Задачи с решениями по термодинамике и статистической физике (микроканоническое распределение). Учебное пособие

Решения

1. Сила притяжения между телами действует вдоль линии, соединяющей центры масс. Из-за большой разницы в массах пренебрегаем влиянием взаимодействия на тело массой M, оно остается неподвижным. В то же время первоначально неподвижное тело массой m приходит в движение, оно перемещается вдоль линии центров. По закону сохранения энергии имеем

где p – импульс тела малой массы. Первое слагаемое в этом равенстве – кинетическая энергия тела, второе слагаемое – его потенциальная энергия. Первоначально тело обладало только потенциальной энергией. Закон сохранения энергии определят фазовую траекторию движения тела малой массы. Его можно преобразовать к виду

На рисунке показана фазовая траектория для тела массой m.

21

2. Для затухающего гармонического осциллятора уравнение движения имеет вид

mx kx αx

или

x 2λx ω02 x 0,

где ω0 – частота незатухающих колебаний; α/m = 2λ, λ – коэффициент затухания.

Решение ищется в виде

x exp(rt).

Величину r находим из характеристического уравнения

r 2 2λr ω02 0.

Его корни при λ < ω0 комплексно сопряженные:

Врезультате получаем

xAexp( λt) cos(ωt β).

Это решение при β = 0 показано на рис. 1 (кривая 1). Полученное решение описывает затухающие колебания; его можно рассматривать как периодические колебания с экспоненциально затухающей амплитудой. Оно лежит между двумя экспонентамиAexp( λt), штриховые линии на рис. 1.

Синусоидальный множитель имеет период T = 2π/ω. Расстояние между нулями функции x(t) равно половине периода. Вычисляем производные по времени:

x A exp( λt)(λcos(ωt β) ωsin(ωt β)).

22

Рис. 1

Экстремумы функции x(t) находятся из условия x 0, т. е.

tg(ωt β) λ/ω.

Они следуют через полпериода T/2. При этом максимумы и минимумы последовательно чередуются. В точках экстремума

x ω02 x. Таким образом, максимумы лежат при x > 0, минимумы –

при x < 0. Импульс осциллятора в точках экстремума равен нулю p mx 0.

Фазовая траектория на плоскости p, x определяется параметрическими уравнениями

x Aexp( λt) cos(ωt β),

p mx mAexp( λt)(λcos(ωt β) ωsin(ωt β)),

где время t – параметр. На рис. 2 показан вид соответствующей кривой.

23

Рис. 2

Фазовая траектория является спиралью, а начало координат – особая точка типа фокуса. Изображающая точка, представляющая движение осциллятора, перемещается по спирали в особую точку. Если исходное уравнение колебаний умножить на производную, то ему можно придать вид

времени от нее E убывающая функция. Поэтому спираль скручивается к фокусу. Максимумы x(t) убывают по геометрической прогрессии:

xn 1 / xn exp( T ) const.

Аналогично:

pn 1 / pn exp( T ).

Подробное исследование приведено в книге Г. С. Горелика (Горелик Г. С. Колебания и волны. 1959).

3. Частица массой m, находясь в потенциальной яме, обладает кинетической энергией и потенциальной энергией. Пусть E – полная энергия частицы. Имеем

24

p2 ax E. 2m

Это уравнение фазовой траектории. Ее вид показан на рисунке.

В точках (x 0, p 2mE ) происходит изменение направления движения частицы на противоположное.

4. Для частицы, находящейся в потенциальной яме, сумма кинетической T и потенциальной U энергии по закону сохранения имеет постоянное, заданное значение E:

T U E.

Подстановка сюда выражений для T и U дает уравнение фазовой траектории:

c p x E.

На p,x-диаграмме это ромб. Объем фазового пространства Γ для состояний с энергией меньшей или равной E в данном случае – это площадь ромба:

dpdx 2Ec2 .

25

Объем рассматриваемого фазового пространства, отвечающий одному квантовому состоянию, равен 2 . Тогда число состояний с энергией в пределах от нуля до E определяется формулой

Плотность состояний частицы с заданной энергией E равна

W 2E .

E π c

Для частицы в рассматриваемой одномерной потенциальной яме плотность состояний с энергией E пропорциональна величине E.

5. Фазовая траектория частицы массой m и энергией, равной E0, при одномерном движении в рассматриваемом потенциале получена в задаче 3 и приведена на рисунке.

26

Объем фазового пространства этой частицы при энергии, меньшей E0, – это площадь, ограниченная фазовой траекторией. Эта площадь равна

Ей соответствует число состояний

6. Рассмотрим частицу массой m, свободно перемещающуюся в одномерном ящике длиной L. Свободное перемещение означает, что на частицу не действуют никакие силы и ее потенциальная энергия равна нулю, частица обладает только кинетической энергией. Квантовая механика дает для этой энергии частицы следующее выражение:

E π2 2 n2 ,

2m L2

где n – квантовые числа, принимающие любые целые значения:

n 1, 2, 3, ....

27

Все возможные квантовые состояния частицы в ящике могут быть заданы указанием возможных значений квантового числа n. Уровни энергии частицы невырожденные. На оси координат n состоянию частицы с определенным значением энергии соответствует точка. Точки располагаются через единичный интервал. Говорить о плотности состояний имеет смысл только при n >> 1. Из формулы для энергии частицы следует, что расстояние между соседними ее уровнями энергии очень мало, если длина ящика L имеет макроскопический размер. Наименьшее из возможных значений энергии частицы отвечает значению n = 1 (основное состояние). Наименьшее значение энергии отлично от нуля, что находится в согласии с принципом неопределенности Гейзенберга x p .

Действительно, положение частицы в ящике ограничено его размером L. Тогда в соответствии с этим принципом минимальное возможное значение импульса имеет порядок p / L. Поэтому

минимальное возможное значение энергии частицы в ящике порядка

Из формулы для энергии частицы найдем величину n для определенного значения E:

n πL (2mE)1/ 2 .

Так как уровни энергии частицы в ящике невырожденные, то полное число квантовых состояний Ω(E), энергия которых меньше или равна E, просто равно n:

(E) n πL (2mE)1/ 2 .

Тогда число доступных состояний в интервале энергии δE << E получается дифференцированием:

28

По определению плотность состояний – это число состояний, приходящихся на единичный интервал значений энергии, т. е. коэффициент перед δE в выражении для dΩ(E). Таким образом, плотность состояний частицы, находящейся в одномерном ящике и обладающей энергией E, равна

7.Обобщение предыдущей задачи на случай свободной частицы

вкубическом объеме не представляет затруднений. Частица, не испытывая действия сил, обладает только кинетической энергией. Согласно квантовомеханическим представлениям энергия частицы

втрехмерном ящике равна

В рассматриваемом случае ящик имеет форму куба, размеры его ребер одинаковы: Lx = Ly = Lz = L. Поэтому выражение для энергии частицы имеет вид

E 2πmL2 22 nx2 n2y nz2 .

Квантовые числа принимают любые целые значения:

nx , ny , nz 1, 2, 3, ....

В координатном пространстве nx , ny , nz квантовым состояниям

частицы соответствуют точки с расстоянием между ними вдоль осей, равным единице. Точки располагаются в 1/8 части

координатного пространства (при nx , ny , nz 0 ), напоминая

29

кристаллическую решетку твердых тел с кубической структурой. Узлы решетки соответствуют состояниям частицы, одному состоянию отвечает кубическая ячейка решетки. Для низких уровней энергии таких ячеек немного, и говорить о плотности состояний лишено смысла. Для высоких уровней можно выбрать узкий интервал энергии δE << E, которому соответствует большое число квантовых состояний δn >> 1. В этом случае вполне возможно употреблять понятие плотности состояний. Объем части

координатного пространства (при nx , ny , nz 0 ), содержащий все

состояния частицы с энергией, не превосходящей E, ограничен поверхностью, близкой к сферической с радиусом, приближенно равным

Доступные состояния с энергией, меньшей E, лежат внутри октанта сферы радиусом n; число их равно количеству единичных кубиков внутри указанного октанта (при положительных

nx , ny , nz 0 ):

Для плотности состояний получаем выражение

ρ(E) dΩdE(E) 4πV2 3 (2m)3 / 2 E1/ 2 ,

где V – объем ящика.

8. Пусть газ, находясь в объеме V1, имел Ω1 доступных состояний. При свободном расширении его до объема V2 число доступных состояний возрастет до Ω2. Однако в первый момент при внезапном увеличении объема газ с равной вероятностью будет находиться в любом из Ω1 состояний, а в новых Ω2 – Ω1 состояниях вероятность нахождения системы равна нулю. Такое состояние системы будет неравновесным. В результате в системе будут

30