Задачи с решениями по термодинамике и статистической физике (микроканоническое распределение). Учебное пособие

Таким образом, среднеквадратичное значение проекции магнитного момента системы на некоторое направление равно

M 2 Nμ.

При N >> 1 распределение по M имеет резкий максимум. В этом

случае среднеквадратичное значение M 2 очень мало по сравнению с максимально возможным Mmax = Nµ. Действительно,

M 2 / M max Nμ/ Nμ 1/ N 1.

17. Предполагается, что рассматриваемая система спинов находится в равновесии. По условию p – вероятность того, что магнитный момент какого-то конкретного спина ориентирован по выделенному направлению (по внешнему магнитному полю). Пусть величина q определяет вероятность ориентации спина в противоположном направлении. Этими двумя ориентациями исчерпаны все возможности, и в силу условия нормировки обе вероятности связаны соотношением

p q 1.

При отсутствии выделенного направления, т. е. при отсутствии магнитного поля, имеем

p q 12 .

41

В присутствии магнитного поля магнитный момент спинов чаще ориентирован по полю, т. е. p q. Поэтому среднее значение

проекции магнитного момента системы на внешнее магнитное поле отлично от нуля:

Исключая q, получим

M2N p 1 μ.

2

Вычислим среднее значение квадрата проекции магнитного момента системы на внешнее магнитное поле:

r s

В первой сумме в правой части равенства значение среднего квадрата магнитного момента произвольного спина равно

μ2s p( μ)2 q( μ)2 μ.2 ( p q) μ2 .

Во втором слагаемом в правой части, где r i, произведения

магнитных моментов относятся к различным спинам, которые статистически независимы. Поэтому среднее значение каждого такого произведения равно произведению средних значений, которые одинаковы:

μr μs μr μs μ.2 ( p q)2 .

В результате получаем

42

r s

Исключая q, получим

M 2 Nμ2 (1 (N 1)(2 p 1)2 ).

Среднеквадратичное значение магнитного момента системы равно

Вычислим дисперсию магнитного момента M системы при наличии внешнего магнитного поля:

( M )2 M 2 M 2

Nμ2 N(N 1)μ2 ( p q)2 N 2μ2 ( p q)2 4Nμ2 pq.

После исключения величина q получим искомое выражение для дисперсии магнитного момента M системы:

( M )2 4Nμ2 p(1 p).

Оценим относительную флуктуацию величины M при p = 0,51 для полного числа спинов N = 100 и 1024. Для искомой величины имеем выражение

Для p = 0,51 оно дает

43

δM 50N .

Таким образом, относительная флуктуация величины M обратно пропорциональна корню квадратному из числа спинов. При увеличении N она уменьшается. Для N = 100 относительная флуктуация величины M равна

рассеянию возможных значений M.

Для N = 1024 относительная флуктуация M равна

В этом случае относительная флуктуация возможных значений M крайне мала. В результате если чувствительность метода измерений магнитного момента системы недостаточна, чтобы заметить относительные отклонения от среднего значения, меньшего чем 10–10, то измерения всегда будут давать значения M,

близкие к M . Такой результат имеет место всегда для макроскопических систем, состоящих из очень большого числа частиц.

18. Рассматривается система с числом спинов N ~ 1020. Значения m удовлетворяют неравенству m N. По формуле Стирлинга

n! 2πnnn exp( n).

Используется также справедливое при малых y ( y 1 ) равенство

(1 y)1/ y exp(1 y / 2).

44

Оно следует из разложения в ряд логарифма:

π2N 2 N (1 m / N) (N m) / 2 .(1 m / N) (N m) / 2

π2N 2 N exp(m / 2 (1 m / N)(1 m / 2N))

exp( m / 2 (1 m / N )(1 m / 2N)) π2N 2 N exp( m2 / 2N).

Врезультате получено распределение Гаусса

Интегрирование по m дает для полного числа состояний правильное

значение. Это распределение имеет максимум при m = 0. Для m2 = 2N или m/N = (2/N)1/2 величина g в e раз меньше своего

45

относительной ширины распределения. При N ~ 1020 относительная ширина имеет значение ~1010.

19. Пусть вначале конфигурация объединенной системы такова, что у первой подсистемы спиновый избыток равен строго m1, а у второй – m2. Эта конфигурация объединенной системы определяется набором допустимых состояний, характеризуемых значениями m1 и m2. Число допустимых состояний первой подсистемы равно g1(N1, m1), второй – g2(N2, m2), а для рассматриваемой конфигурации объединенной системы – произведению g1(N1, m1)·g2(N2, m2). Так как сумма спиновых избытков подсистем равна спиновому избытку полной системы m1 + m2 = m, то указанное произведение можно записать в виде g1(N1, m1)·g2(N2, m – m1). Для получения суммарной степени вырождения всех допустимых конфигураций произведение следует просуммировать по всем возможным значениям m1:

g(N, m) g1 (N1, m1 ) g2 (N2 , m m1 ).

m1

По определению теплового контакта величины N и m в этой сумме являются постоянными. Произведение под знаком суммы имеет максимум при некотором значении m1. Если хотя бы в одной из двух подсистем число частиц очень велико, то этот максимум оказывается исключительно резким и статистические свойства объединенной системы определяются относительно небольшим числом конфигураций. Резервуар – это система из сколь угодно большого числа частиц, и среднее значение физической величины по всем допустимым конфигурациям часто можно заменить на среднее только по одной наиболее вероятной конфигурации.

В данной задаче для обеих подсистем применимо распределение Гаусса:

или

46

Экстремум является максимумом, так как вторая производная

Таким образом,

m1 m2 m . N1 N2 N

Для исследования остроты максимума введем отклонение δ от m1 и, следовательно, от m2. Тогда

47

Видно, что если хотя бы одна из двух подсистем содержит большое

число спинов, то максимум резкий, т. е. относительное отклонение δ/N очень мало. Пусть, например, N1 = N2 = 1022 и δ = 2·1012. Тогда

δ/N2 = 2·10–10. При этом

g1 g2 /(g1 g2 )max e 400 10 173.

Для твердых и жидких тел при комнатной температуре времена одночастичной релаксации порядка 10–12 с. Полное число спинов 1022, и, следовательно, система переходит из одного квантового состояния в другое 1022/10–12 = 1034 раз в секунду. Тогда систему

удается увидеть с отклонением δ/N = 2·10–10 не раньше, чем через 10173·10–34 с = 10139 с. Возраст Вселенной 1018 с.

20. Считается, что все физические величины имеют средние значения. Магнитный момент M системы пропорционален спиновому избытку m:

M = mµ,

где µ – магнитный момент спина.

Энтропия системы определяется степенью вырождения, полученной в задаче 18:

S(N, m) = k·lng(N, m) = k·lng(N, 0) – km2/2N при m N.

Энергия рассматриваемой системы в магнитном поле B равна

E = –MB.

48

В соответствии с основным уравнением термодинамики температура находится из соотношения

Поэтому энтропию необходимо записать в виде функции S(N, E). С этой целью из уравнений исключаются M и m:

m = M/µ = – E/µB, S(N, E) = S(N,0) – k E 2/(2Nµ2B2).

Тогда имеем

1/T = – k E /(Nµ2 B2),

откуда находим

E= – Nµ2B2/kT, S = S0 – Nµ2B2/(2kT2).

Сростом температуры энергия и энтропия системы спинов растут. При увеличении индукции магнитного поля энтропия уменьшается: магнитное поле увеличивает порядок в системе. Магнитный момент системы, находящейся в тепловом равновесии при температуре T, равен

M = Nµ2B/kT.

Полный магнитный момент пропорционален числу частиц N и индукции магнитного поля B и обратно пропорционален температуре. Магнитное поле стремится упорядочить направления спинов вопреки температуре, которая стремится разупорядочить их. Полученные результаты справедливы при µB << kT. Это следует из

неравенства m N.

21. Для энтропии системы из N магнитов с моментами µ, находящуюся в тепловом равновесии при температуре T и помещенную в магнитное поле B, при µB << kT получено выражение

49

S(N, T, B) = S0 – Nµ2B2/(2kT2).

Из него видно, что при адиабатическом уменьшении магнитной индукции B происходит охлаждение системы. При этом температура уменьшается в том же отношении, что и магнитное поле. В задаче заданы начальное и конечное значения напряженности магнитного поля H в эрстедах. Эрстед (Э) – единица измерения напряженности магнитного поля в системе СГС. 1 эрстед равен напряженности магнитного поля в вакууме, если магнитная индукция составляет 1 гаусс. Это позволяет вычислить конечную температуру:

T2 = T1B2/B1 = T1H2/H1 = 0,01К.

Метод магнитного охлаждения используется для достижения очень низких температур. Имеются эксперименты по магнитному охлаждению двойной соли нитрата цезия, нитрата магния и др. В надежном эксперименте цериевую соль удалось охладить от 1К

при 2·104 Гс до 0,002К.

22. Энтропия является функцией состояния, ее дифференциал полный. Поэтому в соответствии с основным термодинамическим тождеством имеем для химического потенциала µ равенство

μ S . T N E,B

Взадаче 20 для энтропии и энергии системы спинов получены выражения

где µ0 – магнитный момент спина. Исключая температуру, находим энтропию как функцию числа частиц, энергии и магнитного поля:

50