Задачи с решениями по термодинамике и статистической физике (микроканоническое распределение). Учебное пособие

происходить изменения, пока вероятность нахождения ее в любом из Ω2 состояний не станет равной одной и той же.

При свободном расширении газа не происходит подвода к нему теплоты, не совершается работа внешних сил. В таком случае согласно первому началу термодинамики конечное значение внутренней энергии газа остается равным первоначальному значению. Газ идеальный, поэтому его температуры в конечном и начальном состояниях равны и объем пространства импульсов сохраняется. Происходит изменение объема конфигурационного пространства, а с ним и фазового пространства. Число доступных состояний молекул в фазовом пространстве пропорционально его объему, и оно возрастает при увеличении конфигурационного объема в V2/ V1 раз. Для N молекул идеального газа число доступных состояний возрастает в (V2/V1)N раз. Таким образом,

Ω2 = (V2/V1)NΩ1.

Вероятность наблюдения флуктуации, при которой все молекулы соберутся в объеме V1, равна

w = Ω1/Ω2 = (V1/V2)N.

Она фантастически мала, если N велико (порядка числа Авогадро).

9. Если газ заключен в конечном объеме V и требуется найти вероятность того, что некоторая произвольно выбранная молекула окажется в объеме V0, составляющем часть всего объема, то эту вероятность следует определить как предел отношения tv/T, где tv – время, в течение которого молекула находится в объеме V0. При этом если время наблюдения T достаточно велико, то молекула побывает во всех частях объема V и из равноправности всех его частей следует, что время пребывания ее в данном объеме V0 пропорционально величине этого объема. Поэтому

wV0 = V0/V.

31

Вероятность обнаружить в объеме V0 две молекулы равна (V0/V)2 и n выбранных молекул – (V0/V)n. Аналогично: вероятность

обнаружить выбранную молекулу в остальной части объема равна 1 – V0/V, две молекулы – (1 – V0/V)2 и (N – n) молекул – (1 – V0/V)N – n.

В результате вероятность того, что в объеме V0 находится n выбранных молекул, а остальные (N – n) молекул находятся в другой части объема V, равна (V0/V)n(1 – V0/V)N – n. Число способов, которыми n произвольных молекул могут быть выбраны из общего числа молекул, равно числу сочетаний из N элементов по n:

CNn N!/(n!(N n)!). Полная вероятность нахождения в объеме V0 произвольно выбранных n молекул равна

Это биноминальный закон. Из известной формулы (бином Ньютона)

следует, что полученное распределение нормировано на единицу. Пользуясь биномом Ньютона и дифференцируя по параметру,

можно найти среднее число частиц в объеме V0. Действительно,

Если обозначить через a = V0/V и b = 1 – V0/V, тогда имеем

32

Из биноминального закона могут быть получены формула

дающий вероятность нахождения в объеме V0 произвольно выбранных n молекул из полного их числа N в объеме V. Кроме того, получено, что среднее число молекул в объеме V0 равно

n N VV0 .

Чтобы вычислить относительную флуктуацию δn числа молекул n в заданном объеме V0, необходимо найти среднее значение квадрата числа молекул в этом объеме, а затем получить еще выражение для квадратичной флуктуации (дисперсии) числа молекул. По определению среднего статистического, имеем

n2 N n2 wN (n).

n 0

Из соображений удобства введем обозначения

a VV0 , b 1 VV0 .

33

При этом имеем равенство a + b = 1.

Тогда среднее значение квадрата числа молекул в объеме V0 равно

Соответственно, для относительной флуктуации δn имеем выражение

Относительная флуктуация числа молекул n в заданном объеме V0, являющемся частью объема V, обратно пропорциональна общему числу молекул во всем объеме. Оценим величину δn для объема V0, составляющего половину всего объема, а N = 1024

11. Рассмотрим частицу массой m в трехмерном ящике со сторонами Lx, Ly, Lz (декартовы оси координат x, y, z направлены по соответствующим сторонам ящика). Пусть частица находится в

34

состоянии, определяемом квантовыми числами nx , ny , nz . Ее энергия в этом состоянии равна

Находясь в данном состоянии, частица действует, скажем, на стенку, перпендикулярную оси x, т. е. на стенку с координатой x = Lx, с некоторой силой Fx. С такой же силой, но в противоположном направлении, стенка действует на частицу. Если при этом стенка смещается на расстояние dLx, то над частицей совершается работа, равная

A Fx dLx ,

и энергия частицы в рассматриваемом состоянии увеличивается на

dE Fx dLx ,

откуда получаем

Fx ELx

(пишется частная производная, так как размеры Ly и Lz подразумеваются постоянными). Подставляем сюда выражение для энергии частицы в ящике. В результате получаем

Здесь V – объем ящика, а Ly·Lz – площадь стенки, о которую ударяется частица. По условию в ящике идеальный газ, а это модель

газа из слабо взаимодействующих молекул. Поэтому рассматриваемая частица в силу взаимодействия с другими

35

частицами может оказаться в любом из квантовых состояний, определяемых различными значениями nx , ny , nz . Действие

частицы на стенку характеризуется средним значением силы

Fx π2 2 nx2 Ly Lz . mV L2x

Если газ в ящике состоит из N одинаковых молекул, то средняя сила от всех этих частиц равна N Fx и среднее давление газа (сила, действующая на единицу площади стенки) равно

Аналогичным образом можно получить выражения для давлений газа на другие стенки:

Газ в ящике находится в равновесном состоянии. Опыт в этом случае говорит, что давление газа не зависит от направления, т. е.

px p y pz p.

Отсюда получаем следующее равенство средних значений:

Тогда средняя энергия частицы газа равна

36

где E – средняя энергия одной частицы газа.

12. При подводе к системе небольшого количества энергии E температура системы практически не меняется. Поэтому изменение энтропии находится по формуле

S = E/T.

Изменение энтропии означает, что происходит изменение числа состояний Ω системы. Из формулы Больцмана имеем

lnΩ = S/k = E/kT,

откуда получаем

Ω1 = Ω0exp( E/kT).

Вычисления дают следующее. 1. E = 10–3 эВ = 1,6·10–15 эрг.

Ω1/Ω0 = exp(1,6·10–15/(1,38·10–16·293)) = exp(0,040) = 1,04.

Число состояний увеличивается на 4 %.

2. E = hc/λ = 6,6·10–27·3·1010/5·103 – 8 = 4·10–12 эрг (h – постоянная Планка, c – скорость света в вакууме).

Ω1/Ω0 = exp(4·10–12/(1,38·10–16·293)) = exp(98) ≈ 3·1042.

13. Основное уравнение термодинамики с учетом переменности числа частиц имеет вид

TdS = dE + pdV – µdN.

37

Энтропия – функция состояния, ее дифференциал полный. Основное уравнение позволяет найти частные производные:

По условию для газа ультрарелятивистских частиц число состояний с энергией E равно Ω(E, N, V) = f(N)VNE3N, где N – число частиц, V – объем газа, f(N) – некоторая функция числа частиц. Найдем энтропию этой системы:

S(E,N,V) = k·lnΩ(E, N, V) = k·lnf(N) + kN·lnV + 3kN·lnE.

Вычислим частные производные энтропии:

Сравнение двух выражений для каждой производной дает термическое уравнение состояния

pV NkT

и калорическое уравнение состояния

E3NkT.

14.«Рассмотрим систему, состоящую из N частиц, каждая из

которых имеет спин, равный 1/2 и магнитный момент µ0. Такими частицами являются электроны и атомы, имеющие один непарный электрон, или ядра, например протоны. Наличие у частицы механического момента, т. е. спина, является квантовым эффектом. Так, например, утверждение, что спин частицы равен 1/2, означает, что измерение составляющей момента количества движения (относительно какого-то выделенного направления в пространстве)

может дать только два возможных значения 12 или 12 (где

38

– постоянная Планка, деленная на 2π). Поэтому спин либо параллелен, либо антипараллелен выбранному направлению. Для простоты мы будем говорить, что спин ориентирован либо “вверх”, либо “вниз”. <…> Будем считать систему спинов идеальной, если взаимодействие между ними почти отсутствует. (Это возможно, если среднее расстояние между частицами, имеющими спин, настолько велико, что полем, создаваемым магнитным моментом любой частицы в месте расположения других частиц, можно пренебречь.) Идеальная система из N спинов полностью описывается квантовой механикой, но, с другой стороны, она аналогична идеальному газу, состоящему из N молекул. <…> В случае системы из спинов незначительное взаимодействие каждого магнитного момента с другими магнитными моментами приводит к изменению его ориентации. Поэтому магнитные моменты могут быть направлены как вверх, так и вниз» [2]. Соответствующие состояния спина взаимоисключающие, т. е. если спин находится в каком-то одном состоянии (скажем, в состоянии с проекцией на выбранное направление +1/2), то он не может находиться одновременно в другом (соответственно, в состоянии с проекцией –1/2). Другими словами, спин 1/2 может находиться в одном из двух состояний. Таким образом, в случае системы со спинами, находящейся в равновесии при отсутствии внешнего магнитного поля (при отсутствии выделенного направления), магнитный момент с равной вероятностью может быть направлен как вверх, так и вниз. Символически эти состояния спина можно указать стрелками вверх ↑ и вниз ↓ соответственно, а совокупность состояний записать в виде суммы ↑ + ↓. Все различные состояния рассматриваемой системы содержатся в символическом раскрытии следующего произведения N сомножителей: (↑ + ↓)N. Согласно биному Ньютона имеем

Таким образом, состояние ↑n·↓N – n реализуется числом способов, равным числу сочетаний

39

Полное число состояний равно

N CNn 2 N . n 0

Вероятность обнаружить систему в состоянии ↑n·↓N – n вычисляется по формуле

w(n) 21N C Nn .

15. Степенью вырождения системы со спиновым избытком m называют число соответствующих состояний; ее обычно обозначают g(N, m). Из решения предыдущей задачи находим

где m = n – (N – n) = 2n – N – спиновый избыток.

Если µ – магнитный момент спина, то система при спиновом избытке m обладает магнитным моментом M = mµ и распределение по m является по существу распределением по M.

16. Вследствие слабого взаимодействия спины с равной вероятностью ориентированы по выбранному направлению и в противоположном направлении. Поэтому среднее значение проекции магнитного момента системы на рассматриваемое направление равно нулю:

Вычислим среднее значение квадрата проекции магнитного момента системы на выбранное направление:

40