О теории функций комплексного переменного. Учебное пособие

§8. Интегральная формула Коши

Теорема. Пусть функция

f (z) аналитическая в односвязной

области D и на ее границе

Γ . Тогда для любой точки

z0 D

справедлива интегральная формула Коши

f (z)dz

=2 π i f ( z0) .

(1)

(Γ) z−z0

равен значению функции в точке

1

f (z)dz

=f ( z0) .

2 π i (Γ)

z−z0

Доказательство. Проведем окружность

γ

малого радиуса

ρ

с центром в точке z0

так, что круг

|z−z0| ρ D . По следствию из

теоремы Коши интеграл не зависит от выбора контура

Γ , поэтому

заменим в интеграле

Γ

на

γ . В числителе вычтем и прибавим

значение

f (z0)

и

представим

интеграл

в

виде

суммы двух

интегралов:

f (z)dz

f (z)dz =

(f (z)−f (z0))dz +

f (z0)dz .

=

z−z0

z−z0

z−z0

z−z0

(Γ)

(γ )

(γ )

(γ )

Обозначим первое слагаемое через

I1 , а во втором слагаемом

вынесем за знак интеграла константу

f (z0) . Интеграл без

этой

константы обозначим через I2 .

Покажем, что

I1=0

при

ρ→0 . По свойству модуля интеграла

имеем

(f ( z)−f (z0))dz

(f (z)−f (z0))

ε

|dz|<

2 π ρ=2 π ε .

z−z0

z−z0

ρ

(γ )

|

(γ )|

|

|

Поскольку

f (z) есть аналитичная в области D

функция, то

она

непрерывна

в этой области и также непрерывна

в точке z0 ,

т.е.

γ :|z−z0|=ρ

радиуса

ρ есть

|dz|=2 π ρ . Переходим к пределу и

ρlim→0 |(γ )

(f (z)−f (z

))dz

|=0 .

получаем, что

0

z−z0

Интеграл I2

уже вычислен ранее в пятом параграфе и состав-

ляет

dz

=2π i

для окружностей с любым радиусом. Таким об-

z−z0

(γ )

разом, интегральная формула Коши получена.

f (z)

Замечание. 1) Если точка

z0 D , то функция

является

z−z0

аналитической в области

D , и по теореме Коши

f (z)dz

=0 .

(Γ)

z−z0

(Γ)

f (z)dz

={2 π i0f ,(zz00),Dz0 D} .

(2)

z−z0

Следствие.

f (z)dz

} .

(Γ)

2 π i f ' (z0), z0

D

(z−z0)2 ={

0 , z0 D

(3)

Аналогично получается формула (вывод будет ниже)

f (z)dz

f '' (z

)

}

= 2 π i

0

, z0 D

.

(4)

2 !

3

(Γ) (z−z0)

{

0 , z0 D

f ( z) dz

f (n)(z

)

= 2 π i

0

, z0 D .

(5)

n!

n+1

(Γ) (z−z0)

{

0 , z0 D

}

Формула (2) есть частный случай формулы (5) при

n=0 .

Приведем теперь вывод формулы (3).

f

f (z0 +Δ z)−f (z0)

1 1

f (ξ )

f (ξ )

=

=

(Γ)

(

−

)dz =

z

z

z

2 π i

ξ −(z0+Δz)

ξ −z0

=

1

1

(Γ)

f (ξ )Δ z d ξ

.

z

2 π i

(ξ −(z0 +Δ z))(ξ −z0)

Второе

равенство

здесь

получено по

формуле

(2). Разность

дробей. Сокращаем последнюю дробь на

z и получаем выражение

f

1

(Γ)

f (ξ )dξ

=

. Переходя к пределу при

z→0 и

z

2 π i

(ξ −( z0+Δ z))(ξ −z0)

заменяя ξ на

z , получаем формулу

f ' (z0)=

1

f (z) dz

, что и

2

2 π i (Γ) ( z−z0)

Пример 2. Вычислить интеграл I=

coszdz .

|z|=3

z(z−2)

области

D . Точка z1=2 принадлежит области

D1

с границей L1 ,

точка

z2=0 принадлежит области D2

с границей

L2 . Тогда иско-

мый интеграл выразится как

I=

coszdz

= coszdz

+ coszdz =I1 +I2 .

|z|=3

z(z−2)

L1 z(z−2)

L1 z (z−2)

Чтобы применить интегральную формулу Коши, надо перепи-

сать подынтегральные функции в интегралах I1

и

I2 так, чтобы в

cosz dz

|z=2

=cos 2 2 π i=π icos2 .

I1= coszdz

=

z

=2 π i cosz

z−2

L1 z( z−2)

L1

z

2

cosz dz

I2= coszdz =

z−2

=2 π i cosz

= cos0

2 π i=−π i .

L2 z(z−2)

L2

z

z−2|z=0

0−2

Итого, I=π i (cos 2−1) .

Решение задач

Пример 1. Вычислить

I=

eiz dz

, где контур

C :|z−i|=1 .

2

(C ) z +1

особые точки. Получаем

I=(C )

eiz dz

, внутри области находится

(z+i)( z−i)

одна особая точка z0=i

. Преобразуем теперь функцию так, чтобы в

знаменателе осталась одна особая точка

z0=i

и вычисляем интеграл.

eiz

eiz

ei i

z+i

−1

I=(C )

dz=2 π i

|z=i=2 π i

=π e

.

z−i

z+i

i+i

Пример 2. Вычислить

I= chzdz3 .

|z|=1

z

Единственная особая точка здесь

z0=0 D . По формуле (4)

находим для

функции

f (z)=chz

интеграл

с учетом того, что

(chz)' '=chz

: I= chzdz3 =2 π i (chz)' '

=

2 π i ch0=π i .

|z|=1

z

2!

|z=0

2 !

Пример 3. Вычислить интегралы

Ii=

ez dz

по контурам

2

(Ci) (z−2 i) z

Ci : C1 :|z−2|=1 /2 ,

C2 :|z|=1/3 ,

C3 :|z−(1/2+2 i)|=1 , C4 :|z−i|=4 .

Контур

C4

самый

большой из имеющихся,

внутри него

не пересекаются). Обозначим образуемую им область через

D , а

остальные области

D1 , D2 , D3 в соответствии с номерами контуров. В

области

D есть две особые точки z1=0

и

z2=2i .

1)

C1 :|z−2|=1 /2 есть уравнение окружности с центром в точке

(2,0)

радиуса

R1=1/2 . Внутри контура

C1 нет особых точек,

функция аналитическая, и по теореме Коши

I1=0 .

2)

C2 :|z|=1/3

есть уравнение окружности с центром в точке

(0,0 )

радиуса

R2=1/3 . Внутри контура

C2 находится особая точка

z1=0 .

Чтобы

применить интегральную

формулу Коши,

нужно

ez

I2=

ez dz

=

( z−2 i)2

dz=2 π i

ez

=

2

z

2

(C 2) (z−2 i) z

(C2)

(z−2i) |z=0

= 2 π i

e0

=−

π i

.

(0−2 i)2

ez

2

Функция f

(z)=

аналитическая в области

D2 .

(z−2i)

2

3) C3 :|z−(1/2+2 i)|=1

есть уравнение окружности с центром в

точке (1 /2 ,2) радиуса

R3=1 . Внутри этого контура находится одна

особая точка

z2=2i . Вычисляем интеграл, используя формулу (3):

ez dz

ez

ez '

ez z−ez

I3=

=

z

dz=2 π i

=2 π i

=

2

z

2

z

2

(C

) (z−2 i)

(C

)

(z−2 i)

(z ) z=2i

|z=2 i

3

3

e2 i(2 i−1)

|

= 2 π i

=

π (2+i)

e

2 i

.

−4

2

I = π

Ответ

преобразуем

к

виду

(2+i)(cos 2+isin 2) ,

3

2

4)

C4 :|z−i|=4 есть уравнение окружности с центром в точке

(0,1)

радиуса

R4=4 .

По

следствию из

теоремы Коши для

многосвязной области I4=I1

+I2

+I 3=0− π i + π (2+i) (cos2+isin 2) .

2

2

Пример 4. Вычислить

I=(Γ)

( z+1)dz

, Γ:|z−2i|=3 .

(z−4)(z+2 i)

частичных сумм

S (z)=lim Sn (z) . Вспомним определение

lim Sn (z)

n→∞

n→∞

на языке ε−δ

(на языке Коши):

( или

S (z)=lim Sn (z): ε >0 N=N (ε ) n>N |S(z)−Sn(z)|<ε

n→∞

|Rn(z)|<ε ).

Вообще говоря, номер

N=N (z) . Если

N не зависит от

z в

области D , то ряд называется равномерно сходящимся в области

D .

Справедлива теорема Вейерштрасса.

∞

Пусть задан

функциональный ряд

∑un(z) в

замкнутой

∞

n=1

области D . Если

|un (z)| an

и ∑ an – сходящийся числовой ряд,

∞

n=1

то в области D ряд

∑un( z)

сходится равномерно.

n=1

что и для функции f (x)

действительной переменной (с заменой x на

z ). Основное отличие только в определении

δ -окрестности точки,

поскольку для точки x0

это интервал, а для

z0 это внутренность

круга (определение дано во втором параграфе).

∞

Степенные ряды имеют вид c0+c1 z+c2 z2

+...+cn zn+...=∑ cn zn

либо

n=0

∞

c0+c1(z−z0 )+c2 (z−z0)2

+...+cn (z−z0)n +...=∑ cn( z−z0)n (эти

формы

∞

I. Пусть степенной ряд ∑ cn zn

сходится в точке z1

. Тогда:

n=0

∞

1)

ряд сходится абсолютно в круге

|z|<|z1| , т.е. сходится

∑|cn zn|

2)

ряд сходится равномерно во всяком круге |z|<ρ <|z1| .

n=0

∞

расходится всюду, кроме точки

z=0 , т.к. ∑ cn zn=c0 при z=0 .

n=0

2) Область сходимости степенного ряда – внутренность круга

|z−z0|<R , радиус которого

R называется радиусом сходимости и

вычисляется:

Ряд f (z0)+f ' (z0)(z−z0)+...+ f

(n)

(n)

(z0)(z−z0)n ,

( z0)(z−z0)n+...=∑ f

∞

n!

n=0

n!

т.е. степенной ряд с коэффициентами

cn=

f (n)(z0)

называется рядом

n!

∞

этом круге рядом Тейлора

f (z)=∑ cn(z−z0)n , где

f (n)(z0)

n=0

1

f ( z)dz

cn=

=

.

(1)

n!

2

n+1

π i (Γ)

( z−z0)

cn=

f (n)(z0)

известна в курсе математического анализа для функции

n!