Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Алгебраические структуры с двумя бинарными операциями. Учебное пособие. Специальность 050201.65 – «Математика» с дополнительной специальностью «Информ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

841 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

4.	Постройте факторкольцо кольца K, , по идеалу I (см. задание 3).
	Составьте таблицы сложения и умножения элементов этого факторкольца.
	Найдите: делители нуля и множество обратимых элементов факторкольца;
	для каждого элемента факторкольца противоположный элемент.
5.	Даны два кольца: K, , (см. задание 1) и										M, , , где M K ,
	M a,0 \| a Z . Задано соответствие φ между элементами этих колец
	следующим		образом:			для	любого	элемента			α a,b K			положим
	φ α a,0 M . Определите, будет ли данное соответствие φ													гомомор-
	физмом кольца K, , в кольцо M, , . Если да, то найдите ядро
	гомоморфизма.
Вариант 9
1.	Докажите, что структура K, , , где									a	3b
1.	Докажите, что структура K, , , где								K		\| a,b Z , являет-

										b	a
	ся кольцом. Выясните, будет ли это кольцо областью целостности. Найди-
	те множество обратимых элементов кольца. Является ли K, , полем?
2.	Делится ли элемент α на элемент β в кольце K, , (см. задание 1), ес-
		4		15		2	3		1	9	2		3
	ли: а) α			,	β		; б) α				, β			?
									3			1	2
		5		4		1	2		3	1		1	2
3.							a	3b					образует иде-
3.	Докажите, что подмножество I								\| a,b 2Z K				образует иде-

							b	a
	ал кольца K, ,				(см. задание 1). Будут ли сравнимы по этому идеалу
	элементы α и β, если:
а)	6	3			0 9			1	6		3	9
а)	α		,	β		;	б) α			, β			? Приведите
		6			3			2
	1	6			3	0		2	1		3 3

пример пары элементов данного кольца, не сравнимых по идеалу I.

4.Постройте факторкольцо кольца K, , по идеалу I (см. задание 3). Со-

ставьте таблицы сложения и умножения элементов этого факторкольца.

Пользуясь таблицами, укажите противоположные для элементов факторкольца, найдите делители нуля и множество обратимых элементов.

5. Даны два	кольца: K, , (см. задание		1) и	M, , , где
M a bi		\| a,b Z . Задано соответствие φ	между элементами этих
M a bi	3	\| a,b Z . Задано соответствие φ	между элементами этих
			a	3b
колец следующим образом: для любого элемента α				K поло-

			b	a
	61

жим φ α a bi3 M . Определите, будет ли данное соответствие φ го-

моморфизмом кольца K, , в кольцо M, , . Если да, то найдите ядро гомоморфизма.

Вариант 10

1. Докажите, что структура K, , , где K Z i a bi | a,b Z являет-

ся кольцом. Выясните, будет ли это кольцо областью целостности. Найдите множество обратимых элементов кольца. Является ли K, , полем?

2.Делится ли элемент α на элемент β в кольце K, , (см. задание 1), ес-

ли: а) α 10 5i, β 3 4i; б) α 7 8i, β 3 2i?

3.В кольце K, , (см. задание 1) постройте главный идеал I, порожден-

ный элементом 1 i K . Выясните, какие элементы кольца К лежат в построенном идеале. Будут ли сравнимы по этому идеалу элементы α и β,

если: а) α 3 5i, β 6 11i; б) α 2 17i, β 2 3i? Приведите пример пары элементов данного кольца, сравнимых по данному идеалу.

4.Постройте факторкольцо кольца K, , по идеалу I (см. задание 3). Со-

ставьте таблицы сложения и умножения элементов этого факторкольца. Пользуясь таблицами, для каждого элемента факторкольца найдите противоположный элемент. Определите делители нуля и обратимые элементы факторкольца.

5. Даны два кольца:		K, ,	(см. задание 1) и M, , , где			M K ,
M a 0i \| a Z . Задано соответствие φ между элементами этих колец
следующим	образом: для любого элемента			α a bi K		положим
φ α a M . Определите, будет ли данное соответствие φ гомоморфиз-
мом кольца K, , в кольцо M, , . Если да,					то найдите ядро гомо-
морфизма.
Вариант 11			K, , ,		K a,b \|a,b Z ,
1. Докажите,	что	структура		где
	a c,
a,b c,d		и a,b c,d a c,b d ,
	b d

a,b c,d ac 2bd,ad bc , является кольцом. Выясните, будет ли это кольцо коммутативным, имеет ли оно делители нуля и единичный элемент. Найдите множество обратимых элементов. Является ли K, , полем?

Делится ли элемент α на элемент β в кольце K, , (см. задание 1),

если: а) α 28,11 , β 2,5 ; б)

α 15, 8 , β 2, 1 ?

Докажите,

что

подмножество

I a,b | a,b 3Z K

образует идеал

кольца

K, , (см. задание 1). Будут ли сравнимы по этому идеалу

элементы α и β, если:

а) α 11, 2 , β 2, 5 ; б) α 16, 3 , β 9,15 ? Постройте пример пары

элементов данного кольца, несравнимых по идеалу I.

Постройте факторкольцо кольца K, , по идеалу I (см. задание 3).

Составьте таблицы сложения и умножения элементов этого факторкольца.

Найдите: делители нуля и множество обратимых элементов; для каждого

элемента факторкольца противоположный элемент.

Даны

два

кольца:

K, ,

(см. задание 1)

M, , , где

M a bi

| a,b Z . Задано соответствие φ между элементами этих

колец следующим образом: для любого элемента

α a,b K положим

φ α a bi

M . Определите,

будет ли данное соответствие φ гомо-

морфизмом кольца K, , в кольцо

M, , .

Если да, то найдите

ядро гомоморфизма.

Вариант 12

Докажите,

что

структура

K, , , где

a Z , является

кольцом. Выясните, будет ли это кольцо областью целостности. Найдите

множество обратимых элементов кольца. Является ли K, , полем?

Делится ли элемент α на элемент β в кольце K, , (см. задание 1), ес-

4 0

ли: а) α

, β

; б)

, β

0 15

0 4

В кольце K, , (см. задание 1) постройте главный идеал I, порожден-

ный элементом

. Из каких матриц он состоит? Будут ли срав-

нимы по этому идеалу элементы α и β, если:

17		0	4		0	8		0	3		0
а) α			, β			; б) α			, β			? Приведите пример
	0	17		0	4		0	8		0	3

пары элементов данного кольца, не сравнимых по идеалу I.

4.Постройте факторкольцо кольца K, , по идеалу I (см. задание 3). Со-

ставьте таблицы сложения и умножения элементов этого факторкольца. Пользуясь таблицами, укажите противоположные для элементов факторкольца, найдите делители нуля и обратимые элементы.

5.Даны два кольца: K, , (см. задание 1) и Z, , . Задано соответст-

вие φ между элементами этих колец следующим образом: для любого

a	0
элемента α		K положим φ α a Z. Определите, будет ли дан-
	a
0	a
ное соответствие φ гомоморфизмом кольца K, ,				в кольцо Z, , .
Если да, то найдите ядро гомоморфизма.
Вариант 13			K a bi		\|a,b Z является
1. Докажите, что структура K, , , где
1. Докажите, что структура K, , , где				3

кольцом. Выясните, будет ли это кольцо областью целостности. Найдите множество обратимых элементов кольца. Является ли K, , полем?

2.Делится ли элемент α на элемент β в кольце K, , (см. задание 1), ес-

ли: а) α 36 11i3, β 3 2i3; б) α 5 7i3, β 1 2i3?

3.В кольце K, , (см. задание 1) постройте главный идеал I, порожден-

ный элементом α 2 0i3. Будут ли сравнимы по этому идеалу элемен-

ты β

γ,

если:

а) β 17 5i 3,

γ 14 i

б)

β 13 4i

γ 9 2i

? Приведите пример пары элементов данного кольца, сравни-

мых по идеалу I.

Постройте факторкольцо кольца K, , по идеалу I (см. задание 3). Со-

ставьте таблицы сложения и умножения элементов этого факторкольца.

Пользуясь таблицами, для каждого элемента факторкольца найдите про-

тивоположный элемент. Определите делители нуля и обратимые элементы

факторкольца.

Даны

два кольца:

K, , (см.

задание 1)

M, , ,

где

|a,b Z . Задано соответствие φ между элементами этих

колец следующим образом: для любого элемента α a bi

K поло-

будет ли данное соответствие

жим φ α

M . Определите,

гомоморфизмом кольца K, , в кольцо M, , . Если да, то найдите ядро гомоморфизма.

Вариант 14
1.	Докажите,	что структура K, , , где					a	3b
1.	Докажите,	что структура K, , , где				K		\|	a,b Z , является

							b	a
	кольцом. Выясните, будет ли это кольцо областью целостности. Найдите
	множество обратимых элементов кольца. Является ли K, , полем?
2.	Делится ли элемент α на элемент β в кольце K, , (см. задание 1), ес-
		4 9		2	3	5	3		1	6
	ли: а) α			, β	; б) α			, β		?
		3
		3	4	1	2	1	5		2 1

3. Докажите, что подмножество

кольца K, , (см. задание менты α и β, если:

1	3		2	6
а) α	,	β			; б)
			2	2
1	1		2	2

a	3b
I	\| a,b 2Z K образует идеал

b	a

1). Будут ли сравнимы по этому идеалу эле-

2		9		4		15
α			,	β			? Приведите пример
	3	2			5	4
	3	2			5	4

пары элементов данного кольца, несравнимых по идеалу I.

4. Постройте факторкольцо кольца K, , по идеалу I (см. задание 3). Со-

ставьте таблицы сложения и умножения элементов этого факторкольца. Пользуясь таблицами, укажите противоположные для элементов факторкольца, найдите делители нуля и множество обратимых элементов.

5. Даны два кольца: K, , (см. задание 1) и M, , , где

M a b 3 | a,b Z . Задано соответствие φ между элементами этих ко-

a	3b
лец следующим образом: для любого элемента α	K положим

b	a

φ α a b3 M . Определите, будет ли данное соответствие φ гомо-

морфизмом кольца K, , в кольцо M, , . Если да, то найдите ядро гомоморфизма.

Вариант 15	структура K, , , где	K a,b \|a,b Z ,
1. Докажите, что	структура K, , , где	K a,b \|a,b Z ,
a c,
a,b c,d	и a,b c,d a c,b d ,
b d
	65

a,b c,d ac 3bd,ad bc , является кольцом. Выясните, будет ли это кольцо областью целостности. Найдите множество обратимых элементов кольца. Является ли K, , полем?

2.	Делится ли элемент α на элемент β в кольце K, , (см. задание 1),
	если: а) α 11,5 , β 1,3 ; б) α 6, 4 , β 1,2 ?
3.	Докажите, что подмножество I a,b \|a,b 2Z K образует идеал
	кольца K, , (см. задание 1). Будут ли сравнимы по этому идеалу

элементы α и β, если:

а) α 15,8 , β 3,4 ; б) α 1, 3 , β 2,3 ? Постройте пример пары элементов данного кольца, сравнимых по идеалу I.

4.Постройте факторкольцо кольца K, , по идеалу I (см. задание 3).

Составьте таблицы сложения и умножения элементов этого факторкольца. Найдите: делители нуля и множество обратимых элементов факторкольца; для каждого элемента факторкольца противоположный элемент.

5.Даны два кольца: K, , (см. задание 1) и Z, , . Задано соответ-

ствие φ между элементами этих колец следующим образом: для любого элемента α a,b K положим φ α b Z. Определите, будет ли данное

соответствие φ гомоморфизмом кольца K, , в кольцо Z, , . Ес-

ли да, то найдите ядро гомоморфизма.

Вариант 16
1.	Докажите,	что структура		K, , ,		a	b		является
1.	Докажите,	что структура		K, , ,		где K	\|a,b Z ,		является

						b	a
	кольцом. Выясните, является ли это кольцо областью целостности. Най-
	дите множество обратимых элементов кольца. Является ли K, , по-
	лем?
2.	Делится ли элемент α на элемент β в кольце K, , (см. задание 1), ес-
		11 14		2	3	6	2	1	2
	ли: а) α		, β			; б) α		, β	?
		14
		14	11	3	2	2	6	2	1

a	b
3. Докажите, что подмножество I	\| a,b 3Z K образует идеал

b	a

кольца K, , (см. задание 1). Будут ли сравнимы по этому идеалу эле-

менты α и β, если:

5		2	4		1		1		3	2		5
а) α			, β			; б)	α			, β			? Приведи-
	2	5		1	4			3	1		5	2

те пример пары элементов данного кольца, несравнимых по идеалу I.

4.Постройте факторкольцо кольца K, , по идеалу I (см. задание 3). Со-

ставьте таблицы сложения и умножения элементов этого факторкольца. Пользуясь таблицами, найдите делители нуля и множество обратимых элементов факторкольца.

5.Даны два кольца: K, , (см. задание 1) и Z, , . Задано соответст-

вие φ между элементами этих колец следующим образом: для любого

a	b
элемента α	K положим φ α a b Z. Определите, будет ли

b	a

	данное соответствие		φ	гомоморфизмом		кольца		K, , в кольцо
	Z, , . Если да, то найдите ядро гомоморфизма.
Вариант 17
1.						a	2b
1.	Докажите, что структура K, , , где K							\| a,b Z , являет-
							a
						b	a
	ся кольцом. Выясните, будет ли это кольцо областью целостности. Найди-
	те множество обратимых элементов кольца. Является ли K, , полем?
2.	Делится ли элемент α на элемент β в кольце K, , (см. задание 1), ес-
	7	4	1	2	14	2		2	6
	ли: а) α	, β			; б) α		, β		?

	2	7	1	1	1	14		3	2

3.						a	2b				образует иде-
3.	Докажите, что подмножество I							\| a,b 3Z K			образует иде-
							a
						b	a
	ал кольца K, ,			(см. задание 1). Будут ли сравнимы по этому идеалу
	элементы α и β, если:
а)	8	4		1 2			5 4		1	2
а)	α	,	β		; б)	α		,	β		? Приведите
				1			2			1
	2	8		1	1		2	5	1	1

пример пары элементов данного кольца, сравнимых по идеалу I.

4.Постройте факторкольцо кольца K, , по идеалу I (см. задание 3). Со-

5. Даны два	кольца: K, , (см. задание		1) и	M, , , где
M a bi		\| a,b Z . Задано соответствие φ	между элементами этих
M a bi	2	\| a,b Z . Задано соответствие φ	между элементами этих
			a	2b
колец следующим образом: для любого элемента α				K поло-

			b	a

жим φ α a bi2 M . Определите, будет ли данное соответствие φ го-

моморфизмом кольца K, , в кольцо M, , . Если да, то найдите ядро гомоморфизма.

Вариант 18
1. Докажите, что структура K, , , где	a		b
1. Докажите, что структура K, , , где	K		\|a,b Q , является
		b
		b	a

2. Делится ли элемент α на элемент β в кольце K, , (см. задание 1), если:

1		5	3		2		1		4		4		1
а) α		,	β			; б)	α			,	β			? Выясните,
	5			2	3			4	1			1	4
		1

	можно ли подобрать такую пару элементов α и β (β 0) в кольце K, , ,
	чтобы α не делился на β?
3.			a		b		подколь-
3.	Определите, будет ли подмножество I				\| a,b Z K		подколь-
				b
				b	a
	цом и идеалом кольца K, , (см. задание 1).
4.	Постройте факторкольцо кольца K, , ,			где	a	b
4.	Постройте факторкольцо кольца K, , ,			где	K	\| a,b Z по

					b	a
	a	b
	идеалу I	\| a,b 2Z K . Составьте таблицы сложения и умно-

	b	a

жения элементов этого факторкольца. Пользуясь таблицами, укажите противоположные для элементов факторкольца, найдите делители нуля и множество обратимых элементов.

5.Даны два кольца: K, , (см. задание 4) и Z, , . Задано соответствие

φ между элементами этих колец следующим образом: для любого элемента

	a	b
α		K положим φ α a b Z. Определите, будет ли данное со-
	b
	b	a
		68

ответствие φ гомоморфизмом кольца K, , в кольцо Z, , . Если да,

то найдите ядро гомоморфизма.

Вариант 19

1. Докажите, что структура K, , , где K a b3 | a,b Z является кольцом. Выясните, будет ли это кольцо областью целостности. Найдите множество обратимых элементов кольца. Является ли K, , полем?

2.Делится ли элемент α на элемент β в кольце K, , (см. задание 1), ес-

ли: а) α 5 73, β 2 3; б) α 1 23, β 3 3?

3.Выясните, будет ли множество Z подкольцом и идеалом кольца K, ,

(см. задание 1).

Постройте

факторкольцо

кольца K, ,

(см. задание

по идеалу

I a b

| a,b 2Z K

Составьте

таблицы

сложения

умножения

элементов этого факторкольца. Найдите: делители нуля и обратимые эле-

менты факторкольца; для каждого элемента факторкольца противополож-

ный элемент.

Даны

два

кольца:

K, ,

(см.

задание

и M, , , где

между элементами этих

a,b Z . Задано соответствие φ

колец следующим образом: для любого элемента α a b

K поло-

жим φ α

M . Определите, будет ли данное соответствие φ го-

моморфизмом кольца K, ,

в кольцо M, , . Если да, то найдите

ядро гомоморфизма.

Вариант 20

Докажите,

что структура

K, , ,

где

K a,b |a,b Z ,

a,b c,d

a c,

и a,b

c,d a c,b d ,

b d

a,b c,d ac 5bd,ad bc , является кольцом. Выясните, будет ли это кольцо коммутативным, имеет ли оно делители нуля и единичный элемент. Найдите множество обратимых элементов кольца. Является ли K, , по-

лем?

2.	Делится ли элемент α на элемент β в кольце K, , (см. задание 1),
	если: а) α 4,3 , β 1, 2 ; б) α 13,7 , β 1,3 ?
3.	Докажите, что подмножество I a,b \|a,b 2Z K образует идеал

кольца K, , (см. задание 1). Будут ли сравнимы по этому идеалу элементы α и β, если:

а) α 1,10 , β 5, 4 ; б) α 7, 6 , β 15,10 ? Приведите пример пары элементов данного кольца, сравнимых по идеалу I.

4.Постройте факторкольцо кольца K, , по идеалу I (см. задание 3).

Составьте таблицы сложения и умножения элементов этого факторкольца. Найдите: делители нуля и обратимые элементы факторкольца; для каждого элемента факторкольца противоположный элемент.

5.Даны два кольца: K, , (см. задание 1) и Z, , . Задано соответ-

соответствие φ гомоморфизмом кольца K, , в кольцо Z, , . Ес-

ли да, то найдите ядро гомоморфизма.

Вариант 21

1. Докажите, что структура K, , , где K a 2bi | a,b Z является кольцом. Выясните, будет ли это кольцо коммутативным, имеет ли оно делители нуля и единичный элемент. Найдите множество обратимых элементов кольца. Является ли K, , полем?

2.Делится ли элемент α на элемент β в кольце K, , (см. задание 1), ес-

ли: а) α 15 10i, β 7 4i; б) α 1 8i, β 3 2i?

3.В кольце K, , (см. задание 1) постройте главный идеал I, порожден-

ный элементом 2 K . Выясните, какие элементы кольца К лежат в построенном идеале. Будут ли сравнимы по этому идеалу элементы α и β,

если: а) α 7 2i, β 1 4i; б) α 2 12i, β 6 8i? Приведите пример пары элементов данного кольца, сравнимых по данному идеалу.

4.Постройте факторкольцо кольца K, , по идеалу I (см. задание 3). Со-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]