Задачи с решениями по термодинамике и статистической физике (микроканоническое распределение). Учебное пособие

21.Найти конечную температуру парамагнитной соли при

адиабатическом уменьшении напряженности магнитного поля от H1 = 104 Э до H2 = 100 Э, если начальная температура соли T1 = 1К.

22.Найти химический потенциал µ(T, H) системы спинов в магнитном поле. Определить распределение спинов в неоднородном магнитном поле, если каждый спин принадлежит отдельному атому идеального газа и обладает магнитным моментом µ0. Считать, что химический потенциал в отсутствие поля равен

μ(T,0) μ(0) kT ln n const,

где n – концентрация атомов газа.

23.В линейной полимерной цепи из N звеньев длиной ρ каждое отдельные звенья с равной вероятностью могут быть направлены как в одну сторону, так и в противоположную (углы между связями отдельных единиц равны либо 0°, либо 180°). Найти энтропию полимерной цепи и силу, которая приложена к цепи при ее длине l.

24.Изолированнаясистема, состоящаяизN слабовзаимодействующих спинов 1/2, находится в состоянии с суммарной проекцией на ось z, равной σ (σ << N). Определить изменение энтропии системы при уменьшении значения проекции на единицу.

25.Каждая из двух одинаковых систем состоит из N (N >> 1) спинов s = 1/2. Они находятся в равновесии с термостатом (следовательно, имеют нулевую суммарную проекцию спина на ось z). Во вторую систему добавили n спинов (n << N) s = 1/2, причем все они имели положительную проекцию спина на ось z. Через некоторое время в системе (в которую добавили спины) снова установилось равновесие. Чему равна разность энтропий второй и первой систем?

26.Система состоит из двух спинов s1 = 2 и s2 = 1/2. Найти энтропию системы и вероятность нахождения в состоянии с суммарным спином sz = 3/2.

11

27.Изолированная система состоит из трех

слабовзаимодействующих спинов s1 = s2 = 1, s3 = 1/2. Чему равна энтропия этой системы?

28.Система состоит из трех спинов s1 = 3/2, s2 = 1, s3 = 1/2. Найти энтропию системы.

29.Система, состоящая из десяти спинов (s = 1/2), помещена во внешнее магнитное поле B. Какое число состояний может иметь

система в интервале значений энергии от –2µ0B до –6µ0B, где µ0 – магнетон Бора? Какой процент от общего числа доступных состояний составляет данное число? Вычислить энтропию системы,

если E = –6µ0B.

30.Система из четырех спинов 1/2 с магнитным моментом µ0 находится в магнитном поле B и обладает энергией E = –2µ0B. Найти вероятность ориентации какого-либо конкретного спина этой системы по полю. Чему равно среднее значение магнитного момента системы?

31.В магнитное поле B помещены две системы: одна, состоящая

из трех спинов 1/2 с магнитным моментом µ0 каждый; другая – из двух спинов 1/2 с магнитным моментом 2µ0 также каждый. Энергия составной системы равна –3µ0B. Найти все доступные состояния и средний момент первой подсистемы.

32.Две системы А и А’, состоящие соответственно из трех

спинов 1/2 с магнитным моментом µ0 каждый и из двух спинов 1/2 с магнитным моментом 2µ0, помещены в магнитное поле B. Будучи первоначально разделенными, они обладали магнитным моментом:

первая – 3µ0B, вторая – –4µ0B. Между системами устанавливается тепловой контакт. Вычислить: а) вероятность w(M) того, что полный магнитный момент системы А примет любое из возможных значений M; б) среднее значение полного магнитного момента системы А.

33.Система А из одного спина 1/2 с магнитным моментом µ0 и система А’, содержащая три таких спина, находятся в магнитном

12

поле B. Первоначально магнитный момент системы А направлен по полю (она находится в состоянии +). У системы А’ два магнитных момента направлены по полю, а третий – против поля. Между системами устанавливается тепловой контакт. Вычислить полное число доступных состояний сложной системы А + А’, когда магнитный момент системы А направлен по полю и когда он направлен против поля. Найти отношение w–/w+, где w+ и w– – вероятности того, что спин направлен по полю и против поля соответственно. Систему А + А’ считать изолированной.

34.Система А из одного спина 1/2 с магнитным моментом µ0 и система А’, содержащая произвольно большое число N таких спинов, находятся в магнитном поле B. Первоначально спин системы А направлен по полю и n спинов системы А’ также направлены по полю, а остальные n’ = N – n спинов – против него. Между системами устанавливается тепловой контакт. Найти число доступных состояний сложной системы А + А’. Вычислить отношение

w+/w–, где w+ и w– – вероятности того, что магнитный момент системы А направлен по полю и против поля. Результат упростить для n, n’ >> 1. Найти изменение энтропии системы А + А’.

35.Обобщить предыдущую задачу на случай, когда магнитный

момент системы А равен 2µ0. Найти число доступных состояний сложной системы А + А’. Вычислить отношение w+/w–, где w+ и w– – вероятности того, что магнитный момент системы А направлен по полю и против поля. Результат упростить для n, n’ >> 1. Найти изменение энтропии системы А + А’.

36.Спин s = 1/2 с магнитным моментом µ0 помещен в магнитное поле B. Вероятности начальных ориентаций спина в поле 0,9 и 0,1. После подогрева они стали равны 0,6 и 0,4. Сколько теплоты поглощено? Чему равно изменение энтропии при изотермическом поглощении тепла при температуре T?

37.Молекула представляет собой три различных осциллятора с одинаковыми частотами. Энергия молекулы равна 3,5 ω. Какова

вероятность того, что один определенный осциллятор возбужден? Найти энтропию молекулы.

13

38. Имеется пять различимых, обменивающихся энергией одинаковых осцилляторов с частотой и энергией 8,5 ω. Какова

вероятность того, что первый осциллятор находится в основном состоянии?

39.Система состоит из четырех обменивающихся энергией различных осцилляторов с частотой . Энергия системы равна 8 ω. Найти энтропию системы.

40.Найти число доступных состояний системы из N невзаимодействующих квантовых осцилляторов с частотой ω и общей энергией E.

41.N слабо связанных осцилляторов с частотой (N >> 1) находятся в состоянии с энергией E 12 (N 4) ω. Определить

изменение энтропии при добавлении в систему еще трех невозбужденных осцилляторов и установлении равновесия.

42.Найти число доступных состояний системы из N одномерных невзаимодействующих гармонических осцилляторов в квазиклассическом приближении (ω – частота осцилляторов, E – энергия системы).

43.Система состоит из N одномерных и M двумерных слабо взаимодействующих гармонических осцилляторов с частотой ω. Полная энергия системы равна E. Найти ее энтропию и температуру.

44.Трехмерный квантовый осциллятор имеет следующие частоты колебаний: ωx = ωy = ω0, ωz = 2ω0. Вычислить энтропию

состояния с энергией 6 ω0 .

45. Система состоит из четырех линейных осцилляторов с частотой ω. Вначале суммарная энергия одной пары осцилляторов системы равна ω, а другой пары – 2 ω. При этом энергией могут

обмениваться только осцилляторы внутри пар. В какой-то момент времени начинается обмен энергией между всеми осцилляторами. На какую величину изменится энтропия системы при установлении

14

в ней равновесия? Осцилляторы различимы. Как изменится результат, если осцилляторы неразличимы?

46. Две системы, содержащие по два линейных осциллятора с частотой ω, обладают одинаковой энергией 2 ω. При этом в одной системе осцилляторы изолированы друг от друга, в другой – могут обмениваться энергией. В какой-то момент времени начинается теплообмен между системами. На какую величину изменится энтропия полной системы при установлении в ней равновесия? Осцилляторы различимы. Как изменится результат, если в первой из систем осцилляторы изначально могут обмениваться энергией?

47. Система из двух невзаимодействующих осцилляторов с частотой ω обладает энергией 2 ω. Другая подобная система также из двух осцилляторов с частотой ω обладает энергией 3 ω. Между системами установлен тепловой контакт. Найти изменение энтропии полной системы.

48. Система состоит из четырех осцилляторов с частотами ω, 3ω, 5ω и 7ω. Осцилляторы могут обмениваться энергией. Полная энергия системы равна 16 ω. Найти энтропию системы. Вычислить вероятность того, что осциллятор с частотой ω не возбужден.

49. Три слабо взаимодействующих осциллятора с частотами ω, 2ω и 3ω имеют суммарную энергию 9 ω. Найти вероятности того, что возбужден только осциллятор с частотой 3ω и того, что он не возбужден.

15

ОТВЕТЫ

x Aexp( λt) cos(ωt β),

2.

p mAexp( λt)(λcos(ωt β) ωsin(ωt β)).

7.ρ(E) dΩdE(E) 4πV2 3 (2m)3 / 2 E1/ 2 .

8.Ω2 = (V2/V1)NΩ1, w = Ω1/Ω2 = (V1/V2)N.

11.p 23 VN E, где E – средняя энергия одной частицы газа.

12.Число состояний увеличивается на 4 %. Ω1/Ω0 ≈ 3·1042.

13.pV NkT , E 3NkT.

20.M = Nµ2B/kT.

21.T2 = 0,01К.

17

24.S S2 S1 k 2σ2N 1.

25.S S( N n) / 2 S N / 2 kn ln 2.

27.S k ln18.

28.S k ln 24.

29. Ω Ω6,4 Ω7,3 Ω8,2 375, Ω/Ω0 37 %, S8,2 k ln 45.

30.w+ = 3/4, M 2μ0 .

31.w(3µ0) = 2/5 и w(–µ0) = 3/5, M 3μ0 52 ( μ0 ) 53 53 μ0 .

32.w(– 3µ0) = 1/7, w(µ0) = 6/7, w(3µ0) = w(–µ0) = 0, M 73 μ0 .

33.w–/w+ = 1/3.

18

47.S k ln 103 .

48.S k ln 6, wn1 0 16 .

49.wn1 n2 0,n3 2 17 , wn3 0 74 .

20