Задачи с решениями по термодинамике и статистической физике (микроканоническое распределение). Учебное пособие

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет естественных наук

Кафедра общей физики

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИ им. акад. С. А. Христиановича СО РАН

В. П. Замураев, А. П. Калинина

ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ ПО ТЕРМОДИНАМИКЕ И СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ

(микроканоническое распределение)

Учебное пособие

Новосибирск

2016

УДК 536.7 ББК В36я73-1

З 266

Рецензент д-р физ.-мат. наук С. С. Кацнельсон

Издание подготовлено в рамках реализации Программы развития государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Новосибирский государственный университет» на 2009–2018 годы.

Учебное пособие рекомендовано к изданию ученым советом ИТПМ СО РАН.

Замураев, В. П.

З 266 Задачи с решениями по термодинамике и статистической физике (микроканоническое распределение) : учеб. пособие / В. П. Замураев, А. П Калинина ; Новосиб. гос. ун-т. – Новосибирск: ИПЦ НГУ, 2016. – 83 с.

ISBN 978-5-4437-0561-3

В учебном пособии изложены алгоритмы решения задач контрольных работ по физике (раздел «термодинамика и статистическая физика»), проведенных на третьем курсе факультета естественных наук НГУ у химиков, в течение ряда лет.

Предназначено для преподавателей и студентов вузов.

УДК 536.7 ББК В36я73-1

Новосибирский государственный

университет, 2016

ISBN 978-5-4437-0561-3 В. П. Замураев, А. П. Калинина, 2016

2

МИКРОКАНОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Термодинамика рассматривает системы, состоящие из очень большого числа частиц, например, один моль вещества содержит 6·1023 молекул. Можно описать поведение одной частицы решая уравнение Ньютона (классическая механика) или уравнение Шредингера (квантовая механика), но практически невозможно решить эту задачу даже для системы, состоящей из сотен частиц. Основная идея термодинамического подхода заключается в описании систем со многими степенями свободы с помощью нескольких измеряемых параметров, как например: плотность, давление, объем, температура и т. д. Заданное таким образом термодинамическое состояние называется макроскопическим. Если мы описываем систему, задавая все ее динамические переменные, то соответствующее состояние называется микроскопическим. Уравнения классической и квантовой механики инвариантны при обращении времени. Процессы, происходящие с макроскопическими системами, обычно являются необратимыми.

Основная идея статистической механики: все макроскопические параметры, наблюдаемые при измерении, представляют собой результат усреднения по соответствующим микроскопическим состояниям. Корректное усреднение требует статистических предположений о распределении микроскопических состояний. Задача статистической механики состоит в определении подходящего метода усреднения и теоретическом вычислении макроскопических параметров. Задача термодинамики состоит в выводе физических законов из данных экспериментов без учета атомно-молекулярной структуры объектов.

В формулировке основного постулата статистической термодинамики используется понятие стационарного состояния. Стационарное квантовое состояние физической системы с заданной энергией – это состояние, при котором все наблюдаемые физические свойства системы не зависят явно от времени. Тогда естественно считать, что вероятность обнаружить частицу системы в любом элементе объема не зависит от времени. Система может состоять как из одной частицы, так и из многих частиц. Обычно приходится иметь дело с состояниями системы многих частиц.

3

Каждое квантовое стационарное состояние обладает определенной энергией, но может оказаться, что одинаковую или почти одинаковую энергию имеют несколько состояний.

Вырождение энергетического уровня определяется как число квантовых состояний, обладающих либо заданной энергией, либо энергией, лежащей в узком интервале.

Рассмотрим квантовые состояния и энергетические уровни самой простой атомной системы, атома водорода, который состоит из одного протона и одного электрона. Квантовые состояния водородного атома связаны с взаимным движением электрона и протона. Основному уровню энергии соответствует одно квантовое состояние атома (без учета спина электрона), первому возбужденному состоянию – четыре аналогичных состояния, второму возбужденному – 9 и т. д. Учет спина электрона приводит к тонкому расщеплению уровней. В случае систем, состоящих из большого числа частиц, одинаковую или почти одинаковую энергию имеют большое число состояний. Для квантовой системы число состояний W с заданной энергией – это степень вырождения соответствующего уровня энергии.

Рассмотрим квазиклассическую систему с f степенями свободы. Пусть (q1, q2, ....., qf) – ее обобщенные координаты, а (p1, p2, ....., pf) – соответствующие импульсы. Микроскопическое состояние системы определяется заданием значений (q1, q2, ....., qf, p1, p2, ....., pf). Пространство размерностью 2f с координатами (qi, pi) называется фазовым пространством системы. Число состояний такой системы дается выражением

/(2 ) f ,

где ΔΓ – фазовый объем, занимаемый системой с заданной энергией.

f

dpi dqi .

i 1

Интеграл берется с условием, что энергия системы постоянна и равна заданной; (2 ) f – объем фазового пространства,

4

отвечающий одному квантовому состоянию, для системы из N частиц (N >> 1) число степеней свободы f = 3N.

Основное предположение статистической термодинамики формулируется следующим образом: замкнутая система может находиться с равной вероятностью в любом допустимом стационарном квантовом состоянии. Замкнутая система определяется как система с постоянной энергией, постоянным числом частиц и постоянным объемом. Состояние считается допустимым, если оно совместимо с характеристиками системы. Это означает, что энергия такого состояния должна лежать в пределах возможного изменения энергии системы, а число частиц в данном состоянии должно равняться числу частиц, характеризующему систему. Иногда система может обладать такими необычными свойствами, что некоторые квантовые состояния становятся недопустимыми в течение времени рассмотрения данной системы. Состояния, при которых SiO2 имеет кристаллическую форму, недопустимы при низких температурах, если вначале мы имели стеклообразную форму: в опытах при низких температурах такое вещество не превратится в кварц в течение всей нашей жизни. Здравый смысл позволяет определить большинство ситуаций такого типа. Одним словом, мы будем считать все квантовые состояния допустимыми, если они не исключаются ни самим определением системы, ни выбранным временным масштабом.

Для квазиклассической системы каждая точка фазового пространства соответствует микроскопическому состоянию, эволюция которого задает непрерывную кривую в фазовом пространстве (Дж. Гиббс, 1902). Если задан гамильтониан системы H (q, p), ее эволюция в фазовом пространстве вдоль фазовой

траектории полностью определяется каноническими уравнениями движения

Следовательно, фазовая траектория принадлежит поверхности постоянной энергии.

5

μ-пространство определяется как микроскопическое фазовое пространство одной частицы (атома, молекулы). Это 6-мерное пространство координат и импульсов. Макроскопическое фазовое пространство всей системы (Γ-пространство) является суммой всех μ-пространств. Это 6N-мерное пространство координат и импульсов. Набор всех возможных микроскопических состояний представляет собой непрерывное множество фазовых точек, каждая из которых может двигаться по своей фазовой траектории. Общая картина эволюции описывается функцией распределения ρ(q, p; t),

которая в произвольный момент времени t задает число фазовых точек в элементе объема dqdp около точки фазового пространства

q, p как ρ(q, p; t)dqdp. В стационарном случае функция распределения не зависит явно от времени и имеет вид ρ(q, p).

Вместо временной серии наблюдений и измерений макроскопических параметров замкнутой системы можно провести одно измерение состояния набора систем, идентичных данной системе по макроскопическим параметрам. Такой набор называется статистическим ансамблем. Каждая система из ансамбля является точной копией реальной системы в одном из ее допустимых квантовых состояний. Если имеется Ω допустимых состояний, то ансамбль содержит Ω систем. В подходе Гиббса средние по времени значения физических величин одной единственной системы заменяются средними по всем системам в ансамбле. При этом функция распределения ρ(q, p) определяет, каким образом

входящие в ансамбль элементы распределены по всем возможным состояниям в любой момент времени. Это эргодическая гипотеза. Она говорит, что за длительные периоды времени время, проведенное частицей в некоторой области фазового пространства микросостояний с той же самой энергией, пропорционально объему этой области, т. е. что все доступные микросостояния равновероятны за длительный период времени.

Микроканонический ансамбль – статистический ансамбль макроскопической изолированной системы с постоянными значениями объема V, числа частиц N и энергии E. Понятие микроканонического ансамбля является идеализацией, так как в действительности полностью изолированных систем не существует. В микроканоническом распределении Гиббса все микроскопические

6

состояния, отвечающие данной энергии, равновероятны согласно эргодической гипотезе. Функция распределения частиц по координатам и импульсам равномерная и отличная от нуля лишь на фазовой поверхности H (q, p) E :

ρ(q, p) W 1δ(H (q, p) E),

где δ – дельта-функция Дирака. Постоянная W имеет смысл плотности состояний на поверхности постоянной энергии в фазовом пространстве и называется статистическим весом, определяется из условия нормировки (суммарная вероятность пребывания системы во всех состояниях равна единице). Следовательно,

Эта величина зависит от энергии E, числа частиц N и объема V системы. Здесь dГ – элемент фазового объема. Множитель N! связан с неразличимостью частиц.

В квантовых системах энергия определяется с точностью до E, что обусловлено соотношением неопределенности. При этом можно рассматривать ансамбль полностью изолированных систем, когда E/E → 0. Равномерное распределение вероятностей w(Ek) квантовых состояний с энергиями Ek в слое (E, E + E) имеет аналогичный вышеописанному вид:

W1 , E Ei E E, w(Ei )

0,

и нормировка при этом дискретна: w(Ei ) 1.

i

7

Термодинамические потенциалы, а с ними и вся термодинамика микроканонического ансамбля строится из энтропии, напрямую связанной со статистическим весом формулой Больцмана:

S(E,N,V) = k·lnW(E, N, V),

где k – постоянная Больцмана.

Задачи

1.Определить и изобразить фазовую траекторию для движения тела массой m, находящегося в гравитационном поле тела большой массы M (m << M). Начальное расстояние между центрами тел равно r0, малое тело первоначально покоилось.

2.Определить и начертить фазовую траекторию для затухающего гармонического осциллятора.

3.Рассчитать и начертить фазовую траекторию для частицы массой m в потенциальной яме:

U (x 0) , U (x 0) ax.

4. В одномерной потенциальной яме U (x) x находится частица, кинетическая энергия которой связана с импульсом соотношением T c p . Найти плотность состояний частицы с заданной энергией E.

5. Найти число состояний частицы массой m с энергией меньшей E0 при одномерном движении в потенциале

6.Для частицы массой m в одномерном ящике длиной L найти плотность состояний.

7.Для одиночной частицы массой m, находящейся в кубе с длиной ребра L, найти плотность состояний.

8.Как изменится число допустимых состояний идеального газа

из N молекул при свободном расширении его от объема V1 до V2? Какова вероятность, что молекулы самопроизвольно соберутся вновь в объеме V1?

9.Идеальный газ из N одинаковых молекул находится в сосуде объемом V. Определить вероятность того, что в некотором

заданном объеме V0 будет при этом находиться n молекул. Найти среднее значение n.

10.Для условий предыдущей задачи найти относительную

флуктуацию δn числа молекул n в заданном объеме V0. Объем всего сосуда V, полное число молекул N, газ идеальный. Оценить

величину δn, если объем V0 составляет половину всего объема, а

N = 1024.

11.Провести квантовомеханический расчет давления идеального

газа.

12.Некоторая макроскопическая система находится при комнатной температуре (T = 293К).

1.Каково процентное увеличение числа состояний, доступных такой системе, если ее энергия возрастет на 10–3 эВ?

2.Во сколько раз изменится число доступных состояний, если система поглотит единичный фотон с λ = 5000Å?

13.Для газа ультрарелятивистских частиц количество состояний

сэнергией E равно f(N)VNE3N, где N – число частиц, V – объем газа, f(N) – некоторая функция числа частиц. Получить термическое и калорическое уравнения состояния газа.

9

14.Для системы из N независимых спинов 1/2 найти число состояний и вероятность ориентации n спинов в некотором направлении, а остальных N – n в противоположном направлении.

15.Найти степень вырождения системы из N спинов 1/2 с суммарным спиновым избытком m.

16.Вычислить среднее и среднеквадратичное значения проекции магнитного момента системы на некоторое направление, если система состоит из N слабо взаимодействующих спинов 1/2, каждый из которых имеет магнитный момент µ. Внешнее магнитное поле отсутствует.

17.Система состоит из N слабо взаимодействующих спинов 1/2, каждый из которых имеет магнитный момент µ. Вычислить среднее значение полного магнитного момента M этой системы в направлении внешнего магнитного поля, среднеквадратичное значение момента, а также дисперсию (квадратичную флуктуацию) M, если спины с вероятностью p ориентированы по полю. Оценить

относительную флуктуацию величины M при p = 0,51 для полного числа спинов N = 100 и 1024.

18.Показать, что для большой системы спинов (N >> 1) функция распределения спинов g(N, m) по спиновому избытку m имеет резкий максимум при m = 0.

19.Две большие спиновые системы находятся в тепловом контакте. Показать, что в наиболее вероятном состоянии их относительные спиновые избытки равны между собой и равны относительному спиновому избытку полной системы. Исследовать остроту максимума.

20.Найти магнитный момент системы из N спинов, находящейся

втепловом равновесии при температуре T. Магнитная индукция внешнего поля B.

10