Активная идентификация стохастических динамических систем. Планирование эксперимента для моделей непрерывно-дискретных систем. Учебное пособие
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
В.М. ЧУБИЧ, Е.В. ФИЛИППОВА
АКТИВНАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА ДЛЯ МОДЕЛЕЙ НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия
НОВОСИБИРСК
2017
1
УДК 681.5.015.4(075.8) Ч-813
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ по государственному заданию (проект № 2.7996.2017/8.9)
Рецензенты:
д-р техн. наук, профессор А.А. Воевода канд. техн. наук, доцент О.С. Черникова
Работа подготовлена на кафедре теоретической и прикладной информатики
Чубич В.М.
Ч-813 Активная идентификация стохастических динамических систем. Планирование эксперимента для моделей непрерывнодискретных систем: учебное пособие / В.М. Чубич, Е.В. Филиппова. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2017. – 96 с.
ISBN 978-5-7782-3397-3
Настоящее издание завершает серию учебных пособий, посвященных активной параметрической идентификации стохастических динамических систем, описываемых моделями в пространстве состояний. Излагаются теоретические и прикладные аспекты планирования эксперимента для непрерывно-дискретных систем. Пособие оснащено вопросами и упражнениями для более глубокого усвоения учебного материала.
Предназначено для магистрантов факультета прикладной математики и информатики НГТУ, изучающих дисциплину «Математические методы планирования эксперимента» по направлению 01.04.02 «Прикладная математика и информатика». Может быть полезно специалистам, научные и профессиональные интересы которых связаны с моделированием динамических систем стохастической природы.
Авторы выражают благодарность С.О. Кулабуховой за большую помощь, оказанную при подготовке упражнений 3.4 и 3.5.
|
УДК 681.5.015.4(075.8) |
ISBN 978-5-7782-3397-3 |
Чубич В.М., Филиппова Е.В., 2017 |
|
Новосибирский государственный |
|
технический университет, 2017 |
2
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ
– вектор неизвестных параметров размерности s
– непрерывный нормированный план эксперимента
*
M ( )
X M ( )
M ( )
ui (t),t [t0,tN ] u(t)
x(t)
x(tk 1 |tk )
|
, |
|
2 |
, , |
|
|
|
q |
||
|
1 |
|
|
|
|
q |
, |
pi 0, pi 1, |
||
|
p |
|
, p |
|
, , p |
|
||||
|
|
|
q |
|
|
|||||
1 |
|
2 |
|
|
|
i 1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i , i = 1, 2, …, q,
при планировании входных сигналов
|
1 |
2 |
(t), ,u |
q |
|
|
|
q |
|
u (t), u |
|
|
(t) |
, |
pi 0, pi 1, |
||||
|
p , |
p , , |
p |
|
|
||||
|
|
|
|
i 1 |
|||||
|
1 |
|
2 |
|
q |
|
|
|
|
ui (t) u , i = 1, 2, …, q
–оптимальный по некоторому критерию непрерывный нормированный план эксперимента
–информационная матрица плана
–критерий оптимальности
–информационная матрица Фишера одноточечного плана
–i-й входной сигнал
–r-мерный вектор управления (входа) в момент времени t
–n-мерный вектор состояния в момент времени t
–оценка x(tk 1) по измерениям Y1k (оценка одношагового прогнозирования)
3
x tk 1 |tk 1
w(t)
y(tk 1)
Y1N
L( ;Y1N ) v(tk 1)
(tk 1)
( , ),
ug( , )
E
Rm n
AT
A 1
–оценка x(tk 1) по измерениям Y1k 1(оценка фильтрации)
–p-мерный вектор шума системы в момент времени t
–m-мерный вектор измерения (выхода) в момент времени tk 1;
–выходной сигнал
Y1N y(tk 1), k 0,1,...,N 1
–функция правдоподобия
–m-мерный вектор шума измерения в момент времени tk 1
–m-мерный вектор обновления в момент времени tk 1
–параметры обобщенной теоремы эквивалентности
–дискретный нормированный план эксперимента
, |
|
|
|
, , |
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
q |
|
, |
i , i = 1, 2, …, q |
|
|
k k |
|
|
|
kq |
|
||||||
|
1 |
, |
|
2 |
, , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
–область допустимых входных сигналов
–градиент скалярной функции g по аргументу v
|
g( , ), |
g( , ),..., |
g( , ) |
Т |
g( , ) |
|
|||
|
1 |
2 |
n |
|
–оператор математического ожидания
–множество вещественных матриц, содержащих m строк и n столбцов
–матрица, транспонированная к матрице А
–матрица, обратная к невырожденной матрице А
4
spA |
– |
след матрицы А |
det A |
– |
определитель матрицы А |
I |
– |
единичная матрица |
ki |
– |
символ Кронекера |
(t ) |
– |
дельта-функция Дирака |
ИМФ |
– |
информационная матрица Фишера |
ДУ |
– |
дифференциальное уравнение |
5
Глава 1
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА
Напомним некоторые основополагающие понятия и результаты теории планирования эксперимента.
Под дискретным (точным) нормированным планом эксперимента
будем понимать совокупность точек 1, 2 ,…, q , называемых
спектром плана, и соответствующих им долей повторных запусков
(весов):
, |
|
|
, , |
|
|
|
|
|||
|
1 |
2 |
|
|
|
q |
|
, |
i , i = 1, 2, …, q. |
|
|
k k |
|
|
|
kq |
|
||||
|
1 |
|
2 |
, , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
, |
|
|
|
|
|
||||
Множество планирования определяется ограничениями на
условия проведения эксперимента.
Под непрерывным нормированным планом эксперимента усло-
вимся понимать совокупность величин
, |
|
2 |
, , |
q |
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
, |
||
|
p1, p2, , |
|
|
|
||||
|
pq |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q
pi 0, pi 1, i , i = 1, 2, …, q. (1.1) i 1
В отличие от дискретного нормированного плана в непрерывном нормированном плане снимается требование рациональности весов pi .
6
В общем случае непрерывный нормированный план соответствует вероятностной мере (d ), заданной на области и удовлетворяющей условиям неотрицательности и нормировки:
(d ) 1, (d ) 0 , .
При этом нормированная информационная матрица М( ) плана определяется соотношением
М( ) М( ) (d ). |
(1.2) |
|
|
Для плана (1.1) интеграл в (1.2) переходит в сумму, т. е. |
|
q |
|
М( ) piМ( i ), |
(1.3) |
i 1
где M ( i ) – информационные матрицы Фишера (ИМФ) точек спектра
плана, вычисляемые для каждого значения i в соответствии с равенствами
|
|
2 lnL ;Y N |
|
lnL ;Y N lnL ;Y N |
|
||||||
М( ; ) Е |
1 |
|
Е |
1 |
|
|
1 |
|
, |
||
T |
T |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где L ;Y1N |
– функция правдоподобия плотность |
совместного рас- |
|||||||||
пределения измерений Y1N y(tk 1), k 0,1,..., N 1 , рассматривае-
мая как функция параметра .
Поскольку для рассматриваемых моделей информационные матрицы точек плана и сам оптимальный план зависят от неизвестных параметров, в дальнейшем будем иметь в виду исключительно локально-
оптимальное планирование.
Теорема 1 [1–4]. Нормированные информационные матрицы обладают следующими свойствами.
1. Для любого непрерывного нормированного плана информационная матрица M ( ) – вещественная, симметричная, неотрицательно-
7
определенная матрица порядка s s (s – количество неизвестных параметров).
2. Множество матриц M ( ), соответствующее всем возможным
нормированным планам (1.1), является выпуклым. Если множество планирования замкнуто, то и множество информационных матриц
замкнуто.
3. Для любого непрерывного нормированного плана всегда найдется дискретный план , спектр которого содержит не более чем
q s(s 1) 1 точек и нормированная информационная матрица M ( ) 2
которого совпадает с информационной матрицей M ( ) плана .
Последнее свойство важно с практической точки зрения. Оно позволяет заменить непрерывный нормированный план, обладающий теми или иными экстремальными показателями информационной матрицы, столь же эффективным дискретным планом.
Выбранный определенным образом план эксперимента позволяет повысить точность оценивания неизвестных параметров. Будем судить о качестве плана по значению некоторого функционала от информа-
ционной матрицы M ( ) или соответствующей ей дисперсионной матрицы D( ). Перечислим наиболее важные критерии, отражающие точность оценивания неизвестных параметров [5–10].
План * называется А-оптимальным, если его дисперсионная матрица имеет наименьший след, т. е.
* arg min spM 1( ) arg min spD( ) . |
(1.4) |
|
|
|
|
А-оптимальный план позволяет найти оценки неизвестных параметров с минимальной средней дисперсией. При этом эллипсоид рассеивания имеет минимальную сумму квадратов длин осей и наименьшую длину диагоналей параллелепипеда, описанного около этого эллипсоида.
План * называется D-оптимальным, если
* argmaxdetM ( ) arg min lndetM ( ) arg min detD( ). (1.5)
8
Для D-оптимального плана объем эллипсоида рассеивания оценок параметров наименьший.
План * называется Е-оптимальным, если он минимизирует (мак-
симизирует) максимальное (минимальное) собственное значение дисперсионной (информационной) матрицы, т. е.
* arg min max i D( ) arg max min i M ( ) , |
||
i |
|
i |
где i – собственное значение матрицы |
D( ) |
или M ( ). Е-оптималь- |
ный план минимизирует длину максимальной оси эллипсоида рассеивания оценок параметров.
При построении А- и D-оптимальных планов чрезвычайно полез-
ной оказывается следующая обобщенная теорема эквивалентности.
Теорема 2 [1–4]. Следующие утверждения:
1)план минимизирует X M ( ) ;
2)план минимизирует max ( , );
3) max ( , )
эквивалентны между собой. Информационные матрицы планов, удовлетворяющих условиям 1 – 3, совпадают. Любая линейная комбинация планов, удовлетворяющих 1–3, также удовлетворяет 1–3.
Значения параметров теоремы эквивалентности X M ( ) , ( , ),представлены в таблице.
Соответствие значений параметров обобщенной теоремы эквивалентности критериям оптимальности
Критерий |
|
Параметры |
|
|
X[M ( )] |
[ , ] |
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
А-оптимальности |
spM 1( ) |
sp[M 2( )M ( )] |
spM 1( *) |
|
D-оптимальности |
ln detM ( ) |
sp[M 1( )M ( )] |
s |
Укажем два следствия, удобных для проверки планов на А- и D- оптимальность.
9
Следствие 1
В точках спектра А-оптимального плана * функция ( , *) достигает своего максимального значения spM 1( *) .
Следствие 2
В точках D-оптимального плана * функция ( , *) достигает
своего максимального значения s.
Теорема 2 дает еще одну статистическую интерпретацию D-опти- мальному планированию экспериментов, утверждая эквивалентность D- и G-оптимальных планов.
Критерий G-оптимальности относится к группе критериев, направленных на повышение точности прогнозируемых по модели выходных данных [5–10].
План * называется G-оптимальным (минимаксным), если он удовлетворяет условию
max sp M 1 |
( *)M ( ) |
min |
max sp M 1 |
( )M ( ) . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
G-оптимальный план обеспечивает не слишком высокую обобщенную дисперсию ошибки прогнозирования за счет минимизации максималь-
ной по дисперсии. |
|
При численном построении оптимальных планов возможны два |
|
подхода. Первый из них (прямой) предполагает непосредственное ре- |
|
шение оптимизационной задачи |
|
* arg min X[M ( )] |
(1.6) |
|
|
различными численными методами оптимизации [11–17], характеризуется многоэкстремальностью, большой размерностью пространства варьируемых переменных и высокой скоростью сходимости на начальных этапах. При этом для критериев А- и D-оптимальности получается задача выпуклого программирования, варианты решения которой представлены, например, в [3, 7, 18].
Остановимся на следующем варианте прямой градиентной процедуры [4,19–21] на базе метода последовательного квадратичного про-
Соответствие значений параметров X M ( ) , ( , ), прямой процедуры критериям А- и D-оптимальности такое же, как в таблице.
10