Сетевое планирование и управление производством. Курс лекций

время свершения конечного события (событие «7») и продолжительность работы «6 – 7», можно определить позднее время свершения события «6»:

tп(6) = min{tп(7) − t(6 − 7)}=15 − 4 =11.

Далее идем к следующему событию, номер которого меньше на единицу, т. е. к событию «5» и т. д.:

tп(5) = min{[tп(7) − t(5 − 7)]; [tп(6) − t(5 − 6)]}= min[(15 − 7); (11− 2)]= 8;

tп(4) = [tп(4) − t(4 − 7)]= (15 − 4) =11;

tп(3) = min{[tп(5) − t(3 − 5)]; [tп(4) − t(3 − 4)]}= min[(8 − 2); (11− 6)]= 5; tп(2) = [tп(4) − t(2 − 4)]= (11− 7) = 4;

tп(1) = min{[tп(3) − t(1− 3)]; [tп(5) − t(1− 5)]; [tп(6) + t(1− 6)]}= = min[(5 − 2); (8 − 6); (11− 5)]= 2;

tп(0) = min{[tп(1) − t(0 −1)]; [tп(2) − t(0 − 2)]; [tп(3) − t(0 − 3)]}= = min[(2 − 2); (4 −1); (5 − 5)]= 0.

Таким образом, по шагам от завершающего события к начальному, т. е. через все предшествующие события рассчитывается наиболее позднее из допустимых время свершения всех событий сети. Если из события выходит несколько работ, то необходимо вычислить все варианты и взять минимальное значение.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ СЕТЕВОГО ГРАФИКА

Укрупнение сетевого графика

Вряде случаев пользоваться детальным сетевым графиком не удобно.

Вэтой связи возникает задача построения по данному сетевому графику менее детализированного, укрупненного сетевого графика, сохраняющего основные взаимосвязи и параметры исходного.

Для решения этой задачи необходимо определить ту часть графика (события и работы), которые целесообразно укрупнить. Эту часть сети называют подграфиком и выделяют пунктиром. Для примера рассмотрим сетевой график, приведенный на рис. 23.

Рис. 23. Сетевой график

На данном рисунке пунктиром выделен подграфик, состоящий из 7 ра-

бот и 6 событий («1», «2», «3», «4», «5», «6»).

При укрупнении сетевого графика в выделенном фрагменте следует обратить внимание на начальные или входные события и конечные или выходные события, а также на внутренние события подграфика.

Входными событиями называются события, в которые входят работы от основного графика. На сетевом графике рис. 23 входными событиями являют-

ся «1» и «2».

Выходными событиями называются события, из которых выходят работы в основной график. На рис. 23 выходными событиями являются «2», «4» и «6».

Кроме того, представленный фрагмент имеет и внутренние события. Внутренние события – это те события, в которые не входят и из которых не выходят работы основного графика. Для подграфика на рис. 23 внутренние события «3» и «5».

Послеукрупнения сетевой график примет вид, представленныйна рис. 24.

9

6

15

Рис. 24. Укрупненный сетевой график

Представим характеристику укрупненного графика. Укрупненный график содержит все события основного графика, кроме внутренних событий фрагмента (события «3» и «5»), все работы, входящие в фрагмент и все работы, выходящие из фрагмента, а также все работы, соединяющие граничные события фрагмента, длительность которых равна времени максимальных путей между этими событиями. В укрупненном графике появились новые работы «2 – 4»

и «2–6». Работа «2–4» заменила комплекс работ «1–4», «1–3», «2–3» и «3–4».

Работа «2 – 6» заменила работы «2 – 5» и «5 – 6».

После укрупнения необходимо проверить, не изменились ли параметры сетевого графика (табл. 9).

54 Е. А. Зайцев, Г. Д. Беляева

Параметры сетевого графика после укрупнения остались без изменений, но в укрупненном графике (рис. 24) на 4 работы меньше.

Изображение сетевого графика в виде линейной диаграммы

Сетевой график, хотя и дает четкое представление о порядке следования работ, все же недостаточно нагляден для определения тех работ, которые должны выполняться в каждый данный момент времени. Поэтому в случае небольшого проекта, полезно после составления пронумерованного сетевого графика составить так называемую линейную диаграмму проекта.

На горизонтальной оси равномерная шкала времени; по вертикали располагаются работы, которые изображаются линией, параллельной оси времени и имеющей длину, равную продолжительности этой работы. Фиктивная работа с нулевой продолжительностью изображается точкой.

Линии (работы) располагают одну над другой, снизу вверх, начиная с работ, выходящих из исходного события в порядке возрастания. Момент наступления «0» события считают началом разработки и полагают его равным нулю, т. е. линии работ, выходящих из события «0» откладывают от вертика-

ли t = 0. Линию работы «ij» откладывают так, чтобы ее начало i лежало на одной вертикали со всеми другими линиями – работами, завершающимися

всобытии «i» и на одной вертикали со всеми другими линиями – работами, выходящими из события «i».

Для примера рассмотрим сетевой график (рис. 25) и представим его

ввиде линейной диаграммы (рис. 26).

Рис. 25. Сетевой график

4–5

3–5

2–4

2–3

1–2

1–3

0–2

0–1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 t, мес.

Рис. 26. Линейная диаграмма

По линейной диаграмме можно определить критическое время, критические пути, а также резервы времени всех работ.

Критическое время разработки, очевидно, равно координате по оси времени самого правого конца полосок линейной диаграммы. В данном случае критическое время равно 24 месяцам.

Критический путь можно найти по диаграмме следующим образом. Рассматриваем линии – работы с последним событием сети «5» в правом конце заканчиваются в критическое время – это линии, правый конец которых рас-

положен на вертикали критического времени (работа «3–5»). Затем рассматриваем линии – работы, которые завершаются в событии «3». Это работы «2–3» и «1 – 3». Выбираем лишь те работы, конечное событие которых расположено на одной вертикали с левым концом (начальным событием) работы «3 – 5». В данном случае это работа «2 – 3». Переходим к анализу линий – работ, завершающихся в событии «2». В данном случае, только у одной из них «0 – 2» конечное событие «2» находится на одной вертикали с начальным событием работы «2–3». Так, перебирая работы от конечного завершающего события «5» приходим к исходному событию «0». Выделенные линии – это работы, которые образуют последовательную совокупность всех критических работ и позволяющие обнаружить все критические пути.

Определение tр(i ) и tп(i ) на линейной диаграмме

Начальные и конечные события работ критического пути, у которых tр (i) = tп (i) определяются по вертикали на оси времени. Поэтому прямо на

диаграмме можно записать:

tр (0) = tп (0) = 0; tр (2) = tп (2) = 6; tр (3) = tп (3) = 14; tр (5) = tп (5) = 24.

Для некритических работ tр (i) определяется по их проекции на ось вре-

мени, т. е. tр (1) = 2 и tр (4) = 13.

Определение tп (i) происходит от завершающего события, т. е. расчет производим сверху вниз от события «5» – конечного к исходному.

Для события «5» tр (5) = tп (5) = 24 и ему предшествуют события «4»

и «3». Определяем tп (4) по следующей схеме. Сдвигаем вправо до вертикали

критического пути полоски-работы, правым концом которых служит событие «5». Это работа «4 – 5». Спускаясь затем сверху вниз, сдвигаем одну за другой все некритические работы вправо на максимально допустимые отрезки, т. е. так, чтобы правые концы работ-линий, их конечные события (j) попали на одну вертикаль с самым левым концом уже сдвинутых работ, у которых начальным событием является событие (j) данной работы. Это начальное событие ранее сдвинутых работ определяет по шкале времени максимальное время свершения события. Так, для события «4» tп (4) = 18, для события «3»

tр (3) = tп (3) = 14, для события «2» tр (2) = tп (2) = 6. Далее определяем tп (1).

Сдвигаем работы «1 – 3» и «1 – 2» вправо до критического предела времени свершения их конечных событий. Для работы «1 – 3» это будет до вертикали, падающей на 14-й месяц оси времени, а событие «1» приходится на вертикаль 9-го месяца проекта. Затем сдвигаем вправо работу «1 – 2». Событие «1» пада-

Определение полного резерва времени работы на линейной диаграмме

По полученной после сдвигов линейной диаграмме полный резерв времени работы Pп(ij) определяется как величина ее сдвига, т. е. как длина отрезка

от старого положения события (j) (до сдвига) до нового положения события (j) после сдвига.

Для работы «4 – 5» полный резерв Pп (4 – 5) = 5, для работы «2 – 4» = 5, для работы «1 – 3» = 7, для работы «1 – 2» = 1, для работы «0 – 1» = 1.

Свободный резерв времени работы t(ij)

На линейной диаграмме свободный резерв времени некритических работ определяется следующим образом: работу (ij) сдвигаем вправо до совпадения события (i) с вертикалью tп (i). Тогда свободный резерв времени работы

равен длине отрезка от события (j) сдвинутой линии работы до вертикали tр (j), т. е. до самого правого конца критических работ, завершающихся в со-

бытии (j). В приведенном примере только одна работа «1 – 3» имеет свободный резерв. Наиболее раннее время свершения события «1» равно 2 месяцам, а наиболее позднее равно 3 месяцам. Следовательно, можно передвинуть работу «1 – 3» вправо на один месяц, т. е. до вертикали значения tп (1). В этом

случае разность между tр (3) и непередвинутым j = 3 будет равна 6 месяцам. Следовательно Pс (1–3) = 6. Все остальные работы свободного резерва не имеют. Работу «0–1» сдвигать нет возможности, т. к. у нее tр (0) = tп (0). Работу «1–2» можно передвинуть вправо на один месяц, но в этом случае tр (2) совпадет

с временем свершения события «2» у передвинутой работы и разность между ними будет равна 0, т. е 6 – 6 = 0. Работу «2 – 4» нельзя двигать, т. к. ее начальное событие «2» находится на вертикали tп (2). Работу «4 – 5» можно

сдвинуть на 5 месяцев вправо, чтобы ее начальное событие «4» было на вертикали tп (4). В этом случае ее завершающее событие «5» совпадет с критиче-

ским временем и разность между tп (5) – tр (5) = 0, т. к. tп (5) = tкр.

РАСЧЕТ И АНАЛИЗ СТОХАСТИЧЕСКИХ СЕТЕЙ

Сетевой график является моделью, отражающей фактический состав и взаимодействие событий и работ функционирующей системы. Каждая работа, входящая в сеть, протекает во времени, следовательно она имеет определенную продолжительность, т. е. временную оценку.

Качество сетевого графика, эффективность планирования и управления в значительной степени зависят от достоверности временных оценок.

Для работ, часто повторяющихся, имеются нормативные продолжительности, установленные в зависимости от характера технологического процесса и применяемых ресурсов.

По большинству производственных процессов, имеющих твердую нормативную базу, временные оценки выполняемых работ, получают вполне определенные значения, соответствующие вполне нормальным условиям работы. Сети с однозначными временными оценками работ получили название детерминированных. В ряде случаев, помимо нормальной продолжительности, определяют еще и авральное время при форсированном выполнении работ.

Эта оценка не является обязательной и используется лишь в дальнейшем при оптимизации исходного сетевого плана.

Для сетей, по которым объективные и обоснованные нормы продолжительности отсутствуют, временные оценки приходится устанавливать в условиях полной неопределенности. Подобное положение чаще всего наблюдается в научно-исследовательских, экспериментальных, опытно-конструкторских работах при изготовлении и испытании новых опытных образцов и т. д. В этих случаях невозможно точно предвидеть ход выполнения работ и продолжительность их выполнения.

В этих условиях для оценки продолжительности каждой работы применяют вероятностный метод, который позволяет учесть степень неопределенности ее выполнения в намеченный срок.

Это достигается с помощью трех временных оценок вместо одной, а данные сети получили название стохастических.

Введение вероятностных оценок времени означает совершенно новый подход к планированию. Неопределенность во времени, с которой приходится сталкиваться в новых разработках, становится объективно признанным фактором, действие которого должно учитываться.

При планировании работ, для которых отсутствуют нормативы времени и нет опыта выполнения подобных работ в прошлом, устанавливаются три оценки времени, даваемые ответственными руководителями по каждой работе, оптимистическая, пессимистическая и наиболее вероятная.

Оптимистическая оценка времени выполнения работ – минимально возможное время (tmin ) выполнения данной работы при самых благоприят-

ных условиях. Вероятность выполнения работы за такое время ориентировоч-

но 0,01.

Пессимистическая оценка времени – максимальное время (tmax ) вы-

полнения данной работы при крайне неудачном стечении обстоятельств, например, авария, стихийное бедствие и т. д. Вероятность выполнения работы за такое время ориентировочно 0,01.

Наиболее вероятная оценка времени (tнв ) – возможное время выполне-

ния данной работы при условии, что не возникает никаких неожиданных трудностей. Вероятность выполнения работы за такое время максимальная.

Запись трех оценок времени в сетевом графике выполняется тремя цифрами в порядке их возрастания: tmin ; tнв; tmax , проставляемыми над или

под стрелками. Полученные оценки подвергаются статистической обработке. Исследование различных видов распределения по теории вероятности показало, что получаемую в данном случае кривую можно рассматривать как бетараспределение. Вершина кривой характеризует наиболее вероятное время.

Математические исследования позволили на основе ряда допущений получить весьма простую зависимость для статистического усреднения времени. Максимальной и минимальной оценкам присваивается по одному баллу, вероятной – 4 балла. Время, умноженное на баллы, складывают и делят на 6,

врезультате чего получается расчетное ожидаемое время, которое и вводится

всетевой план:

tож = (tmin + 4tнв + tmax )6.

В данной формуле tож представляет собой математическое среднее

ожидание или статистическое среднее значение трех оценок продолжительности выполнения данной работы.

В стохастических сетях, помимо математического ожидания продолжительности выполнения работ, определяют еще и величину дисперсии, т. е. меру неопределенности, рассеивания, связанную с этой продолжительностью. Неопределенность характеризуется размахом кривой распределения от tmin

до tmax . Чем больше этот размах, тем больше неопределенность, и наоборот. Дисперсия обозначается символом σ2 и вычисляется по формуле:

Выражение, стоящее в скобках, представляет собой среднеквадратичное отклонение, приближенно определяемое как 1/6 разности максимальной и минимальной оценок. Наиболее вероятное время не может быть взято как ожидаемая величина. В большинстве случаев наиболее вероятное время оценивается руководителями ближе к пессимистическому, чем оптимистическому, поэтому ожидаемое время будет несколько превышать наиболее вероятное.

Когда определение наиболее вероятной оценки времени вызывает затруднение, tож можно рассчитать по следующей формуле:

tож = (3tmin + 2tmax )5.

В этом случае σ2 =0,04(tmax −tmin )2 .

Следует отметить, что математическое ожидание времени выполнения данной работы и его дисперсия являются важнейшими характеристиками стохастического сетевого графика и вычисляются в первую очередь. На основе этих характеристик осуществляется контроль сети путем выявления работ с большей неопределенностью. Так, например, если имеются две работы с одинаковыми значениями ожидаемого времени выполнения, но различными значениями дисперсий, то критический путь выбирается исходя из большего значения дисперсии.

В соответствии с выше сказанным рассчитаем параметры сети, приведенной на рис. 27.

Каждая из работ, представленных в сети на рис. 27, имеет неопределенность времени ее выполнения. На графике представлены три оценки: tmin ,

tнв, tmax . Так, для работы «0 – 1» tmin = 4, tнв = 7, tmax = 10.

Рассчитаем tож для всех работ сети:

tож (0 – 1) = ((4 + (4 7) + 10)/6 = 42/6 = 7;

tож (6 – 10) = ((0 + (4 1) + 2)/6 = 6/6 = 1; tож (7 – 8) = ((4 + (4 8) + 12)/6 = 48/6 = 8; tож (8 – 9) = ((3 + (4 5) + 7)/6 = 30/6 = 5; tож (9 – 10) = ((3 + (4 4) + 5)/6 = 24/6 = 4.

Далее определим критический путь:

t(L1) = t(0 –1) + t(1 – 4) + t(4 – 5) + t(5 –8) + t(8 –9) + t(9 –10) = = 7 + 2 + 3 + 6 + 5 + 4 = 27;

t(L2) = t(0 –1) + t(1 – 4) + t(4 – 7) + t(7 –8) + t(8 –9) + t(9 –10) = = 7 + 2 + 1 + 8 + 5 + 4 = 27;

t(L3) = t(0 –1) + t(1 – 3) + t(3 – 7) + t(7 –8) + t(8 –9) + t(9 –10) = = 7 + 3 + 0 + 8 + 5 + 4 = 27;

t(L4) = t(0 –1) + t(1 – 3) + t(3 – 6) + t(6 –10) = 7 + 3 + 3 + 1 = 14; t(L5) = t(0 –1) + t(1 – 3) + t(3 – 9) + t(9 –10) = 7 + 3 + 2 + 4 = 16;

t(L6) = t(0 –2) + t(2 – 5) + t(5 – 8) + t(8 –9) + t(9 –10) = 5 + 5 + 6 + 5 + 4 = 25.