О теории функций комплексного переменного. Учебное пособие

каждом луче откладывается единичный отрезок. Если соединить эти четыре точки, то получим квадрат со сторонами, параллельными осям координат.

Пример 9. Какие линии или множества задаются условиями

√x2+( y−2)2=√( x+1)2+ y2 . Избавляемся от корней, возведя обе части равенства в квадрат, далее раскрываем скобки и приводим подобные: x2+ y2−4 y+4=x2 + y2+2 x+1 . После приведения подобных получаем

прямые, проходящие по диагоналям квадрата со стороной два с центром в начале координат. Стороны квадрата параллельны осям, а их длина есть полуось гиперболы. Если полуоси у гиперболы разные, то получится прямоугольник, и берутся диагонали прямоугольника. Ветви гиперболы пересекают ось OX в точках 2 и (-2) (эта ось определяется той переменной, квадрат которой стоит со знаком плюс в уравнении гиперболы).

11

§2. Основные функции комплексного переменного 1. Определение функции комплексного переменного

Определение. Говорят, что на множестве D XOY задана функция w=f (z) комплексного переменного z , если задан закон, по которому любому значению z D соответствует одно или несколько значений w G .

Отличие от определения функции действительной переменной заключается в том, что может быть не только одно, но и множество значений функции в точке. Ниже будут рассмотрены также и

комплексного переменного нет мнимой единицы, это действительная функция).

Для функции комплексного переменного все основные понятия математического анализа (предел последовательности, предел функции, непрерывность, ряд) остаются справедливыми при замене действительной переменной x на комплексное переменное z , но при обобщении понятия окрестности точки.

12

Определение. δ -окрестностью точки z0 называется внутренность круга радиуса R=δ и выколотым центром в точке z0 , т.е. множество точек, удовлетворяющих неравенству 0<|z−z0|<δ .

Уравнение |z−z0|=R есть уравнение окружности с центром в точке z0 радиуса R . В определении δ -окрестности правое

неравенство строгое, граница круга не входит в окрестность и обозначается на рисунке пунктирной линией. При R→∞ получаем бесконечно удаленную точку. Это внешность круга сколь угодно большого радиуса. В теории функций комплексного переменного бесконечно удаленная точка считается единственной, в отличие от геометрии и математического анализа, где имеется +∞ и (-∞) на одной или нескольких осях.

Рассмотрим основные функции комплексного переменного.

2. Функция w=ez

Экспоненциальная функция определяется как сумма степенного

ряда

Такие выражения нередко встречаются в задачах, и их следует помнить.

5) |eiφ|=1 , где φ есть действительное число.

13

Формулы для косинуса и синуса нужно знать либо уметь выводить.

Свойства функций w=sin z ,w=cos z :

1) Эти функции являются периодическими, т.е. верны равенства sin(z+2 k π )=sin z , cos(z+2 k π )=cos z .

Покажем, например, это для функции w=cos z .

Второе равенство получается из свойств экспоненты.

2) По модулю синус и косинус могут быть больше единицы, поскольку определяются через экспоненты. В этом проявляется их отличие от привычных «школьных» тригонометрических функций. Например, вычислим значение cosi . По определению имеем

cosi=12 (ei i+e−i i)=12 (e−1+e1)>1 , т.к. e=2,718281828... .

3) Связь с гиперболическими функциями. Гиперболические функции определяются :

Из определения тригонометрических и гиперболических функций можно получить соотношения, выражающие их связь:

sin z=−i shiz , sin i z=i sh z , cos z=chiz , cosiz=ch z .

14

Эти равенства запоминать не нужно. При решении задач следует в ответе добиться того, чтобы аргумент функции не был комплексным (мнимым), вычисление функции комплексного переменного является отдельной задачей.

4) Вычисление тригонометрических функций.

Принцип вычисления тригонометрических функций покажем, например, для функции синус.

sin z= 21i (eiz−e−iz )=21i (ei (x+iy)−e−i (x+iy ))=

=21i (e−y (cos x+i sin x)−ey (cos x −i sin x)) =

=sin x 12 (e y +e− y )−i cos x 12 (ey +e−y )=sin x ch y +icos x sh y .

Здесь учтено соотношение 1i =−i , выделены действительная

Resin z и мнимая Imsin z части функции. Аналогично поступают с остальными функциями, тригонометрическими и гиперболическими, и получают следующие формулы:

sin z=sin x ch y+i cos x sh y

ch z=ch x cos y +i sh x sin y .

Запоминать формулы (4) не нужно, но следует уметь выводить

их из определения, т.е. через функцию ez . Если внимательно посмотреть на формулы (4), то можно заметить аналогию с тригонометрическими формулами вида sin(x+ y) и др.

5) Справедливы обычные тригонометрические формулы, извест-

Вывести такие формулы можно, записав определения всех функций в обеих частях равенств и сделав некоторые преобразования. Например, синус, косинус и синус двойного угла определяются через экспоненты.

15

4. Функция w=Lnz

Запись этой функции ( как и некоторых других, о них речь пойдет дальше) с большой буквы является верной. Если же записать w=ln z , то смысл записи будет уже другим.

Найдем для функции w=Lnz=u+iv действительную и мнимую части, т.е. u=ReLn z ,v=ImLn z .

Из определения логарифма получаем

второго пункта, а модуль положительного числа есть само это число. Итак,

действительной величины |z| (записывается привычным образом, с

являющееся однозначной функцией.

Пример 1. Lni=ln|i|+i (π2 +2 k π )=ln 1+i (π2 +2 k π )=i( π2 +2 k π ) . Главное значение Lni есть lni=i π2 .

16

5. Функция az

Показательная функция определяется как az=ez Lna , где z и a есть комплексные числа. Эта функция также бесконечнозначная, потому что определяется через бесконечнозначный логарифм.

Пример 2. Вычислить ii .

17

Arcctg z=−2i Ln zz−+ii .

Замечания по поводу этих формул будут даны после пункта семь.

7. Обратные гиперболические функции

Вывод этих формул аналогичен тому, что проделан в предыдущем пункте для обратных тригонометрических функций.

ми. Обратные тригонометрические и гиперболические функции выра-

жаются через бесконечнозначную функцию Ln z ( az выражается через Lna ) и являются бесконечнозначными (их обозначение начинает-

ся с заглавной буквы). Многозначной является функция w=√n z . Таким образом, основные функции, которые следует знать, – это ez и

Ln z .

8.Примеры вычисления функций комплексного переменного

Из теоретической части параграфа составим таблицу, которой можно пользоваться на практике, а на контрольной работе и коллоквиуме – только для самопроверки. Все решения должны быть с подробными выводами, верный ответ без решения не засчитывается. Таблица пишется студентом самостоятельно вручную.

18

9)cos z=12 (eiz +e−iz )=cos x ch y−i sin x sh y

10)sh z= 12 (e z−e−z)=sh x cos y+i ch x sin y

11)ch z=12 (ez +e−z )=ch x cos y+i sh x sin y

Ответ: Rew=(e2 cos3) , Imw=−e2 sin 3 .

Замечание. Такой ответ может быть непривычен, поскольку угол обычно записывался с использованием π . Вспомним, что π ≈3,14 ,

19

рой координатной четверти. По формуле из первого параграфа аргумент для него есть φ 0=π +arctg −73 =π −arctg 73 . Модуль этого числа

|−3+7 i|=√(−3)2+72=√58 . Следовательно, логарифм вычисляется

Ln(−3+7 i)=ln√58+i(π −arctg 73 +2 k π )=12 ln 58+i(−arctg 73 +π +2 k π )

при целых значениях k .

Ответ: Rew=12 ln 58 , Imw=−arctg 73 +π +2 k π . k =0 , 1 , 2 , ...

Значения k нужно указывать, чтобы было видно, что функция бесконечнозначная.

Пример 5. Вычислить 34+i .

Можно решать разными способами: 1) по общей формуле

az=ez Ln a

2) сначала использовать школьные знания, а потом уже применить новые формулы (самостоятельно сравните эти два способа).

Более простой второй способ приводим.

34+i=34 3i=81 ei Ln 3=81ei(ln 3+i 2k π )=81e−2 k π ei ln 3 =

= 81e−2k π (cosln 3+i sin ln3 ) .

Последнее равенство получено по формуле Эйлера, k=0 , 1 , 2 ,... .

второй четверти, число z2 лежит в третьей четверти.

Ответ: z1=Ln(−1+3 i)=ln √10+i(−arctg 3+π +2 k π ) ,

z2=Ln(−1−3 i)=ln √10+i (arctg 3−π +2 k π ) , k =0 , 1 , 2 , ...

Пример 7. Вычислить ch(z+5) .

По определению гиперболического косинуса имеем

20