Алгебраические структуры с двумя бинарными операциями. Учебное пособие. Специальность 050201.65 – «Математика» с дополнительной специальностью «Информ

a,b c,d ac 5bd,ad bc , является кольцом. Выясните, будет ли это кольцо коммутативным, имеет ли оно делители нуля и единичный элемент. Найдите множество обратимых элементов кольца. Является ли K, , по-

лем?

2.Делится ли элемент α на элемент β в кольце K, , (см. задание 1),

если: а) α 13,5 , β 2, 1 ; б) α 3, 7 , β 1,2 ?

кольцом. Выясните, будет ли это кольцо коммутативным, имеет ли оно делители нуля и единичный элемент. Найдите множество обратимых элементов кольца. Является ли K, , полем?

2. Делится ли элемент α на элемент β в кольце K, , (см. задание 1), ес-

кольца K, , (см. задание 1). Будут ли сравнимы по этому идеалу эле-

менты α и β, если:

φ α a b5 M . Определите, будет ли данное соответствие φ гомо-

морфизмом кольца K, , в кольцо M, , . Если да, то найдите ядро гомоморфизма.

Вариант 24

1. Докажите, что структура K, , , где K a bi | a,b 2Z является кольцом. Выясните, будет ли это кольцо коммутативным, имеет ли оно делители нуля и единичный элемент. Найдите множество обратимых элементов кольца. Является ли K, , полем?

72

4.Постройте факторкольцо кольца K, , по идеалу I (см. задание 3). Со-

ставьте таблицы сложения и умножения элементов этого факторкольца. Пользуясь таблицами, для каждого элемента факторкольца найдите противоположный элемент. Определите делители нуля и обратимые элементы факторкольца.

пример пары элементов данного кольца, несравнимых по идеалу I.

73

жим φ α a bi2 M . Определите, будет ли данное соответствие φ го-

моморфизмом кольца K, , в кольцо M, , . Если да, то найдите ядро гомоморфизма.

2.4. Примерный вариант итогового теста

После изучения раздела «Алгебраические структуры с двумя бинарными операциями» студенты выполняют итоговый тест. Ниже приведен примерный вариант итогового теста, в заданиях которого предлагается 5 вариантов ответов. Верными могут быть один или несколько из них.

д) K, , не содержит единичного элемента.

Задание 3. Для кольца K, , , где K a b3 | a,b Z , верно, что:

а) K, , – некоммутативное кольцо;

б) K, , – кольцо с единицей;

в) K, , не содержит делителей нуля;

г) K, , образует поле;

д) подмножество обратимых элементов К пусто.

Задание 4. Подмножество K 5n| n Z кольца целых чисел Z, , об-

разует:

а) подкольцо кольца Z, , ;

б) факторкольцо кольца Z, , ;

в) идеал кольца Z, , ;

г) главный идеал кольца Z, , ;

д) кольцо главных идеалов.

Задание 5. Множество обратимых элементов кольца относительно операции умножения всегда образует:

а) группу;

б) кольцо;

в) подгруппу;

г) абелеву группу;

д) подкольцо.

Задание 6. Для произвольного поля F, , верно, что:

а) множество F конечно;

б) на множестве F нет делителей нуля;

в) не у каждого элемента a F , где a , найдется обратный элемент в F;

75

г) операция умножения на множестве F коммутативна;

д) на множестве F есть единичный элемент.

Задание 7. Кольцо относительно операций сложения и умножения образует множество а) натуральных чисел;

б) целых чисел;

в) матриц n-го порядка с целыми элементами;

г) комплексных чисел;

д) целых нечетных чисел.

Задание 8. Достаточными требованиями поля являются:

а) по операциям сложения и умножения – абелева группа;

б) по операции сложения – абелева группа, по операции умножения – полу-

группа;

в) коммутативное кольцо с единицей, отличной от нуля, в котором каждый элемент, кроме нулевого, обратим;

г) по операции сложения – абелева полугруппа, по операции умножения – абе-

лева группа;

д) по операции сложения – абелева группа, по операции умножения – полу-

группа, операции связаны дистрибутивными законами.

Задание 9. Коммутативным кольцом не является:

а) множество рациональных чисел;

б) множество целых чисел;

в) множество матриц n-го порядка с целыми элементами при n 2;

г) множество многочленов от одного переменного с рациональными коэффици-

ентами;

д) множество классов вычетов по модулю m.

76

Задание 10. Делители нуля есть а) в любом поле;

б) в любом кольце;

в) в кольце целых чисел;

д) в любом подкольце.

Ответы на тест.

1 – а. 2 – д. 3 – б, в. 4 – а, в, г. 5 – а. 6 – б, г, д. 7 – б, в, г. 8 – в. 9 – в. 10 – г.

Список литературы

1.Сборник задач по алгебре: в 2 т. / В.А. Артамонов, Ю.А. Бахтурин, Е.С. Вин-

берг, В.А. Голод. М.: Физматлит, 2007. Т. 2. Ч. III. Основные алгебраические структуры. 263 с.

2.Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. 3-е изд. СПб.: Лань, 2004. 624 с.

3.Винберг Э.Б. Курс алгебры. М.: Изд-во МЦНМО, 2011. 591 с.

4.Ершова, Т.И., Смирнова Н.И., Хмельницкий И.Л. Введение в теорию алгеб-

раических систем: учебно-методическое пособие. Екатеринбург: Уральский гос. пед. ун-т, 2007. 100 с.

5.Кострикин, А.И. Введение в алгебру. Ч. 3. Основные структуры. М.: Изд-во МЦНМО, 2009. 272 с.

6.Курош, А.Г. Курс высшей алгебры. 17-е изд., стер. М.: Наука, 2008. 432 с.

7.Соловьева Ю.В. Основы теории групп: учебное пособие. Пермь: Перм. гос.

пед. ун-т, 2009. 90 с.

8.Туганбаев, А.А. Теория колец. Арифметические модули и кольца. М.: Изд-во МЦНМО, 2009. 472 с.

9.Чеботарев, Н.Г. Введение в теорию алгебр.3-е. изд. М.: Изд-во ЛКИ, 2008. 88 с.

77

Учебное издание

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ С ДВУМЯ БИНАРНЫМИ ОПЕРАЦИЯМИ

Учебное пособие

Специальность 050201.65 – «Математика» с дополнительной специальностью «Информатика»,

направление 050100 – «Педагогическое образование», профиль «Математика. Информатика и ИКТ»,

направление 050200.62 – «Физико-математическое образование», профиль «Математика»

Автор-составитель: Корзнякова Юлия Викторовна

Редактор М. Н. Афанасьева

Свидетельство государственной аккредитации вуза № 1806 от 11.03.2009

Изд. лиц. ИД № 03857 от 30.01.2001 Подписано в печать 27.05.2013. Формат 60 х 90/16 Набор компьютерный. Бумага ВХИ. Печать на ризографе Усл. печ. л. 4,7. Уч.-изд. л. 3,0

Тираж 100 экз. Заказ № ___________

Редакционно-издательский отдел Пермского государственного педагогического университета

614990, г. Пермь, ул. Сибирская, 24, корп. 2, оф. 71, тел. (342) 238-63-12

Отпечатано на ризографе в ПГГПУ 614990, г. Пермь, ул. Сибирская, 24, корп. 2

78