Активная идентификация стохастических динамических систем. Планирование эксперимента для моделей непрерывно-дискретных систем. Учебное пособие

tk 1

k

(tk 1, )a u( ), d (tk 1,t )K (t ) (t ),

(3.17)

t0

1

d(tk 1) (tk 1,t0)x(t0)

tk 1

(tk 1, )a u( ), d ;

t0

D(tk 1,t ) (tk 1,t )K(t ),

получим соотношение

k

x tk 1 |tk d(tk 1) D(tk 1,t ) (t ) ,

k 1,2,...,N 1. (3.18)

1

Принимая во внимание, что

Е (tk 1) 0 ;

(3.19)

Е (t

k 1

) T(t

k 1

)

В(t

k 1

)

ki

,

(3.20)

будем иметь

Е x t

k 1

|t

k

T(t

k 1

) d (t

k 1

)Е T(t

k 1

)

k

T

D(tk 1,t )Е

(tk 1)

(3.21)

(t )

O.

1

Для вычисления второго математического ожидания продиффе-

ренцируем x tk 1 |tk из (3.18)

по i :

x tk 1

|tk

d(tk 1)

i

i

k

(t ) D(tk 1,t )

(t )

(3.22)

D(tk 1,t )

.

1

i

i

В силу того, что

(t )

T

= О, 1,2,..., k ,

(3.23)

Е

i

(tk 1)

d(tk

1) Е T(tk 1)

k

D(tk 1,t ) E

(t ) T(tk 1)

i

1

i

(t )

T

D(tk 1,t )E

О .

(3.24)

(tk 1)

i

Для вычисления третьего математического ожидания продиффе-

ренцируем

x tk 1 |tk

из (3.22) по j :

i

2x t

k 1

|t

k

2d(t

k 1

)

k

2D(t

k

1

,t )

D(t

k 1

,t ) (t )

(t )

j

j

j

j

i

i

1

i

i

D(t

k 1

,t

) (t

)

2 (t

)

D(tk 1,t )

.

j

i

i j

Поскольку

2 (t

)

T(tk 1)

О,

1,2,..., k ,

(3.25)

i j

с учетом соотношений (3.19), (3.20), (3.23), (3.25) получим

2x t

k 1

|t

k

T(t

)

2d(t

k 1

)

E T(t

)

Е

k 1

k 1

j

j

i

i

k

2

D(tk 1,t )

E (t ) T(t

)

(t )

T(t

k 1

D(tk 1,t ) E

k 1

)

j

j

1

i

i

D(tk 1,t ) E

(t )

T(tk 1)

j

i

2

(t )

T

D(tk 1,t )E

(tk 1)

(3.26)

О.

j

i

Подставив соотношения (3.19), (3.21), (3.24), (3.26) в равенства

(3.14) и (3.16), приходим к тому, что

(tk 1)

T

О;

(3.27)

Е

(tk 1)

i

2 (tk 1)

T

О.

(3.28)

Е

i j

(tk 1)

Соотношения (3.15), (3.27), (3.28) позволяют записать формулу

(3.11) в виде (3.2). Таким образом, теорема доказана.

Следствие. Для математической модели стационарной системы

(2.5), (2.6) с неизвестными параметрами

, входящими в матрицы

F, ,

,H,Q ,

R, P(t0)

и вектор

x(t0)

в различных

комбинациях,

N 1

Н

T

Н

T

1

М

( )

Е

t

|t

t

|t

В

(t

)

ij

sp

x

k 1

k

x

k

1

k

k 1

i

j

k 0

H

tk 1 |tk

xT

tk 1 |tk

T

1

sp

E

x

H

B

(tk 1)

j

i

x tk 1 |tk

T

tk 1 |tk

H T

1

sp HE

x

B

(tk 1)

j

i

x t

k 1

|t

k

xT t

k 1

|t

k

НTB 1(tk 1)

sp HE

j

i

1

B(tk 1)

1

B(tk 1)

1

sp

B

(tk 1)

B

(tk 1)

2

,

j

i

x tk 1 |tk

x tk 1

|tk

xА tk 1 |tk

1

tk 1

x

|tk

s

размером n (s 1) и матрицы

C

[ ,..., , I, ,..., ],

i 0,1,..., s

i

x

A

t

k 1

E x

A

t

k 1

|t

k

;

(3.35)

N 1

H (t

k 1

)

C0 xA(tk 1)xAT(tk 1) A(tk 1)

Mij ( )

sp

k 0

i

CT H

T

(tk 1)

B 1(t

k 1

)

0

j

H (tk 1)C0 xA (tk 1)xAT(tk 1) A (tk 1) CTj

H T(tk 1)B 1

sp

(tk 1)

i

H (t

)

AT (t

)

sp

k 1

C x

(t

)

k 1

B 1(t

)

i

0

A

k 1