Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Активная идентификация стохастических динамических систем. Планирование эксперимента для моделей непрерывно-дискретных систем. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

x(t

),P(t

),t

x(t

),t

k 1

h x(tk 1),tk 1

(2 )n det P(tk 1)

x(tk 1) x(tk 1)

(2.14)

exp

P 1(tk 1) x(tk 1) x(tk 1) dx(tk 1) ;

x(t

k 1

), P(t

k 1

),t

k 1

h0 x(tk 1), P(tk 1),tk 1

(2.15)

x(tk 1)

причем x(t) =E x(t)

и P(t) E x(t) x(t) x(t) x(t) T

определяют-

ся из следующих дифференциальных уравнений:

			d	x(t) f		x(t), P(t),u(t),t , t t ,t			,
				x(t) f	0	x(t), P(t),u(t),t , t t ,t		N	,
					0		0	N
			dt

			x(t0) дано;
dP(t)			f x(t), P(t),u(t),t P(t) P(t) f T x(t), P(t),u(t),t
	dt		1				1
			1				1

			(t)Q T(t), t		t0,tN ,
			(t)Q T(t), t		t0,tN ,
P(t		) дано.
	0

(2.16)

(2.17)

Отметим, что вычисление интегралов в формулах (2.14), (2.15) можно существенно упростить с помощью представленных в [26, 27] выражений для коэффициентов статистической линеаризации типовых одномерных нелинейностей, встречающихся в системах автоматического управления.

Подставив выражения (2.12), (2.13) в уравнения (2.1), (2.2) соответственно, с учетом обозначений

a x(t), P(t),u(t),t f0 x(t), P(t),u(t),t
f1 x(t), P(t),u(t),t x(t);	(2.18)

F x(t), P(t),u(t),t f1 x(t), P(t),u(t),t ;	(2.19)
A x(tk 1), P(tk 1),tk 1 h0 x(tk 1), P(tk 1),tk 1
h1 x(tk 1), P(tk 1),tk 1 x(tk 1);	(2.20)
Н x(tk 1), P(tk 1),tk 1 h1 x(tk 1), P(tk 1),tk 1	(2.21)

приходим к модели линейной нестационарной системы (2.3), (2.4).

Глава 3

ПЛАНИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ВХОДНЫХ СИГНАЛОВ

Рассмотрим особенности планирования входных сигналов для моделей непрерывно-дискретных систем, структурно-вероятностное описание которых дано в гл. 2. К указанной задаче можно прийти от дискретного случая путем предельного перехода, сгущая точки фиксации управляющих импульсов во времени. Таким образом, непрерывный нормированный план (1.1) в данном случае может быть задан в виде

u1(t),

u	2	(t), ,u			q			q
u		(t), ,u				(t)	,	pi 0, pi 1, ui (t) u ,
, p				, ,	p		,	pi 0, pi 1, ui (t) u ,
, p			2	, ,	p	q		i 1
			2			q
				i 1, 2,..., q,				t t0, tN .	(3.1)

Точки спектра плана (3.1) представляют собой управляющие вектор-функции, определенные на временном интервале t t0, tN .

u – замкнутое ограниченное множество допустимых входных сиг-

налов.

Нормированная информационная матрица плана (3.1) определяется соотношением

М( ) piM ui (t); , i 1

в котором ИМФ одноточечных планов зависят от подлежащих оцениванию неизвестных параметров.

Построение оптимальных планов может быть связано с представлением компонент входных сигналов в виде линейных комбинаций базисных функций (в качестве таковых можно использовать ортогональные полиномы Лежандра, Чебышёва, функции Уолша и т. д.) и с последующим поиском коэффициентов таких линейных комбинаций [9].

Мы пойдем другим путем. Будем считать, что входные сигналы являются кусочно-постоянными функциями, сохраняющими свои значе-

ния на интервале между соседними измерениями, т. е. ui (t) ui (tk ) для tk t tk 1 (k 0,1,...,N 1). В этом случае появится возможность

вычислять по рекуррентным аналитическим формулам производные от ИМФ по компонентам входного сигнала и, следовательно, применить прямую и двойственную градиентные процедуры.

3.1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНФОРМАЦИОННОЙ МАТРИЦЫ ФИШЕРА

3.1.1. ВЫВОД ИНФОРМАЦИОННОЙ МАТРИЦЫ ФИШЕРА ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ МОДЕЛЕЙ

Теорема [28]. Для математической модели (2.3), (2.4) с априорными предположениями из гл. 2 и неизвестными параметрами , входя-

щими в

матрицы F(t),

(t) ,

H (tk 1) ,

Q ,

R , P(t0)

и векторы

a u(t),t ,

A(tk 1), x(t0)

в различных комбинациях,

элементы ИМФ

определяются выражением

N 1

H (tk 1)

( )

E x

k 1

k 0

НT(tk 1)

(tk 1)

H (t

)

xT t

k 1

E x tk 1 |tk

НT

(tk 1)B 1

(tk 1)

H (t

)

AT (t

)

k 1

)

k 1

x tk 1 |tk

H T (tk 1)

sp H (tk 1)E

tk 1

|tk

(tk 1)

tk 1 |tk

sp H (t

x tk 1 |tk

H T (t

)B 1

)

k 1

AT (t

)

H (t

1(t

)

k 1

A(t

)

H T (t

)

k 1

1(t

)

k 1

A(t

)

xT t

k 1

H T (t

)B 1(t

)

k 1

A(t

) AT (t

)

k 1

B 1(t

)

k 1

B(tk 1)B 1

)

B(tk 1)B 1(t

i, j 1, 2,..., s ,

(3.2)

1sp

)

k 1

в котором матрицы B(t

B(tk 1)

находятся при помощи уравне-

k 1

ний непрерывно-дискретного фильтра Калмана.

Доказательство

Введем в рассмотрение обновляющую последовательность

) y (t

) H (t

)x t

k 1

A(t

k 0,1..., N 1,

k 1

где x tk 1 |tk определяется по следующим уравнениям непрерывнодискретного фильтра Калмана [29–32]:

	d		x t \|tk a u(t),t F(t)x t \|tk , tk t tk 1 ;	(3.3)
	dt		x t \|tk a u(t),t F(t)x t \|tk , tk t tk 1 ;	(3.3)
	dt
d	P	t \|tk F(t)P t \|tk P t \|tk FT(t) (t)Q T(t),
dt	P	t \|tk F(t)P t \|tk P t \|tk FT(t) (t)Q T(t),
dt
			tk t tk 1 ;	(3.4)
			B(tk 1) H (tk 1)P tk 1 \|tk H T(tk 1) R ;	(3.5)
			K(tk 1) P tk 1 \|tk H T(tk 1)B 1(tk 1);	(3.6)
			x tk 1 \|tk 1 x tk 1 \|tk K (tk 1) (tk 1) ;	(3.7)
	P tk 1 \|tk 1 I K (tk 1)H (tk 1) P tk 1 \|tk			(3.8)

для k 0,1..., N 1 с начальными условиями

x t0 |t0 x(t0) , P t0 |t0 P(t0) .

Запишем логарифмическую функцию правдоподобия:

		lnL ;Y1N Nm2			ln2
1	N 1	T(tk 1)B 1		1) lndetB(tk 1) .
1		T(tk 1)B 1	(tk 1) (tk	1) lndetB(tk 1) .		(3.9)
2 k 0

Элементы ИМФ связаны с логарифмической функцией правдоподобия (3.9) соотношением [33–37]

			2 lnL ;Y N
M	ij	( ) E		1	, i, j 1,2,...,s ,	(3.10)

		Y		j
			i

в котором усреднение берется по выборочному пространству.

Поскольку

B 1(tk 1)

B(tk 1)

(tk 1) ,

(tk 1)

lnL

N 1

)

1(tk 1) (tk 1)

T(tk 1)B 1(tk 1)

k 0

B tk 1

B(tk 1)

(tk 1) (tk 1)

(tk 1)

с учетом

симметричности

матриц

B(tk 1),

В(tk 1)

(tk

) B(tk 1)

B 1(t

k 1

B 1(t

k 1

)

равенства

aTb sp(abT),

где

a,b R

имеем:

lnL ;Y

N 1

)

T(tk 1)B 1(tk 1)

k 0

k 1

)

T(t

)B 1(t

B(t

k 1

)

B 1(t

k 1

)

k 1

)

(tk 1)

T(tk 1)

(tk 1)

k 1

)

T(t

)B 1(t

B(t

)

B 1(t

k 1

)

k 1

)

) T(t

1(t

B(tk 1)

B 1(t

B(tk 1)

B 1(t

sp (t

k 1

)

k 1

)

k 1

)

) T

1(t

)

2B(t

k 1

)

1(t

k 1

)

B(t

k 1

)

B 1(t

)

B(t

k 1

)

B 1(t

k 1

В(tk 1)

sp B

(tk 1)

j 1,2,..., s .

Подставим последнее равенство в (3.10). Воспользовавшись тем, что

sp(AB) sp(BA),

где

A R

, B R

E (t

) T(t

k 1

)

B(t

k 1

) ,

n m

m n

получим

N 1

)

T(tk 1)

Mij ( )

sp E

B 1(tk 1)

k 0

i j

(tk 1)

B(tk 1)

sp E

(tk 1)

)

T(t

k 1

)

B 1(t

)

T(t

)

1(t

)

B(t

k 1

)

В 1

sp E

k 1

)

B(tk 1)

(tk 1)

1,2,...,s . (3.11)

, i, j

Таким образом, необходимо вычислить следующие математиче-

ские ожидания:

(tk 1)

;

(tk 1) T(tk 1)

;

2 (tk 1)

(tk 1)

i j

(tk 1) .

Найдем

(tk 1)

2 (tk 1)

из выражения для вектора обновления:

i j

(tk 1)

Н(tk 1)

tk 1

|tk

A(tk 1)

x tk 1

|tk

Н(tk 1)

;

(3.12)

2 (tk 1)

2Н(tk 1)

Н(tk 1) x tk 1 |tk

x tk 1 |tk

i j

Н tk 1

x tk 1 |tk

Н tk 1

2x tk 1 |

2A tk 1

. (3.13)

i j

Из (3.12), (3.13) следует, что

(tk 1)

Н(tk 1)

(tk 1)

x tk 1

|tk

(tk 1)

x t

T(t

A(t

k 1

)

Н(t

k 1

)Е

k 1

)

k 1

;

(3.14)

(tk 1) T(tk 1)

Н(tk 1)

НT (tk 1)

Е x

k 1

Н(tk 1)

xT tk 1

|tk

x tk 1

|tk

(tk 1)

Н(tk 1)

AT(tk 1)

Е x

i j

tk 1

|tk T

НT

(tk 1)

Н(tk 1)Е

tk 1

|tk

Н(tk 1)Е

x tk 1 |tk xT tk 1 |tk

(tk 1)

x t

k 1

AT t

k 1

Н tk 1

A(tk 1)

tk 1

H T(tk 1)

|tk

A(tk 1)

xT tk 1 |tk

(tk 1)

A(tk 1)

AT(tk 1)

;

(3.15)

2 (tk 1)

2Н(tk 1)

)

i j

k 1

)

i j

k 1

Н(t

)

k 1

T(t

Н(t

k 1

)

x t

k 1

T(t

k 1

)

2x t

k 1

T(t

2A(t

k 1

)

Е T(t

) .

(3.16)

Н(t

k 1

)

k 1

)

k 1

Далее вычислим следующие математические ожидания:

Е x tk 1 |tk T(tk 1) ;

E 2x tk 1

	x tk 1	\|tk	T
E				(t	k 1	)	;
E	i			(t		)	;
	i

|tk T(tk 1) .

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]