Сетевое планирование и управление производством. Курс лекций

t(2 – 3) = tп (3) – tp (2) – t(2 – 3) = 14 – 6 – 8 = 0; t(2 – 4) = tп (4) – tp (2) – t(2 – 4) = 18 – 6 – 7 = 5; t(3 – 5) = tп (5) – tp (3) – t(3 – 5) = 24 – 14 – 10 = 0; t(4 – 5) = tп (5) – tp (4) – t(4 – 5) = 24 – 13 – 6 = 5.

Значение «0» имеют работы («0 – 2», «2 – 3», «3 – 5») критического пути. Следовательно, рассчитав это равенство для всех работ сети, можно определить все работы критического пути в их последовательности.

Определение ранних сроков начала и окончания работ

Ранние сроки начала и окончания работ определяются последовательно для каждой работы в отдельности, последовательным переходом от более ранних событий к более поздним, т. е. слева направо.

Сроки начала и окончания работ определяют одновременно.

Раннее окончание работы tpо (ij ) равно ее раннему началу tpн (ij ) плюс продолжительность самой работы t (ij ). tpо (ij)=tpн (ij)+t (ij).

Для всех работ, выходящих из исходного события «0», ранние сроки их начала равны «0». Следовательно ранние сроки окончания этих работ будут равны их продолжительности.

Математически это выглядит следующим образом: tpо (ij)=tpн (ij)+t (ij)=0 +t (ij)=t (ij).

Раннее начало последующей работы равно раннему окончанию данной работы: tpн (ik )=tpо (ij).

Если данной работе предшествует несколько работ, то ее раннее начало равно максимальному значению из всех ранних окончаний предшествующих

работ: tpн (jk )= max tpо (ij ).

Определим ранние сроки начала и окончания работ для нашего примера.

Событие «0».

tpн (0 – 1) = 0; tpо (0 – 1) = tpн (0 – 1) + t(0 – 1) = 0 + 2 = 2; tpн (0 – 2) = 0; tpо (0 – 2) = tpн (0 – 2) + t(0 – 2) = 0 + 6 = 6.

Событие «1».

Ранее начало работ «1 –2» и «1 – 3» будет одинаковым и определяется ранним окончанием работы, а именно:

tpн (1 – 2) = tpо (0 – 1)=2; tpо (1 – 2) = tpн (1 – 2) + t(1 – 2) = 2 + 3 = 5; tpн (1 – 3) = tpо (0 – 2)=2; tpо (1 – 3) = tpн (1 – 3) + t(1 – 3) = 2 + 5 = 7.

32 Е. А. Зайцев, Г. Д. Беляева

Событие «2».

Раннее начало работ, выходящих из события «2», а именно, «2 – 3» и «2 – 4» будет одинаковым и определится как максимальное значение из всех ранних окончаний предшествующих работ, т. е. работы «0 – 2».

Событие «3».

Из события «3» выходит одна работа «3 – 5». Ее раннее начало определяется по формуле:

tpн (3 – 5) = max tpо (1 – 3); max (7; 14) = 14; tpо (3 – 5) = tpн (3 – 5) + t(3 – 5) = 14 + 10 = 24.

Событие «4».

Из события «4» выходит одна работа «4 – 5». Ее раннее начало определяется по формуле:

tpн (4 – 5) = tpо (2 – 4) = 13;

tpо (4 – 5) = tpн (4 – 5) + t(4 – 5) = 13 + 6 = 19.

Событие «5».

Максимальное значение раннего окончания одной из работ, входящих

взавершающее событие, определяет одновременно и ее позднее окончание,

атакже продолжительность критического пути, состоящего из суммы всех работ этого пути.

Внашем примере в завершающее событие «5» входит две работы «3 – 5» и «4 – 5», из которых первая имеет наибольшее значение раннего окончания, равное 24 месяцам, вторая «4 – 5» только 19 месяцев. Следовательно 24 месяца

и будут определять величину критического пути tкp = 24 месяца. Вместе с тем,

24 месяца являются наиболее поздним окончанием всех работ, входящих в завершающее событие:

tpо (3 – 5) = tпо (3 – 5) = tпо (4 – 5) = tкp = 24.

Определив позднее окончание работ, входящих в завершающее событие, определим поздние сроки начала и окончания всех остальных работ сети.

Определение поздних сроков начала и окончания работ

Поздние сроки начала и окончания работ определяются обратным ходом, от завершающего события к исходному, т. е. справа налево. Позднее

В нашем примере поздние окончания работ «3 – 5» и «4 – 5» будут равны 24 месяцам, а позднее начало определим по формуле:

tпн (3 – 5) = tпо (3 – 5) – t(3 – 5) = 24 – 10 = 14; tпн (4 – 5) = tпо (4 – 5) – t(4 – 5) = 24 – 6 = 18.

Для работы «2 – 4», работа «4 – 5» является последующей. Определив позднее начало последующей работы, можно определить позднее окончание данной работы. Таким образом,

tпо (ij) = tпн (jk);

tпо (2 – 4) = tпн (4 – 5) = 18; tпо (2 – 3) = tпн (3 – 5) = 14; tпо (1 – 3) = tпн (3 – 5) = 14.

tпн (2 – 4) = tпо (2 – 4) – t(2 – 4) = 18 – 7 = 11; tпн (2 – 3) = tпо (2 – 3) – t(2 – 3) = 14 – 8 = 6; tпн (1 – 3) = tпо (1 – 3) – t(1 – 3) = 14 – 5 = 9.

Если за данной работой следует не одна, а несколько работ, то ее позднее окончание будет равно минимальному значению из всех поздних начал последующих работ:

tпо (ij) = min tпн (jk).

При определении поздних окончаний остальных работ рассматриваемого графика в скобках указываются все значения поздних начал последующих работ, из которых выбирают наименьшее:

tпо (1 – 2) = min [ tпн (2 – 4); tпн (2 – 3)] = (11; 6) = 6; tпн (1 – 2) = tпо (1 – 2) – t(1 – 2) = 6 – 3 = 3.

tпо (0 – 2) = min [ tпн (2 – 4); tпн (2 – 3)] = (11; 6) = 6; tпн (0 – 2) = tпо (0 – 2) – t(0 – 2) = 6 – 6 = 0.

Если сравнить ранние и поздние сроки начала и окончания работ, то увидим, что для работ критического пути они равны:

tрн (ij) = tпн (ij); tро (ij) = tпо (ij).

34Е. А. Зайцев, Г. Д. Беляева

Внашем примере критический путь проходит через работы «0 – 2», «2 – 3», «3 – 5», у которых:

tрн (0 – 2) = tпн (0 – 2) = 0; tро (0 – 2) = tпо (0 – 2) = 6.

tрн (2 – 3) = tпн (2 – 3) = 6; tро (2 – 3) = tпо (2 – 3) = 14.

tрн (3 – 5) = tпн (3 – 5) = 14; tро (3 – 5) = tпо (3 – 5) = 24.

Однако в ряде случаев недостаточно только одного равенства ранних и поздних сроков начала и окончания работы для того, чтобы считать ее критической. Приведем соответствующий пример.

На фрагменте (рис. 17) все три работы, выходящие из событий «1», «2», «3», могут показаться критическими, т. к. их ранние и поздние начала, проставленные на рис. 17 в виде дроби у начала стрелок, будут равны между собой.

15/15

tрн

Рис. 17. Фрагмент сетевого графика

Такой вывод будет неверен. Работа может быть признана лежащей на критическом пути только при соблюдении следующего условия:

tро (ij) – tрн (ij) = t(ij); tпо (ij) – tпн (ij) = t(ij).

В рассматриваемом фрагменте это условие для работы «1 – 3» не соблю-

дено: 15 – 3 = 12, а t(1 – 3) = 3, а для работ «1 – 2» и «2 – 3» соблюдено:

tро (1 – 2) – tрн (1 – 2) = t(1 – 2); 8 – 3 = 5; tро (2 – 3) – tрн (2 – 3) = t(2 – 3); 15 – 8 = 7.

Поэтому критический путь выделяют только по двум работам «1 – 2» и «2 – 3». Сетевой график на рис. 17 примет вид, приведенный на рис. 18.

Разница между поздним окончанием и ранним началом данной работыtпо (ij)− tрн (ij) показывает максимально возможный отрезок времени, в те-

чение которого работа может выполняться. Следует подчеркнуть, что время позднего окончания (tпо ) всех работ, входящих в одно и то же событие, мо-

жет всегда иметь одну и ту же величину.

Определение раннего начала и окончания и позднего начала и окончания работ можно произвести, зная tр (i) и tп (i) для всех событий сети, по сле-

дующим формулам:

tрн (ij) = tр (i);

tро (ij) = tр (i) + t(ij);

tпн (ij) = tп (j) – t(ij); tпо (ij) = tп (j).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕЗЕРВОВ ВРЕМЕНИ

Из определения критического пути следует, что его длина больше любого другого пути сетевого графика. Разница между продолжительностью

критического пути (tкp ) и продолжительностью любого другого пути t(Ln) является общим полным резервом времени пути P(Ln):

P(Ln) = tкp – t(Ln).

Полный резерв времени пути показывает, на сколько в сумме могут быть увеличены продолжительности всех работ, принадлежащих данному пути, без влияния на общий срок выполнения работ.

Определим длину и полные резервы всех путей сетевого графика, приведенного на рис. 16.

Полученный полный резерв какого-либо пути нельзя без соответствующей проверки приписать одной из работ данного пути, т. к. другие пути, проходящие через данную работу, при этом удлиняются и могут превосходить продолжительность критического пути, что не допустимо.

Например, для первого пути получен результат полного резерва времени равный 7 месяцам. Если увеличить работу «0 – 1» на этот срок, то тогда продолжительность путей, проходящих через эту работу, будет равна:

tL1(0, 1, 3, 5) = (2 + 7) + 5 + 10 = 24; tL2(0, 1, 2, 3, 5) = (2 + 7) + 3 + 8 + 10 = 30; tL3(0, 1, 2, 4, 5) = (2 + 7) + 3 + 7 + 6 = 25.

Из приведенного примера следует, что весь резерв пути нельзя перенести на одну работу без соответствующего анализа. В этой связи необходимо полный резерв времени рассчитывать для каждой работы.

Определение общего резерва события

В процессе временного анализа сети для каждого события обычно вычисляются два параметра – наиболее раннее возможное время выполнения

события tр (i) и наиболее позднее допустимое время выполнения события tп (i).

Время tр (i) прогнозирует момент наступления события при наиболее

благоприятном стечении обстоятельств, когда все предшествующие события и работы, определяющие данное событие, выполняются в запланированные сроки.

Время tп (i) дает возможность оценить, на сколько можно отсрочить

момент наступления рассматриваемого события с тем, чтобы сроки выполнения всей разработки не изменялись.

Резерв времени события (i) обозначается через Р(i) и определяется как

разница между поздним и ранним сроками свершения данного события, т. е.

P (i)= tп (i)− tр (i).

Резерв времени события показывает, на какой предельно допустимый период времени можно задержать свершение этого события, не вызывая при этом увеличения общего срока выполнения проекта.

При значительной задержке срока свершения события критический путь перемещается на максимальный из путей, проходящих через это событие. Очевидно, что события критического пути не имеют резервов времени, т. к.

у них tп (i)=tр (i).

Определим резервы времени для сети, представленной на рис. 16.

Р(0) = 0.

Р(1) = tп (1) – tр (1) = (24 – 21) – 2 = 1; Р(2) = tп (2) – tр (2) = (24 – 18) – 6 = 0; Р(3) = tп (3) – tр (3) = (24 – 10) – 14 = 0; Р(4) = tп (4) – tр (4) = (24 – 6) – 13 = 5; Р(5) = tп (5) – tр (5) = 24 – 24 = 0.

События «0», «2», «3», «5» находятся на критическом пути и не имеют резерва времени.

Полный резерв времени работы

Поскольку резерв времени пути L может быть использован для увеличения продолжительности работ, находящихся на этом пути, можно утверждать, что любая из работ пути L на его участке, не совпадающем с критическим путем, обладает резервом времени.

Резерв времени работы, определенный посредством величины резерва времени пути, на котором она находится, называется полным резервом времени работы (ij) и обозначается Pп(ij).

Работа (ij) может одновременно принадлежать нескольким путям, т. е. через работу (ij) может проходить несколько различных путей. Длины этих путей могут быть не равны между собой, следовательно различны будут и резервы времени у этих путей.

Общий или полный резерв времени работы показывает, на какое время может быть увеличена продолжительность отдельной работы t(ij), чтобы при

этом длина максимального из путей t (Lmax ), проходящего через эту работу,

не превысила длины критического пути. Под полным резервом времени некритической работы можно понимать и время, на которое разрешается перенести начало данной работы.

Если полный резерв времени данной работы исчерпан, то она становится критической.

Полный резерв времени работы может быть определен по различным методикам.

Во-первых, полный резерв времени можно определить через расчет разности позднего и раннего начала или позднего и раннего окончания работ:

P (ij)= tпн (ij)− tрн (ij) или P (ij)= tпо (ij)− tро (ij).

В соответствии с данным подходом рассчитаем полные резервы времени работ рассматриваемого сетевого графика на рис. 16, взяв за исходные данные, рассчитанные выше ранние и поздние сроки начал выполнения каждой из работ.

Pп(0 – 1) = tпн (0 – 1) – tрн (0 – 1) = 1 – 0 = 1;

Pп(0 – 2) = tпн (0 – 2) – tрн (0 – 2) = 0 – 0 = 0;

Pп(1 – 2) = tпн (1 – 2) – tрн (1 – 2) = 3 – 2 = 1;

Pп(1 – 3) = tпн (1 – 3) – tрн (1 – 3) = 9 – 2 = 7;

Pп(2 – 3) = tпн (2 – 3) – tрн (2 – 3) = 6 – 6 = 0;

Pп(2 – 4) = tпн (2 – 4) – tрн (2 – 4) = 11 – 6 = 5;

Pп(3 – 5) = tпн (3 – 5) – tрн (3 – 5) = 14 – 14 = 0;

Pп(4 – 5) = tпн (4 – 5) – tрн (4 – 5) = 18 – 13 = 5.

Во-вторых, полный резерв времени работы может быть определен путем вычитания из наиболее позднего срока наступления последующего собы-

тия tп (j) наиболее раннего наступления предшествующего события tр (i) и продолжительности данной работы t(ij).

P (ij) = tпо (j) – tр (i) – t (ij).

Рассчитаем полные резервы времени работ в соответствии с данным подходом.

Pп(0 – 1) = tп (1) – tр (0) – t(0– 1) = 3 – 0 – 2 = 1;

Pп(0 – 2) = tп (2) – tр (0) – t(0– 2) = 6 – 0 – 6 = 0;

Pп(1 – 2) = tп (2) – tр (1) – t(1– 2) = 6 – 2 – 3 = 1;

Pп(1 – 3) = tп (3) – tр (1) – t(1– 3) = 14 – 2 – 5 = 7;

Из приведенного расчета видно, что работы «0 – 2», «2 –3» и «3 – 5» не имеют резерва. Следовательно они находятся на критическом пути.

Определив полный резерв времени каждой из работ, и, зная полный резерв времени пути, можно распределить его между отдельными работами этого пути в пределах общих резервов времени этих работ.

Например, путь через события (0– 1 – 3 –5) имеет резерв 7 месяцев. Его можно распределить между некритическими работами «0 – 1» и «1 – 3» следующим образом: работа «0 – 1» прибавляем один месяц, работе «1 – 3» – шесть месяцев. Израсходовав весь резерв времени пути L1 (Р = 7 месяцев), тем не менее работа «1 – 3» не удовлетворена резервом на 100 %, у которой полный резерв времени составляет 7 месяцев. Такое положение создалось потому, что сумма общих резервов всех работ, лежащих на данном пути, оказалась больше, чем общий резерв пути.

Подобная ситуация объясняется тем, что одна и та же работа может входить в разные пути. Если по всем работам в пути использовались бы их общие резервы, то путь стал бы больше критического. Например, для

L(0, 1, 3, 5) = 2 + 5 + 10 = 17, а с резервом 2 + (1) + 5 + (7) + 10 = 25.

При использовании полного резерва времени данной работы, появляется новый критический путь. Так, если для работ первого пути используем полные резервы времени, например, на 7 месяцев увеличим продолжительность работы «2 – 3», то первый путь станет критическим и будет равен 24 месяцам. Использование полного резерва времени работы приводит к тому, что все последующие за ней работы будут начинаться только в наиболее позднее из допустимых время свершения (j) события данной работы.

В-третьих, полный резерв работы можно рассчитать в соответствии со следующей формулой: Р(ij) = tкр – L′(ij), где L′(ij) – путь максимальной

длины, идущий из исходного в завершающее событие сети и проходящий через данную работу. Например, для работы «0 – 1» из трех путей, проходящих через данную работу от исходного к завершающему событию, длины этих путей будут равны:

L1(0 –1 –3 –5) = 2 + 5 + 10 = 17;

L2(0 –1 –2 –3– 5) = 2 + 3 + 8 + 10 = 23;

L3(0 –1 –2 –4– 5) = 2 + 3 + 7 + 6 = 18.

Максимальную продолжительность имеет L2 = 23 месяца, таким образом

Р(0 – 1) = tкр – L′(2) = 24 – 23 = 1.

Свободный резерв работы

Отдельные работы, помимо полного резерва времени, имеют свободный резерв времени Pc (ij). Он образуется в том случае, когда продолжительность

работы меньше, чем разность между наиболее ранним из возможных сроков свершения конечного события и наиболее поздним из допустимых сроков свершения начального события данной работы.

Pc (ij) = tр (j) – tп (i) – t(ij).

Свободный резерв времени означает, что можно увеличить продолжительность работы на величину ее свободного резерва времени Pc , не влияя на

сроки свершения ее начального и конечного событий и на величину резервов времени у всех остальных работ сети.

Свободный резерв времени может быть лишь у тех работ, которые не лежат на максимальных путях, проходящих через ее начальные и конечные события.

Рассчитаем свободный резерв времени для сетевого графика, приведенного на рис. 16.

Pc (3 – 5) = tр (5) – tп (3) – t(3– 5) = 24 – 14 – 10 = 0;

Pc (4 – 5) = tр (5) – tп (4) – t(4– 5) = 24 – 18 – 6 = 0.

Из приведенного расчета видно, что из всех работ сетевого графика имеет свободный резерв только одна работа «1 – 3». Он равен 6 месяцам. Увеличив продолжительность этой работы на 6 месяцев (т. е. 5 + 6 = 11), мы не влияем на резерв работы «0 – 1» (некритической), входящей в начальное событие работы «1 – 3».

Для характеристики относительной величины свободного резерва времени работы может применяться коэффициент свободы Kc (ij), определяемый следующим образом:

Kc (ij) = (tp ( j) − tп(i))t(ij).

Коэффициент свободы показывает, во сколько раз можно увеличить продолжительность работы t(ij), не влияя на сроки свершения всех событий и всех остальных работ сети.