Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

О теории функций комплексного переменного. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

649 Кб

Скачать

☆

1 / 111 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

С.В. НЕДЕЛЬКО, Г. Н. МИРЕНКОВА

ОТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

НОВОСИБИРСК

2024

УДК 517.53(075.8) Н421

Рецензенты:

д-р физ.-мат. наук, профессор В. А. Селезнев канд. физ.-мат. наук, доцент Е. В. Казанцева

Работа подготовлена кафедрой высшей математики для студентов II курса РЭФ, специальности

11.03.02Инфокоммуникационные технологии и системы связи,

11.03.04Электроника и наноэлектроника

Неделько С. В.

Н421 О теории функций комплексного переменного: учебное пособие / С. В. Неделько, Г. Н. Миренкова. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2024. – 108 с.

ISBN 978-5-7782-5212-7

Учебное пособие содержит необходимый для решения задач и сдачи экзамена теоретический материал, изложение основных методов решения задач по теме «Теория функций комплексного переменного». Пособие адресовано студентам дневного отделения второго курса факультета РЭФ, но может использоваться и другими техническими специальностями. Подбор и изложение материалов отвечают потребностям очного, смешанного и дистанционного обучения.

	УДК 517.53(075.8)
ISBN 978-5-7782-5212-7	© Неделько С. В., Миренкова Г. Н., 2024
	© Новосибирский государственный
	технический университет, 2024

		Оглавление
§1. Действия над комплексными числами.............................................			5
§2. Основные функции комплексного переменного............................			12
1.		Определение функции комплексного переменного.....................	12
2.		Функция w=ez ..............................................................................	13
3.		Функции w=sin z ,w=cos z ...........................................................	14
4.		Функция w=Lnz ...........................................................................	16
5.		Функция az ....................................................................................	17
6.		Обратные тригонометрические функции .....................................	17
7.		Обратные гиперболические функции ...........................................	18
8.		Примеры вычисления функций комплексного переменного ......	18
§3. Дифференцируемость функции комплексного переменного.
Условия Коши-Римана ......................................................................			24
1.		Определение производной. Дифференцируемость функции
	комплексного переменного.............................................................		24
2.		Условия дифференцируемости – условия Коши-Римана..........	25
3.		Формулы и свойства производных...............................................	25
4.		Геометрический смысл модуля и аргумента производной.........	26
§4. Аналитические функции...................................................................			29
Примеры решения задач....................................................................			33
§5. Интегрирование функций комплексного переменного..................			38
1.		Интеграл от функции комплексного переменного......................	38
2.		Связь с криволинейными интегралами.........................................	38

§6. Интеграл и первообразная для аналитических функций. Формула

Ньютона-Лейбница...........................................................................	42
Вычисление интегралов от однозначных функций .......................	43

Интегрирование по ветви многозначной функции.........................		46
§7. Теорема Коши для аналитических функций...................................		50
§8. Интегральная формула Коши...........................................................		52
Решение задач.....................................................................................		55
§9. Функциональные и степенные ряды................................................		58
1.	Функциональные ряды...................................................................	58
2.	Степенные ряды.............................................................................	59
3.	Ряд Тейлора....................................................................................	60
§10. Ряды Лорана....................................................................................		63
Решение задач...................................................................................		65
§11. Классификация изолированных особых точек.............................		72
1. Устранимая особая точка..............................................................		72
2. Полюс порядка m 1 ...................................................................		73
3. Существенно особая точка...........................................................		76
§12. Вычеты функции.............................................................................		79
1.	Определение вычета в конечной точке.........................................	79
2.	Вычисление вычета в полюсе........................................................	79
3.	Вычет функции относительно существенно особой точки.........	82
4.	Вычет относительно бесконечно удаленной особой точки........	82
5.	Решение задач.................................................................................	85
§13. Вычисление интегралов от функций комплексного переменного
с помощью вычетов..........................................................................		91
§14. Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов.....		96
	Решение задач..................................................................................	97
§15. Формулировка фундаментальных результатов теории функций
комплексного переменного...........................................................		106
Библиографический список..................................................................		107

§1. Действия над комплексными числами
Комплексное			число	(в	алгебраической		форме)	имеет	вид
z=x+iy , где		x=Rez есть действительная часть числа						z , y=Imz
есть мнимая часть числа				z . Числа		x , y действительные, мнимая
единица	i задается соотношением					i2=−1 . Комплексно сопряжен-
ным для	числа	z	является		число	z=x−iy	. Комплексное число
						¯
изображается точкой на плоскости с координатами x								и y	либо

соответствующим этой точке вектором. Модуль комплексного числа z определяется как

|z|=√

x2+ y2

(1)

и представляет собой расстояние от начала координат до этой точки. Вектор, проведенный из начала координат в точку z , образует с осью

OX угол φ 0 . Аргументом z

называется φ =Argz=φ 0+2 k π , где

k=0 ,±1 ,±2 ,... , при этом φ 0=argz

называется главным значением

аргумента z . Главное значение аргумента часто принимают

−π <φ 0 π , и находится оно по формулам:

φ 0

=arctg

, x>0

(в I и IV четвертях)

φ 0

=π +arctg

, x<0 , y>0 (во II четверти)

(2)

φ 0=−π +arctg

, x<0 , y<0

(в III четверти).

Если

x=0 , то комплексное число лежит на оси

OY : при y>0

аргумент

φ =π , при

y<0

φ =−π . Если x=0 и

y=0 , то угол

не определен. (Нередко вместо

φ 0

пишут также φ , если при этом не

меняется смысл выражения.)

Алгебраическую форму комплексного числа z=x+iy запишем также в других видах, используя формулы x=|z|cosφ , y=|z|sinφ из

тригонометрии. Получаем тригонометрическую и показательную формы комплексного числа:

z=|z|(cosφ +i sinφ ) и

z=|z|eiφ .

(3)

Одной из важнейших формул является формула Эйлера:

eiφ =cosφ +i sin φ .

(4)

Функция eiφ

называется функцией поворота.

Пример 1. Известно, что

Re z=10 , φ =arccos 2 . Найти |z| .

Из условия находится

x=10 ,

cosφ = 2

, при этом

x=|z|cosφ ,

10 3

тогда

|z|=

=15 .

cos

Действия над комплексными числами

Обозначим два числа

+iy

=|z |eiφ1=|z |(cosφ

+i sinφ

) ,

+iy

=|z |eiφ 2

=|z |(cosφ

+i sinφ

) .

1) Складывать комплексные числа можно только в алгебраи-

ческой форме:

z1+z2=(x1+x2)+i( y1+ y2) .

2) Умножение комплексных чисел выполняется в трех формах

числа. Далее чаще будет использоваться показательная форма произведения комплексных чисел как наиболее красивая. Тригонометрическая форма самая громоздкая из всех и наименее удобная.

а) В алгебраической форме умножение сводится к обычному умножению скобок (x1+iy1) и (x2 +iy2) с учетом определения мни-

мой единицы i2=−1 :

z1 z2=( x1 x2− y1 y2)+i( x2 y1+x1 y2) .

б) В показательной форме z1 z2=\|z1\|\|z2\|ei (φ1+φ2) ,		(5)
откуда следует, что	z ¯z=\|z\|2 .	(6)

3) Деление одного комплексного числа на другое также можно выполнять во всех формах числа (в тригонометрической форме это делать неудобно).

а) В алгебраической форме числитель и знаменатель дроби надо домножить на число, сопряженное к знаменателю, далее перемножить скобки в числителе и знаменателе, выделить в числителе действительную и мнимую часть числа:

z1	=	x1+iy1	=	(x1+iy1)( x2−iy2)	=	(x1 x2 + y1 y2)+i(x2 y1−x1 y2)	.
z2		x2+iy2		(x2+iy2)( x2−iy2)		x22+ y22

Видно, что в знаменателе применили формулу разности квадратов. Чтобы ее можно было применить и избавиться от мнимой части, нужно умножить на сопряженное комплексное число.

б) В показательной форме	z1	=	\|z1\|	ei(φ 1−φ2) .	(7)
	z2
		\|z2\|

4) Возведение комплексного числа в степень является умножением при одинаковых сомножителях. В показательной и тригонометрической формах степень комплексного числа будет иметь вид

zn=\|z\|n einφ =\|z\|n(cosn φ +isinn φ ) .	(8)
Если n невелико, то можно пользоваться формулами сокращен-
ного умножения для возведения в степень: (x+iy)2 , (x+iy)3	и т.д. При

достаточно больших n нужно использовать бином Ньютона.

Из пунктов 2), 3), 4) следует: при умножении комплексных чисел их аргументы складываются, при делении аргументы вычитаются.

5) Извлечение корня из комплексного числа проводится в показательной или тригонометрической формах. Если число задано в алгебраической форме, то сначала нужно перевести его в показательную (тригонометрическую) форму.

φ0+2k π

φ 0+2 k π

√z=√|z|e

=√|z|(cos

+i sin

(9)

где k=0 ,1 ,2 ,... ,n−1 , что дает ровно n корней. В формуле (9) корень из модуля числа подразумевается арифметическим ( без знака).

Пример 2. Найти √3 −8 . Обозначим w=√3 −8 . В школе сразу на-

ходили ответ √3 −8=−2 , но это было верно только в пространстве действительных чисел, а в пространстве комплексных чисел должно быть три корня. В этом примере один корень можно сразу увидеть, поскольку действительные числа есть частный случай комплексных.

Используем формулу (9): |w|=√3|−8|=√3 8=2 . Комплексное число (-8) находится на действительной оси OX , слева от ноля, на расстоянии восемь от начала координат. Чтобы попасть в эту точку, надо отложить от положительной части оси угол π , поэтому φ 0=π .

Ищем корень третьей степени, поэтому корней будет три, им соответ-

ствуют значения k=0,1,2

в формуле (9). Общая формула для корней

будет следующая:

i π +2 k π

=2(cos

π +2 k π

w=√−8=2 e

+i sin

При конкретных значениях k находим корни:

при k=0

w0=2(cos π3 +isin π3 )=1+i √

при k=1

w1=2(cos π +i sin π )=−2 ,

при k=2

w2=2(cos

5 π

+i sin

5 π

)=1−i √

Один корень действительный, а другие два являются комплексно сопряженными. Все три корня лежат на окружности радиуса два. Если их соединить прямыми, то получим правильный треугольник.

В общем случае для w=√n z все n корней принадлежат окруж-

ности радиуса R=√n |z| и образуют правильный n -угольник. Поэтому,

если знаем хотя бы один из корней , то остальные можно получить даже без формулы (9) геометрически, но при этом надо проверять,

правильно ли нашли угол φ 0 .

Замечание. Сравнивать комплексные числа нельзя, можно сравнивать их модули, т.е. действительные числа.

Пример 3. Представить в трех формах комплексные числа

а) z1=3 б) z2=−3 в) z3=3 i г) z4=−3 i .

Комплексное число нужно изображать на комплексной плоскости, чтобы не ошибиться при нахождении угла. Для данных чисел угол определяется сразу, без формул.

а) Число z1=3 находится в положительной части действительной оси, от нее начинают отсчитываться углы, поэтому φ =0 , |z1|=3 . Следовательно, z1=3 +0 i=3 ei0=3(cos 0+i sin 0) .

б) Число z2=−3 находится в отрицательной части действительной оси, поэтому φ =π , |z2|=3 . Тогда различные формы этого

числа будут z2=−3+0 i=3 eiπ =3(cos π +i sin π ) .

в) Число z3=3 i располагается на мнимой оси OY в положительной ее части на расстоянии три от начала координат. Поэтому

iπ

(

2 )

φ =π

|z |=3

, и число будет z

=0+3 i=3 e 2 =3

cos

i π

+i sin

i π

г) Число

z4=−3 i располагается на мнимой оси

в отрица-

тельной

ее части на расстоянии три от начала координат. Поэтому

i π

(

)

φ =−π

|z |=3 ,

=0−3 i=3 e− 2

cos(−

i π

)+i sin(−

)

Пример 4. Вычислить 1−3 i .

1+2i

1−3i

=(1−3i)(1−2 i)

=1−6+i(−3−2)=−1−i .

1+2i

(1+2i)(1−2i)

Для более быстрого счета при умножении скобок удобнее сразу выделять действительную часть, она получается как произведение действительных частей плюс произведение мнимых частей, взятое с об-

ратным знаком (учли i2=−1 ). В знаменателе дроби всегда получается действительное число, причем положительное, поскольку там сто-

ит разность квадратов, знак минус в ней меняется на плюс из-за того, что i2=−1 .

Пример 5. Вычислить i39 .		для in	. Получаем i1=i
Сначала выясним	закономерность			,
i2=−1 , i3=i2 i=−i ,	i4=(i2)2=1 ,	i5=i4 i=i , i6=i4 i2=−1 ,
i7=i4 i3=−i , i8=(i4)2=1	и т.д. Отсюда выводим		i4 k =1 , i4 k+1 =i	,

i4 k +2=−1 , i4 k +3=−i , k=0 ,1 ,2 ,3 , ... . Строго эти формулы доказываются методом математической индукции. По полученным формулам

i39=i4 9+3=−i , здесь k=9 .							−3 i)6 .
Пример 6. Вычислить				(√		3	−3 i)6 .
								e−	iπ					(e−	i π
(			−3 i)6=(						3	)6=(			)6		3	)6	=
(	√	3	−3 i)6=(		12				3	)6=(	√	12	)6		3	)6	=
	√			√							√

= 123 (cos2 π −i sin 2 π )=123=1728 . Комплексное число в степени может быть и действительным.

Пример 7. Вычислить устно √4 1 . Корни 1 ,−1 ,i,−i легко получаются. Они располагаются на осях, на единичном расстоянии от начала координат, и являются вершинами квадрата, вписанного в единичную окружность. Два действительных корня известны читателю еще со школы.

		4
		4
Пример 8. Вычислить √−1 .
Действительных корней здесь нет, воспользуемся поэтому общи-
ми формулами.																															−1=1 ei π ,
Поскольку \|−1\|=1 ,		φ 0=π , то число представится																													−1=1 ei π ,
	4		4		i π+2k π
откуда получаем, что	4		4				4				, k=0 ,1 ,2 ,3 .
откуда получаем, что	w=√−1=√1 e										, k=0 ,1 ,2 ,3 .
При k=0		w =cos π						+i sin π =								√	2		+i					√			2	,
При k=0		w =cos π						+i sin π =											+i									,
		0			4				4						2			2
					4				4						2			2
				3 π								3 π		=−						√					+i				√				,
при	k=1	w =cos		3 π					+i sin			3 π								√		2							√		2
при	k=1	w =cos							+i sin
		1			4				4									2												2
					4				4									2												2
при	k=2	w =cos				5 π				+i sin			5 π			=−					√		2			−i				√		2		,
при	k=2	w =cos								+i sin						=−										−i								,
		2			4				4									2												2
					4				4									2												2

1 / 111 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.08.2026571 Кб0О развитии революционных идей в России.pdf
#
09.08.2026470 Кб0О ремесле поэта. Проза и стихи.pdf
#
11.08.2026637 Кб0О русских поэтах. Критика.pdf
#
12.08.2026843 Кб0О свободе и рабстве человека. Опыт персоналистической философии.pdf
#
12.08.2026848 Кб0О сопротивлении злу силой.pdf
#
11.08.2026649 Кб0О теории функций комплексного переменного. Учебное пособие.pdf
#
12.08.2026815 Кб0О типологии музыкальных форм. Учебное пособие для студентов музыкальных вузов.pdf
#
09.08.2026120 Кб0О формировании групп однородной продукции для целей технического регулирования. Учебное пособие.pdf
#
11.08.2026609 Кб0О фотографии.pdf
#
09.08.2026443 Кб0О хороших, в сущности, людях.pdf
#
12.08.20261 Мб0О чем говорят анализы. Расшифровка без консультации врача.pdf