Алгебраические структуры с двумя бинарными операциями. Учебное пособие. Специальность 050201.65 – «Математика» с дополнительной специальностью «Информ

jk i,kj i}

операции сложения и умножения элементов заданы следующим образом:

a1 b1i c1 j d1k a2 b2i c2 j d2k

a1 a2 b1 b2 i c1 c2 j d1 d2 k;

a1 b1i c1 j d1k a2 b2i c2 j d2k a1a2 b1b2 c1c2 d1d2

a1b2 b1a2 d1c2 c1d2 i a1c2 c1a2 b1d2 d1b2 j a1d2 d1a2 b1c2 c1b2 k.

Докажите, что K, , образует некоммутативное кольцо с единицей без

делителей нуля. (множество К называют множеством кватернионов).

Тема 2. Подкольцо кольца, подполе поля

Уровень А

1.Образует ли множество L подкольцо кольца K, , :

a) K Z, L a Z| a 3t 2,t Z ; b) K Z, L a Z| a 5t,t Z ;

2.Среди заданных найдите пары таких колец, в которых первое является под-

кольцом второго (в случае, если данные кольца являются полями, то опреде-

лите, есть ли среди данных пары, в которых первое является подполем вто-

рого):

а) Z, , ; b) nZ, , , где n Z (случаи n 0 и n 1 рассмотрите от-

дельно);

c) Z 2 , , ; d) nZ 2 , , , где nZ 2 a b2 | a,b nZ ;

3.Среди заданных найдите пары таких колец K, , , в которых первое явля-

ется подкольцом второго (в случае, если данные кольца являются полями, то

41

a 0

m)M 0 b | a,b Z , K M2 Z ;

0 0 0

2.Постройте главный идеал, порожденный элементом а в кольце K, , .

Выясните, какой вид имеют элементы этого идеала: a) a 5, K Z; b) a 4, K 2t |t Z ;

3.Приведите пример а) идеала, б) главного идеала кольца Z, , .

4.Приведите пример а) идеала, б) главного идеала кольца Z, , .

5.Приведите пример подкольца кольца Q, , , который будет идеалом этого

кольца, и пример подкольца, который не будет идеалом.

Уровень В

6.Докажите, что непустое подмножество I кольца K, , является его пра-

вым идеалом тогда и только тогда, когда I – такая подгруппа аддитивной группы кольца K, , , что I K I .

7.Почему подкольцо Q, , кольца R, , не будет его идеалом?

8.Покажите, что подкольцо R x , , кольца C x , , не будет идеалом этого кольца.

44

9. Найдите в кольце Q x , , главный идеал М, порожденный многочленом f x 2x 1. Будут ли многочлены f1 x и f2 x принадлежать идеалу М,

Q x , принадлежащих и не принадлежащих построенному идеалу. 10.Докажите, что в коммутативном кольце с единицей:

а) a a , a K ; b) ; e K , где е – единичный элемент К;

c)b c a , если b,c a ;

d)a b тогда и только тогда, когда a b , где a,b K .

11.Из каких многочленов кольца Z x , , состоит главный идеал, порожден-

ный элементом а, если: 1) a 5; 2) a x2 ; 3) a 1.

Тема 5. Сравнимость элементов кольца по идеалу. Классы вычетов. Факторкольцо

Уровень А

1. Постройте факторкольцо кольца K, , :

а) K Z по идеалу (6); b) K Z x по идеалу x2 1 ; c) K Z i по идеалу

1 i . Составьте таблицы сложения и умножения элементов факторкольца.

2.Постройте факторкольца Z2, Z3, Z4, Z5. Составьте для их элементов таблицы сложения и умножения. Найдите все делители нуля и обратимые элементы. Какие из факторколец являются полями?

3.Покажите, что множество M кольца K, , образует идеал этого кольца.

Найдите факторкольцо K M , составьте таблицы сложения и умножения эле-

ментов факторкольца. Для каждого элемента факторкольца укажите проти-

воположный. Найдите группу обратимых элементов.

а) M a,b | a,b 3Z , K a,b | a,b Z ,

где a,b c,d a c,b d , a,b c,d ac bd,ad bc ;

45

Покажите, что ψ – гомоморфизм. Найдите ядро этого гомоморфизма. Будет ли ψ изоморфизмом?

3. Докажите, что отображения φ a bi a bi и φ a bi a bi являются изоморфными отображениями поля комплексных чисел на себя.

4.Дано кольцо 5Z, , . Пусть M1 0;1 . На этом множестве операции сло-

жения и умножения заданы с помощью таблиц:

M1, , и найдите ядро этого гомоморфизма.

Уровень В

5.Докажите, что гомоморфизм двух колец будет изоморфизмом тогда и только тогда, когда ядро этого гомоморфизма состоит только из нулевого элемента первого кольца.

6. Докажите, что кольца K1, , и K2 , , изоморфны между собой:

Ha,b Z2 | a 3, b 3 .

2.K Q2 , a,b c,d a c,b d , a,b c,d ac,ad bc ;

H0,b |b Z .

3.K Z2 , a,b c,d a c,b d , a,b c,d ac,bd ;

H3a,2b | a,b Z .

4.K R3 , a,b,c u,v,w a u,b v,c w ,

a,b,c u,v,w bu,bv,bw ;

H0,b,c |b,c Z .

5.K R2 , a,b c,d a c,b d , a,b c,d ad,bd ;

Ha,0 | a Q .

6.K R3 , a,b,c u,v,w a u,b v,c w ,

a,b,c u,v,w 0,aw,0 ;

Ha,b,a | a,b Z .

7.K Q2 , a,b c,d a c,b d , a,b c,d ac 2bd,ad bc ;

H2a,0 | a Z .

8.K Z2 , a,b c,d a c,b d , a,b c,d ac,ad ;

H0,b |b 2Z .

9.K R2 , a,b c,d a c,b d , a,b c,d ac ad,bc bd ;

Ha,b |a,b Z, a 5, b 3 .

10.K Q2 , a,b c,d a c,b d , a,b c,d bc,bd ;

Ha,b Z2 |a 5, b 3 .

11.K Q2 , a,b c,d a c,b d , a,b c,d ac,bc ;

Ha,b | a 2Z, b Z .

12.K Q3 , a,b,c u,v,w a u,b v,c w ,

a,b,c u,v,w 0,cu,0 ;

H0,b,c |b,c Z .

49