Задачи с решениями по термодинамике и статистической физике (микроканоническое распределение). Учебное пособие

Дифференцирование этого выражения по N дает химический потенциал системы спинов в магнитном поле:

Подставляем сюда выражение для энергии и получаем окончательное выражение для химического потенциала системы спинов:

μ2 B2

μ μ(0) 20kT .

С увеличением индукции магнитного поля химический потенциал уменьшается.

Пусть каждый спин принадлежит отдельному атому газа. Для идеального газа слагаемое µ(0) определяется хаотическим поступательным движением атомов и равно

μ(T,0) μ(0) kT ln n const

(n – концентрация атомов газа), так что

В равновесии химический потенциал и температура постоянны во всем объеме. Таким образом, в неоднородном магнитном поле локальная концентрация n зависит от индукции магнитного поля по закону

n~ exp 1 μ0 B 2 ,2 kT

т. е. частицы сосредотачиваются преимущественно в области с большой индукцией магнитного поля (при таком распределении частиц энергия системы уменьшается).

23. Пусть n и N – n – числа звеньев, расположенных по прямой соответственно вправо и влево. Тогда длина цепи l m , где

m = n – (N – n) = 2n – N. Число расположений звеньев, приводящее к такой длине цепи, равно

При m N справедливо приближение

g(N, m) g(N,0) exp( m 2 / 2N ).

Использование его дает следующее выражение для энтропии:

S(N, m) = k·lng(N, m) = k·lng(N, 0) – km2/2N.

После исключения m это выражение принимает вид

S(N, l) = S(N, 0) – kl 2/(2Nρ2).

Основное термодинамическое тождество для полимерной цепи имеет вид

TdS = dE – fdl – µdN,

52

где f – внешняя сила, приложенная к цепи, а dl – растяжение цепи. Отсюда находим

Сила пропорциональна температуре. Необходимость в приложении такой силы связана с тем, что полимеры стремятся свернуться: энтропия беспорядочного клубка больше, чем растянутой конфигурации.

Примером линейного полимера является полиметилен (обычно называемый полиэтиленом), в котором отдельные звенья-единицы

H

C

H

соединяются одно с другим ординарной связью. Образуемые цепи могут содержать 106 и больше единиц. Не известно ни одного полимера, в котором углы между связями, соединяющими соседние единицы, были бы с одинаковой вероятностью равны либо 0°, либо 180°. Однако рассматривать подобную модель поучительно.

24. Число состояний изолированной системы, состоящей из N слабовзаимодействующих спинов 1/2 (N >> 1), со спиновым избытком σ << N (суммарной проекцией на ось z) определяется распределением Гаусса:

Энтропия системы в этом состоянии согласно формуле Больцмана равна

S1 k ln Ω(N, σ) S0 k 2σN2 .

53

При уменьшении значения проекции на единицу энтропия системы принимает значение

S2 k ln Ω(N, σ 1) S0 k (σ 1)2 . 2N

В результате происходит изменение (увеличение) энтропии системы на величину, равную

S S2 S1 k 2σ2N 1.

25. По условию, системы, состоящие из N (N >> 1) спинов s = 1/2, находятся в равновесии с термостатом, из чего следует, что они имеют нулевую суммарную проекцию спина на выбранное направление (скажем, на ось z). Это означает, что половина молекул

s = 1/2 равно

Ω 2N .

Вероятность реализации равновесного состояния определяется долей их из полного числа:

Энтропия системы в равновесном состоянии по формуле Больцмана равна

54

Разность значений энтропии второй и первой систем становится равной

S S( N n) / 2 S N / 2 kn ln 2.

26. Спин s может находиться в состояниях со следующими проекциями на выбранное направление: –s, –s + 1, …, +s. Число различных состояний равно 2s + 1.

Число доступных состояний Ω системы из двух независимых спинов s1 и s2 составляет

Ω = (2s1 + 1)(2s2 + 1) = 10.

Энтропия системы определяется согласно закону Больцмана:

S k ln Ω k ln10.

По условию проекция суммарного спина системы на выбранное направление (ось z) имеет значение

sz 32 .

Это значение реализуется в двух состояниях:

Все десять состояний системы равновероятны. Вероятность того, что sz = 3/2, определяется долей таких состояний:

wsz 3 / 2 102 15 .

27. Число возможных состояний спина s равно 2s + 1. В рассматриваемом случае спинам s1 = s2 = 1 и s3 = 1/2 отвечает 3, 3 и2 состояниясоответственно. Таккакспиныслабовзаимодействующие,

56

то полное число состояний образуемой ими системы равно Ω = 32·2 = 18. По формуле Больцмана энтропия системы равна

S k ln18.

28. Система состоит из трех спинов s1 = 3/2, s2 = 1, s3 = 1/2. Им отвечают четыре, три и два состояния соответственно. Для слабовзаимодействующих спинов полное число состояний образуемой ими системы равно Ω = 4·3·2 = 24. По формуле Больцмана энтропия системы равна

S k ln 24.

29. Если энергия равна E = –2µ0B, то шесть спинов расположены по полю, а четыре – против поля (в этом случае спиновой избыток равен двум, магнитный момент избытка имеет значение 2µ0). Соответствующее число возможных конфигураций составляет

Ω C 6 10! 210.

6,4 10 6! 4!

Аналогично при энергии E = –4µ0B (при перевороте спина энергия изменяется на 2µ0B) Ω7,3 C107 120, и если энергия равна

E = – 6µ0B, то Ω8,2 C108 45.

Таким образом, в интервале значений энергии от –2µ0B до –6µ0B число доступных состояний равно

Ω Ω6,4 Ω7,3 Ω8,2 375.

Полное число доступных состояний составляет

Ω0 210 1024

иΩ/Ω0 375 /1024 37 %.

Энтропия системы, если она находится в состоянии с энергией

E = –6µ0B, равна

57

S8,2 k ln Ω8,2 k ln 45.

30. Рассматриваемая система находится в равновесном состоянии с энергией E = –2µ0B. Ее магнитный момент равен 2µ0. Это его значение обеспечено, если три спина ориентированы по полю, а четвертый – против поля. Таких доступных состояния четыре: + + + –, + + – +, + – + +, – + + + (знак + или – означает ориентацию спина). Эти состояния равновероятны. Искомая вероятность равна w+ = 3/4. Среднее значение магнитного момента одного спина равно

Среднее значение магнитного момента системы имеет значение

M2μ0 .

31.Системы А и А’ (из трех и двух спинов соответственно)

образуют полную систему А0. Взаимодействие между спинами пренебрежимо мало, так что энергия составной системы А0 равна сумме энергий подсистем А и А’: E0 = – (M + M’)B, где M и M’ – их магнитные моменты.

Система А0 состоит из пяти спинов и обладает поэтому 25 = 32 возможными квантовыми состояниями, каждое из которых может

быть обозначено пятью квантовыми числами σ1, σ2, σ3 (для первой системы А) и σ1’, σ2’ (для системы А’). Эти квантовые числа указывают ориентацию магнитных моментов отдельных спинов.

Энергия изолированной системы А0 равна E0 = –3µ0B. В этом случае система А0 может находиться только в пяти равновероятных доступных состояниях. Они перечислены в таблице.

В этих пяти состояниях магнитный момент первой подсистемы может принимать только два значения: 3µ0 и –µ0. Вероятности этих двух значений равны

w(3µ0) = 2/5 и w(–µ0) = 3/5.

Средний магнитный момент первой подсистемы равен

M3μ0 52 ( μ0 ) 53 53 μ0 .

32.Энергия полной системы А + А’ равна E0 = 3µ0B – 4µ0B = –µ0B. При установлении равновесия полная система может находиться в

любом из семи доступных состояний: (– – –, + +), (– + +, – +), (+ – +, – +), (+ + –, – +), (– + +, + –), (+ – +, + –), (+ + –, + –).

Только в одном из них магнитный момент системы А направлен против поля, т. е. равен –3µ0. В остальных шести он равен µ0. Возможные значения 3µ0 и –µ0 не реализуются. Таким образом, искомые вероятности равны

w(– 3µ0) = 1/7, w(µ0) = 6/7, w(3µ0) = w(–µ0) = 0.

Среднее значение магнитного момента системы А равно

M3μ0 17 μ0 76 73 μ0 .

33.Энергия сложной системы А + А’ равна

E0 = –µ0B +(–2 + 1) µ0B = –2µ0B.

Такую энергию система имеет в четырех состояниях:

(+, + + –), (+, + – +),(+, – + +), (–, + + +).

Искомое отношение равно

w–/w+ = 1/3.

59

34. Решаемая задача является обобщением предыдущей задачи. До установления теплового контакта единственный спин системы А направлен по магнитному полю B. Энергия и энтропия системы равны

E A μ0 B, S A k ln1 0.

Независимая система А’ содержит N таких же спинов, из них n направлены по полю, а остальные N – n спинов – против него. Энергия и энтропия этой системы равны

При этом составная (сложная) система А + А’ имеет ΩA A' CNn

допустимых состояний. Энергия и энтропия являются аддитивными функциями состояний. Для системы А + А’ они равны

В результате установления теплового контакта между подсистемами А и А’ число допустимых состояний сложной системы увеличится. Теперь спин подсистемы А может быть ориентирован как по магнитному полю, так и против него. Однако по условию задачи система А + А’ является изолированной. Поэтому ее энергия после установления равновесия будет иметь первоначальное значение

E(2n N 1)μ0 B.

Врезультате если спин подсистемы А будет направлен против магнитного поля, число спинов подсистемы А’, ориентированных по полю, должно быть равно n + 1. Таким образом, полное число состояний сложной системы становится равным

ΩCNn CNn 1.

60