область целостности. Основное свойство. Целочисленные кратные и кратные элемента области целостности

Определение. Областью целостности называется коммутативное кольцо с

единицей без делителей нуля.

Примеры.

1.Область целостности образует каждое из следующих числовых колец:

Z, , , Q, , , R, , , C, , , Z i , , .

2.Область целостности не образует кольцо nZ, , при n 1 (оно не со-

держит единицу).

3.Область целостности образует кольцо многочленов Р х .

4.Кольцо квадратных матриц Mn C , , при n 1 не является областью

целостности (не является коммутативным).

17

5. Кольцо функций от переменной х f x | x R , , не является обла-

стью целостности. Оно является коммутативным, но содержит делители

Очевидно, что f1 x f2 x 0.

Теорема (Основное свойство области целостности). В области целостности

K, , выполняется закон сокращения, то есть для a,b,с K , a из

ab aс следует b c.

Доказательство.

Пусть ab aс. Прибавим к обеим частям этого равенства элемент кольца

aс. Получим: ab aс . По свойствам кольца a b с . Так как в области целостности нет делителей нуля и a , то b c . Откуда следует, что

b c.

Замечание. В произвольном кольце закон сокращения может не выполнять-

ся. Например, в кольце квадратных матриц второго порядка M2 R , , рас-

Целочисленные кратные элемента области целостности

Пусть K, , – область целостности, a K , n Z. Определим целочис-

ленное кратное na элемента а следующим образом:

если n 0, то na a a ... a K (элемент na определяется однозначно в

n раз

силу однозначности операции сложения в кольце);

если n 0, то 0a ( – нулевой элемент кольца);

18

Если a , то в этом случае должно быть b , потому что если b , то из равенства ac b , следовало бы, что a и c (К – область целостно-

сти). Но если a и b , то элемент с определяется неоднозначно (это мо-

жет быть любой элемент кольца К).

Если a , а b , то элемент с определяется однозначно, а именно: с

в силу отсутствия делителей нуля в области целостности К.

Если a и b , то элемент с также определяется однозначно. Допустим,

что это не так. Пусть c1 K , что b ac1 , и c2 K , что b ac2 , с1 c2 . Тогда b ac1 ac2 . Так как a , то, используя закон сокращения в области целост-

ности, получаем, что с1 c2 . Получили противоречие.

Итак, чтобы частное определялось однозначно, необходимо, чтобы a .

Поэтому рассматриваются кратные только ненулевых элементов кольца К.

Основные свойства кратных элемента

Пусть a,b,c K . Будем считать, что во всех свойствах соответствующие делители отличны от нуля.

Свойство 1. a a.

Свойство 2. Если a c и b c, то a b c.

Свойство 3. Если a b и b c, то a c.

Свойство 4. Если a b, то для c K aс b.

Свойство 5. Если a1 b, a2 b, …, am b то для c1,c2 ,...cm K a1с1 a2c2 ... amcm b.

Доказательство всех свойств опирается на определение кратного элемента области целостности. Докажем, например, свойство 2.

Доказательство.

По условию, a b, следовательно, !d1 K , что a bd1 . Аналогично, b c, то