Активная идентификация стохастических динамических систем. Планирование эксперимента для моделей непрерывно-дискретных систем. Учебное пособие

Шаг 26. Увеличить на единицу. Если N 1, перейти на шаг 16. Шаг 27. Увеличить k на единицу. Если k N 1, перейти на шаг 5.

ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

3.1. Рассмотрим нелинейную модель с детерминированным уравнением состояния

начальное состояние x(t0) детерминировано;

неизвестные постоянные параметры сведены в вектор , включающий в себя элементы вектор-функций f x(t),u(t),t .

81

Покажите, что для модели (3.68), (3.69) с учетом указанных априорных предположений выражение для элементов ИМФ принимает вид

3.2. Покажите, что если в модели (3.68), (3.69) неизвестные параметры дополнительно входят в матрицу R, то выражение для элементов ИМФ вычисляется с помощью следующего соотношения:

3.3.Разработайте программу вычисления ИМФ для модельной структуры из упражнения 3.1.

3.4.В последние десятилетия микроводоросли широко применяются в пищевой, легкой промышленности, в сельском хозяйстве, а также как альтернативные источники электроэнергии. Рассмотрим модель Друпа, описывающую рост микроводорослей в фотобиореакторе в условиях постоянства температуры и светового освещения. Эта модель описывает поглощение питательной среды микроводорослями и их рост. Следуя [43], в качестве питательной среды будем рассматривать нитраты. В этом случае модель (3.68), (3.69) имеет вид

82

Здесь t – время, дн; x1(t) – концентрация биомассы микроводорослей, мг/л; x2(t) – концентрация питательной среды, мкмоль/л; x3(t) – количество питательного вещества, приходящегося на долю биомассы, моль/кг; u(t) – интенсивность разбавления питательной среды, дн 1;

3.5. В настоящее время для многих регионов актуальна проблема получения пресной воды из соленой. Одним из наиболее распространенных и эффективных методов решения этой проблемы является электродиализ, представляющий собой процесс изменения концентрации электролита в растворе под действием электрического тока. Процесс уменьшения концентрации солевого раствора (NaCl) схематически представлен на рис. 1 и заключается в следующем. Исходный солевой раствор помещают в резервуар с разбавленным раствором, при

83

этом резервуар с концентрированным раствором изначально пуст. Далее раствор помещается в сосуд, разделенный полупроницаемыми мембранами. Мембраны подразделяются на два вида: катионные и анионные. Они расположены поочередно и задерживают положительно заряженные ионы (катионы) и отрицательно заряженные ионы (анионы) соответственно. Через сосуд пропускают постоянный электрический ток, который приводит ионы соли в движение. При этом анионы движутся в сторону положительного заряда, а катионы – отрицательного. Анионы проходят через катионные мембраны и задерживаются возле анионных мембран. Аналогичное происходит с катионами. В результате повышается концентрация солевого раствора между одной парой мембран и понижается – между другой. Если концентрация увеличилась, то данный раствор помещается в резервуар с концентрированным раствором, а если уменьшилась – с разбавленным. Процесс повторяется до достижения нужной степени очистки воды.

Рис. 1. Общая схема электродиализатора

84

Модель электродиализа при условии постоянной плотности воды можно записать следующим образом [45]:

85

пар мембран; amg 0.02 – площадь мембраны, м2 ; W 998.2– плот-

ность воды, кг/м3; B 46,6 – параметр осмотического давления,

бар ∙ кг/моль.

Будем считать, что выполнены все априорные предположения из

3.6. Используя материалы раздела 3.1.1, покажите, что для модели (2.5), (2.6) с соответствующим вероятностным описанием при вхожде-

86

3.7.Как будет выглядеть соотношение (3.70) в случае, когда неизвестные параметры входят только в матрицы F и ?

3.8.Используя выражение (3.38), предложите и программно реализуйте алгоритм вычисления ИМФ для модели (2.3), (2.4).

3.9.Рассмотрим следующую одномерную линейную стационарную модель:

dtd x(t) 1x(t) 2u(t) w(t), t t0,tN ; y(tk 1) x(tk 1) v(tk 1), k 0,1,..., N 1.

Будем считать, что выполнены все априорные предположения из второй главы, причем

E w(t)w( ) 0.1 (t ) Q (t ); E v(tk 1)v(ti 1) 0.3 ki R ki ;

E x(t0) 0 x(t0), E x2(t0) 0.1 P(t0).

Используя программу, разработанную при выполнении упражнения 3.8, покажите, что для данной модели при

u(t) 1, 1, 2 1,1 ,

87

3.10. Покажите, что выражение для вычисления производных элементов ИМФ по компонентам входного сигнала для линейной стационарной модели из упражнения 3.6 выглядит следующим образом:

3.11.Используя выражение (3.71), предложите и программно реализуйте алгоритм вычисления производных ИМФ по компонентам входного сигнала для линейной стационарной модели.

3.12.Как будет выглядеть соотношение (3.71) в случае, когда неиз-

вестные параметры входят только в матрицы F и ?

3.13. Используя программу, разработанную при выполнении упражнения 3.11, покажите, что для модели из упражнения 3.9 при

88

3.14. Численно убедитесь в том, что для модели из упражнения 3.9 градиент критерия D-оптимальности (1.12) равен

Q 0, 0.1,1,10,100 . Влияет ли интенсивность шумов системы на результат планирования? Если – да, то как это можно объяснить?

3.16.Покажите, что для линейной стационарной модели (2.5), (2.6)

ссоответствующими априорными предположениями ИМФ с элементами (3.70) не зависит от входного сигнала в случае вхождения неиз-

вестных параметров в элементы матриц Q , R и Р(t0).

89