Таможенная статистика. Курс лекций

–линейной;

–криволинейной.

По количеству факторов:

–однофакторной;

–многофакторной. По направлению связи:

–прямой;

–обратной.

4. Метод корреляции – количественная оценка тесноты связи между двумя признаками (парная) и между множеством факторных признаков и результативным (многофакторная).

Для количественной оценки тесноты связи рассчитывают различные показатели. Их многообразие представлено на рисунке 9.1.

Рис. 9.1. Показатели тесноты связи

Кпростейшимпоказателямтеснотысвязиотносяткоэффициенткорреляции Фехнера (корреляции знаков), основанный на оценке степени согласованностинаправленийотклоненийиндивидуальныхзначенийотсредних величин факторного и результативного признаков. Для расчета коэффициента корреляции знаков требуется:

1) вычислить средние значения результативного и факторного признаков: x , y ;

2) проставить знаки отклонения индивидуальных значений результативного признака от его среднего значения (у – y ), т.е. «+» или «–»;

3) проставить знаки отклонения индивидуальных значений факторного признака от его среднего значения (х – x ), т.е. «+» или «–»;

71

4) определить значение коэффициента корреляции Фехнера по формуле:

где С – число случаев совпадения знаков отклонения; Н – число случаев несовпадения знаков отклонения.

Коэффициент Фехнера может принимать значения от –1 до 1.

Еслизнакивсехотклоненийсовпадут(Н = 0), тоКф = −1, чтосвидетельствует о прямой связи между признаками.

Если знаки всех отклонений будут разными (С = 0), то Кф = −1, что свидетельствует об обратной связи между признаками.

Оценка степени тесноты корреляционной линейной связи осуществляется с помощью линейного коэффициента корреляции Пирсона, определяемого по формулам 9.2 и 9.3:

В таблицах 9.1, 9.2 представлены значения этого коэффициента и их смысловая интерпретация.

Таблица 9.1

Для качественной оценки тесноты связи между признаками используется шкала Чеддока.

72

Линейный коэффициент корреляции во второй степени носит название коэффициента детерминации. Он характеризует долю дисперсии результативного признака, объясняемую влиянием факторов, входящих в линейное уравнение регрессии.

В случае наличия нелинейной зависимости между двумя признаками для измерения тесноты связи применяют корреляционное отношение. Различают эмпирическое и теоретическое корреляционное отношение.

Эмпирическое корреляционное отношение рассчитывается по данным группировки, когда характеризует отклонения групповых средних результативного показателя от общей средней:

где ŋ– корреляционное отношение; σ2 – общая дисперсия;

2 – средняя из частных (групповых) дисперсий; δ2 – межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних).

Теоретическое корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1, определяется по формуле:

где δ2 – дисперсия выровненных значений результативного признака, т.е. рассчитанных по уравнению регрессии;

σ2 – дисперсия эмпирических (фактических) значений результативного признака;

2y – остаточная дисперсия.

Дляопределениятеснотысвязикакмеждуколичественными, такимежду качественными признаками, при условии что значения этих признаков расположены по степени убывания или возрастания признака, может быть использован коэффициент корреляции Спирмена.

где Кр – коэффициент корреляции рангов;

d2 – квадрат разности рангов, связанных величин Х и У; n – число наблюдений (число пар рангов).

73

Регрессионный анализ

Если между Х и У существует корреляционная зависимость и с изменением одной переменной соответственно изменяется другая, то появляется задача определения уравнения (тренда), с помощью которого оценивается фактор У, если величина переменной Х известна.

Регрессионный анализ включает в себя решение соответствующих задач.

З а д ач а 1.

Выбор «наилучшей» функции регрессии и оценка параметров уравнения регрессии.

На практике в качестве функций парной регрессии могут быть использованы различные виды функций. Наиболее используемые функции представлены в таблице 9.3.

Таблица 9.3

Основные функции парной регрессии

Примечание – а, b, b1, b2, …, bm – параметры моделей

На основе выборочного наблюдения оценивается уравнение парной ре-

где a, b – параметры уравнения.

Параметр b – коэффициент регрессии показывает, насколько в среднем изменитсязначениерезультативногопризнакаприувеличениифакторногонаединицу. На основе этого параметра вычисляются коэффициенты эластичности, отражающие изменение результативного признака в процентах в зависимости от изменения факторного признака на 1%.

74

Дляоценкипараметровуравнениярегрессии(a, b) используютметоднаименьшихквадратов(МНК). Сутьметодазаключаетсявминимизациисуммыквадратов отклонений теоретических значений результативного признака от его фактических значений:

α y bx .

З а д ач а 2.

Проверка гипотез о статистической значимости уравнения регрессии.

Проверка значимости модели регрессии в целом выполняется на основе дисперсионного анализа с помощью критерия Фишера (F-критерий). При этом вычисляются следующие величины:

SST n yi y 2 ;

i 1

SSR n yˆi y 2 ;

i 1

SSA n yi yˆi 2 ,

i 1

где yi – фактические значения результативного признака; y – среднее значение результативного признака;

yˆ – расчетные значения по уравнению регрессии.

На основе этих величин определяются:

–общая дисперсия Sy2 nSST1 ;

–факторная дисперсия (межгрупповая) Sr2 SSRk ;

F-критерий Фишера вычисляется как отношение дисперсии исходного ряда и несмещенной дисперсии остаточной компоненты. Если расчетное значение с ν1 = k и ν2 = (n − k − 1) степенями свободы, где k – количество факторов, включенных в модель, больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

75

где R – коэффициент детерминации, рассчитываемый по формуле:

З а д ач а 3.

Определение статистических характеристик параметров уравнения регрессии.

3.1. Проверка значимости каждого параметра уравнения регрессии.

Впарной линейной регрессии оценивается значимость не только уравнения

вцелом, ноиотдельныхегопараметров. Дляэтогопокаждомупараметрууравнения определяется его стандартная ошибка.

Стандартная ошибка коэффициента регрессии b равна:

где se yi yˆ 2 – остаточная дисперсия. n 2

Величина стандартной ошибки совместно с t-распределением Стьюдента при n – 2 степенях свободы применяется для проверки существенности коэффициента регрессии для расчета его доверительного интервала. Для оценки значимости коэффициентарегрессииопределяетсярасчетноезначениеt-критерияСтьюдента:

сти α1 и числом степеней свободы n – 2. Коэффициент регрессии считается значи-

мым, если tpi > tкр.

Стандартная ошибка параметра а:

1 Уровнем значимости в статистике называется вероятность совершить ошибку первого рода, т.е. отвергнуть верную гипотезу.

76

3.2. Построение доверительных интервалов для значимых параметров регрессии.

Доверительный интервал для коэффициента регрессии:

Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается нулевым, поскольку он не может одновременно принимать и положительные, и отрицательные значения.

З а д ач а 4.

Оценка адекватности и точности уравнения регрессии.

Качество модели определяется ее адекватностью и точностью. Под точностью понимается величина случайных ошибок. Сравнительный анализ точности имеет смысл только для адекватных моделей. Среди них лучшей признается модель с меньшими значениями характеристик точности, представленных в таблице 9.4.

Таблица 9.4

Характеристики точности моделей

77

Окончание таблицы 9.4

З а д ач а 5 .

Прогнозирование, т.е. нахождение оценки зависимой переменной для некоторого набора независимых переменных, которых нет в исходных наблюдениях.

где Sp – стандартная ошибка прогноза.

78

Тестовые задания для самопроверки

1.Коэффициент эластичности показывает:

а) на сколько процентов изменится величина результативного признака при изменении факторного на 1%;

б) на сколько единиц изменится величина результативного признака при изменении факторного на 1%;

в) на сколько процентов изменится величина факторного признака при изменении результативного на 1%.

2.Простейшим приемом выявления корреляционной связи между двумя признаками является:

а) расчет коэффициента корреляции знаков; б) расчет коэффициента эластичности;

в) построение уравнения корреляционной связи; г) анализ корреляционного поля.

3. Дляанализатеснотысвязимеждудвумякачественнымиальтернативными признаками могут применяться:

а) корреляционное отношение; б) линейный коэффициент корреляции; в) коэффициент ассоциации;

г) коэффициент корреляции рангов Спирмена; д) коэффициент контингенции.

4.Сумма долей всех структурных элементов изучаемого объекта: а) зависит от количества структурных элементов; б) должна равняться 1; в) всегда меньше 1; г) всегда больше 1.

5.Среднийабсолютныйприростудельноговесавычисляетсяпоформуле:

а) di dinn 1di1 ; б) di din1 d1in ;

в) di din di1 ;

n

79

г) d di1 din .

i n

6. Еслисреднийлинейпоказательструктурныхразличийбольше10%, то: а) структурные различия большие; б) структурные различия малые;

в) невозможно сделать вывод о наличии структурных различий.

7. Коэффициент вариации признака оценивает: а) размах вариации признака; б) степень вариации признака;

в) пределы колеблемости признака.

8. Если отсутствуют различия между вариантами внутри групп, то: а) межгрупповая дисперсия равна нулю; б) межгрупповая дисперсия равна единице;

в) межгрупповая дисперсия равна общей дисперсии; г) межгрупповая дисперсия равна средней из групповых дисперсий.

9. В случае если имеются данные о значении дисперсии, можно рассчитать значение:

а) среднего линейного отклонения; б) среднего квадратического отклонения; в) размаха вариации; г) коэффициента вариации.

10.Случайную вариацию отражает: а) внутригрупповая дисперсия;

б) изменения массовых явлений во времени; в) общая дисперсия; г) межгрупповая дисперсия.

11.Абсолютное значение 1% прироста характеризует:

а) абсолютную скорость роста (снижения) уровней ряда динамики; б) содержание 1% прироста в абсолютном выражении; в)относительное изменение абсолютного прироста уровня ряда динамики.

12.Средний уровень интервального ряда динамики с неравными временными промежутками исчисляется по формуле средней:

80