Алгебраические структуры с двумя бинарными операциями. Учебное пособие. Специальность 050201.65 – «Математика» с дополнительной специальностью «Информ

Пусть a,b K 0 . Тогда, по свойству 2, ab и, значит, ab K 0 . Следова-

тельно, умножение является алгебраической бинарной операцией на множестве

K 0 . Эта операция ассоциативна, так как ассоциативно умножение в К. По оп-

ределению поля e . Значит, e K 0 и поэтому является единичным элемен-

том в K 0 . Далее, если a K 0 , то по определению поля, в К имеется элемент

Пусть a,b K . Если a и b , то a,b K 0 , и, так как группа K 0 ,

– абелева, то ab ba. Если же a или b , то ab и ba , так что сно-

ва ab ba.

Таким образом, K, , – коммутативное кольцо.

Покажем, что е – единица кольца K, , . Так как е – единица группы

менту а в кольце K, , .

1.11. Частное элементов поля

Пусть F, , – поле.

31

Определение. Частным элементов а и b поля F, , , где b , называет-

ся такой элемент c F, что a bc.

Частное элементов а и b обозначается через a , так что a b a .

Свойство 1. Для любых элементов а и b поля F, , , где b , сущест-

вует единственное частное a , причем a ab 1.

Доказательства всех свойств опираются на определение частного элементов поля.

Докажем, например, свойство 9 для суммы.

Доказательство.

32

1.12. Характеристика поля

Пусть F, , – поле с единицей е. Элемент е группы F, может быть элементом конечного или бесконечного порядка.

Теорема 1. Если порядок единицы е поля F, , в группе F, коне-

чен, то он является простым числом р, причем в этом случае все ненулевые элементы поля F, , имеют конечный порядок р в группе F, .

Определение 1. Поле F, , , единица которого имеет конечный порядок

р в группе F, , называется полем характеристики р.

Теорема 2. Если единица е поля F, , является элементом бесконечного порядка в группе F, , то все ненулевые элементы поля F, , имеют

бесконечный порядок в группе F, .

Определение 2. Поле F, , , единица которого имеет бесконечный поря-

док в группе F, , называется полем характеристики 0.

Примером поля характеристики 0 является любое числовое поле.

1.13. Подполе поля

Определение. Подполем поля F, , называется непустое подмножество

S множества F, которое само является полем относительно операций, опреде-

33

Пример 2.

Во всяком поле F, , само множество F является подполем поля

F, , .

3)для a,b H ab H ;

4)для a H 0 a 1 H .

Доказательство.

1. Необходимость.

Пусть Н – подполе поля F, , , то есть Н само является полем относи-

тельно операций, определенных в F. Тогда Н – подкольцо кольца F, , ,

следовательно, для его элементов выполняются условия 1) – 3). Пусть a H и a . Тогда в Н существует элемент, обратный к а. Обозначим его b и пока-

Пусть Н удовлетворяет условиям 1) – 4). Так как Н – непустое подмножест-

во кольца F, , , удовлетворяющее условиям 1) – 3), то по критерию под-

кольца Н является подкольцом кольца F, , , то есть Н, , – кольцо. Это кольцо является коммутативным, поскольку операция умножения коммутатив-

на в F, следовательно, она коммутативна в Н. Это кольцо содержит единицу,

поскольку из условий 4) для a H 0 a 1 H и 1) следует, что aa 1 e H .

Так как Н-0 – непустое подмножество группы F 0 , , удовлетворяющее

условиям 3), 4), то по критерию подгруппы Н является подгруппой группы.

34

Тогда, согласно свойству 3 п. 1.10, Н, , – поле.

Замечание. В первой части теоремы использовалось свойство, верное для

любого подполя Н поля F, , : единица подполя Н совпадает с единицей по-

ля F, , (докажите это свойство самостоятельно).

Теорема 2 (Второй критерий подполя). Подмножество H поля F, , , со-

держащее ненулевой элемент, является подполем поля F, , тогда и только

тогда, когда оно удовлетворяет следующим условиям:

Отметим, что частные ke определены, так как е – это элемент бесконечного le

порядка в группе F, и поэтому le .

Применим второй признак подполя. Ясно, что H F . Кроме того,

e e H и, следовательно, Н содержит ненулевой элемент. e

Пусть a,b H и a k1e , b k2e. l1e l2e

Применяя свойства частного элементов поля, а также свойства операции умножения элементов поля, получим:

a b k1e k2e k1el2e l1ek2e k1l2ee l1k2ee k1l2e l1k2e k1l2e l1k2e l1e l2e l1el2e l1l2ee l1l2e l1l2e

k1l2 l1k2 e H . l1l2e

35

Теорема. Гомоморфный образ поля F, , при гомоморфизме φ поля

F, , в алгебру B, , либо изоморфен полю F, , , либо есть нуле-

вое кольцо.

Доказательство.

Обозначим φ O, где – нулевой элемент поля F, , . Ясно, что O –

нулевой элемент кольца <φ F , , .

Рассмотрим возможные случаи.

1.Пусть φ – инъективное отображение. Тогда, так как, очевидно, φ является сюръективным отображением F на φ F , φ есть биективное отображение

F на φ F и поэтому поле <φ F , , изоморфно полю F, , .

2.Пусть φ не является инъективным отображением. Тогда найдутся такие элементы a,b F , что a b, но φ a φ b . Имеем:

φ a b φ a b φ a φ b φ a φ b φ a φ a O.

Обозначим a b c. Тогда c и φ c O.

Пусть е – единица поля F, , . Имеем

φ e φ cc 1 φ c φ c 1 O c 1 O.

Поэтому для всякого элемента f F

φ f φ ef φ e φ f O f O.

Таким образом, в рассматриваемом случае φ F O есть нулевое кольцо.

37

Часть 2. Организация контроля знаний и самостоятельной работы студентов по разделу «Алгебраические структуры с двумя бинарными операциями»

2.1.Практические задания для организации аудиторных занятий

идомашних работ

Тема 1. Определение и простейшие свойства колец и полей.

Обратимые элементы кольца

Уровень А

1. Образует ли R, , кольцо, где операция «+» – операция сложения дей-

ствительных чисел; а операция умножения выполняется по следующему за-

кону:

a) a b 0; b) a b a b; c) a b a b; d) a b a; e) a b b.

В случае, когда структура образует кольцо, ответьте на следующие вопросы: 1) является ли данное кольцо коммутативным, 2) имеет ли кольцо единич-

ный элемент, 3) какие элементы являются обратимыми, 4) имеет ли кольцо делители нуля.

2.Проверьте, образует ли структура K, , кольцо, найдите единичный элемент кольца, делители нуля, обратимые элементы кольца. Какие из колец являются полями:

a) K a b2, a,b Z , и – сложение и умножение чисел;

c) K a,b , a,b Q ,

a,b c,d a c,b d ; a,b c,d a b c d,0 ?

3.Какие из заданных пар целых чисел a,b , a,b Z являются кольцами, если операции сложения и умножения пар введены следующим образом (две па-

ры равны, если равны их одноименные компоненты):

a) a,b c,d ac,bd ; a,b c,d a c,b d ;

38

b)a,b c,d a c,b d ; a,b c,d 0,0 ;

c)a,b c,d a c,b d ; a,b c,d ac,bd ;

d)a,b c,d a b,c d ; a,b c,d ab,cd ;

e)a,b c,d a c,b d ; a,b c,d ac bd,ad bc ;

f)a,b c,d a c,b d ; a,b c,d ac 3bd,ad bc ;

g)a,b c,d a c,b d ; a,b c,d ac 3bd,ad bc ?

Выделите коммутативные кольца. Найдите делители нуля и обратимые эле-

менты. Какие из колец являются полями?

являются 1) целыми числами; 2) четными целыми числами; 3) рациональ-

ными числами; 4) целыми числами, а определители не равны нулю;

c) K, , , где К – это множество многочленов от одной переменной 1) с

целыми коэффициентами; 2) с рациональными коэффициентами; 3) с ком-

плексными коэффициентами.

Ответьте на вопросы: 1) какие из них образуют кольцо; 2) коммутативное кольцо; 3) кольцо без делителей нуля; 4) кольцо без единицы; 5) коммута-

тивное кольцо без делителей нуля; 6) коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля; 7) поле?

5.Докажите, что в произвольном кольце K, , :

a)нуль – единственный элемент;

b)противоположный элемент a к элементу а – единственный;

xa b ;

d)если ax ay, a 0 и а не является делителем нуля, то x y;

39

e)a b b a, если ab ba;

f)anb nba, где n Z, если ab ba.

Уровень В

6.Приведите пример кольца: а) коммутативного с единицей без делителей ну-

ля; b) некоммутативного без единицы; c) некоммутативного с делителями нуля; d) коммутативного с единицей, в котором каждый ненулевой элемент имеет обратный; e) являющегося полем; f) не являющегося полем.

7.Дано произвольное кольцо K, , . Пусть а) наличие единицы в К; б) от-

сутствие единицы в К; в) наличие в К делителей нуля; г) отсутствие в К де-

лителей нуля; д) наличие коммутативности умножения в К; е) отсутствие в К коммутативности; ж) наличие в К обратных элементов у всех, кроме нуля.

Существует ли кольцо со следующим набором свойств: 1) а, в, е; 2) б, в, е; 3)

б, д, ж; 4) б, д; 5) а, в, ж.