Задачи с решениями по термодинамике и статистической физике (микроканоническое распределение). Учебное пособие

Первое слагаемое в правой части дает число состояний при ориентации спина подсистемы А вдоль магнитного поля, второе – при направлении этого спина против поля. Соответственно, энтропия и ее изменение для сложной системы равны

Отношение w+/w– вероятностей того, что магнитный момент подсистемы А направлен по полю и против него, равно

35. В отличие от предыдущей задачи магнитный момент спина системы А в два раза больше. Поэтому ее первоначальная энергия равна

EA 2μ0 B,

аэнтропия по-прежнему равна нулю.

Для второй системы первоначальные значения энергии и энтропии такие же, как в предыдущей задаче:

Энергия сложной системы А + А’ равна сумме энергий ее подсистем

EA + A’ = –2µ0B + (– n + N – n) µ0B = – (2(n + 1) – N)µ0B.

Первоначальное число состояний и энтропия системы А + А’ не изменятся по сравнению с предыдущей задачей:

ΩA A' CNn , S A A' k ln CNn .

61

При включении теплового контакта между подсистемами А и А’ и установлении равновесия энергия изолированной сложной системы сохранит свое значение. Однако в данной задаче если спин подсистемы А будет направлен против магнитного поля, число спинов подсистемы А’, ориентированных по полю, должно быть равно n + 2.

В результате полное число состояний сложной системы становится равным

Ω CNn CNn 2 .

Первое слагаемое в правой части дает число состояний при ориентации спина подсистемы А вдоль магнитного поля, второе – при направлении этого спина против поля. Соответственно, энтропия и ее изменение для сложной системы равны

Отношение w+/w– вероятностей того, что магнитный момент подсистемы А направлен по полю и против него, равно

36. При фиксированных значениях внешних параметров уровни энергии системы остаются неизменными. Подвод теплоты Q приводит к изменению распределения частиц по энергетическим

уровням. В результате средняя энергия E системы увеличивается.

62

Энергия магнитного момента M в магнитном поле B определяется равенством

E M B.

Рассматриваемая система двухуровневая: магнитный момент спина может иметь две ориентации (направлен по полю или против него). Поэтому для средней энергии имеем

E E1 w1 E2 w2 .

Соответственно, средние значения энергии системы до подогрева и после него равны

E 0 μ0 B 0,9 μ0 B 0,1 0,8μ0 B,

E μ0 B 0,6 μ0 B 0,4 0,2μ0 B.

Изменение энергии системы связано с поглощением теплоты

Q E E 0 0,6μ0 B.

Изменение энтропии при заданной постоянной температуре T равно

Молекула представляет собой три различных осциллятора с одинаковыми частотами. Они могут находиться в различных состояниях. Их суммарная энергия равна

E = ω(n1 + n2 + n3 + 1,5) = 3,5 ω,

откуда получаем следующее равенство:

n1 + n2 + n3 = 2.

Этому равенству удовлетворяют комбинации квантовых чисел, приведенные в таблице:

Шесть различных комбинаций – шесть различных состояний молекулы. Соответственно, энтропия по формуле Больцмана равна

S = k ln 6.

Один осциллятор, скажем первый, в трех случаях из шести находится в возбужденном состоянии. Таким образом, вероятность того, что один определенный осциллятор возбужден, равна

w 12 .

38. Если система состоит из N одинаковых линейных гармонических осцилляторов, то ее энергия равна

Eω n 1 N .

2

Поскольку N = 5 и E 8,5 ω, то n = 6. Число допустимых состояний системы вычисляется по формуле

64

Ω (N 1 n)!. (N 1)!n!

Подстановка значений N и n дает

Ω (5 1 6)! 210. (5 1)!6!

Это полное число допустимых состояний системы.

Если первый осциллятор находится в основном состоянии, т. е.

допустимых состояний в этом случае равно

Ω1 (4 1 6)! 84. (4 1)!6!

Вероятность того, что первый осциллятор находится в основном состоянии при значении энергии системы E 8,5 ω, равна

w1 ΩΩ1 21084 52 .

39. Система, состоящая из N осцилляторов, имеет энергию

Eω n 1 N .

2

Поскольку N = 4 и E 8 ω, то n = 6. Число допустимых состояний системы вычисляется по формуле

Ω (N 1 n)!. (N 1)!n!

65

Подстановка значений N и n дает

Ω (4 1 6)! 84. (4 1)!6!

Энтропия системы вычисляется по формуле Больцмана

Sk ln Ω k ln 84.

40.Энергия E системы из N невзаимодействующих квантовых осцилляторов равна

Eω n 1 N ,

2

где ω – энергия кванта, n – число квантов.

Число доступных состояний такой системы есть число способов размещения n квантов по N осцилляторам. Оно дается известной формулой

(N 1 n)!. (N 1)!n!

Эту формулу можно получить, рассмотрев размещение n шаров в N ящиках. В этой задаче объекты в виде границ и шаров расположены последовательно, чередуясь между собой произвольным образом. Могут следовать одна за другой границы, что соответствует пустым ящикам. Могут находиться одни шары, это означает, что они лежат в одном ящике. Границы и шары могут располагаться как угодно. Число размещений N – 1 различимых границ и n различимых шаров равно (N – 1 + n)!. С учетом неразличимости границ и неразличимости шаров получается приведенная формула ((N – 1)! – число перестановок границ, n! – число перестановок шаров).

41. Энергия одного линейного осциллятора определяется по формуле

66

Для системы N слабо связанных осцилляторов с частотой (N >> 1) энергия равна

По условию задачи система находится в состоянии с заданной энергией. Это дает равенство

из которого находим значение квантового числа n:

n 2.

Это значение может быть реализовано следующим образом:

ni 2, n j i 0.

Число способов реализации такого состояния равно N.

То же значение n может реализоваться также следующим образом:

ni nk 1, n j i, k 0.

Число способов реализации этих состояний равно числу состояний из N по два CN2 12 N(N 1). Всего возможных состояний системы равно

Ω1 N 12 N(N 1) 12 N(N 1).

67

Энтропия системы вычисляется по формуле Больцмана:

осцилляторов ее энергия увеличится на 32 ω, но при этом значение

квантового числа n не изменится. После установления равновесия полное число состояний системы будет равно

Ω2 12 (N 3)(N 4).

Энтропия примет значение

Изменение энтропии системы равно

S S2 S1 k ln (N 3)(N 4) .N(N 1)

Преобразуем это выражение с учетом условия N >> 1:

42. Термин «невзаимодействующие составные части системы» в физике обычно употребляется в том смысле, что энергия взаимодействия частей системы пренебрежимо мала и ее вкладом в полную энергию системы можно пренебречь. Вместо «невзаимодействующие» употребляют также термин «слабо взаимодействующие». Вычислим фазовый объем системы из N одномерных слабо взаимодействующих гармонических

68

осцилляторов с энергией, меньшей E, в квазиклассическом приближении.

N

... dp1...dpN dx1...dxN dpi dxi .

i 1

Это объем N-мерного эллипсоида

Тогда выражение для фазового объема принимает вид

Вычисление объема эллипсоида сводится к вычислению объема шара

Объем k-мерного шара радиусом R равен

πk / 2

Vk (k / 2)! Rk .

В данном случае k = 2N, R E и

69

Число состояний системы в интервале энергии δE равно

Уровни энергии системы отстоят друг от друга на расстоянии, равном кванту ω. Интервал энергии δE выбирается равный этому кванту:

δE ω.

При таком выборе δE величина Ω дает число доступных состояний системы с энергией E:

(N 1 1)! Eω N 1.

Энергия E системы из N одномерных невзаимодействующих гармонических осцилляторов принимает значения

Eω n 1 N ,

2

так что в квазиклассическом приближении число доступных состояний системы с энергией E равно

Сравним результаты, получаемые в квазиклассическом приближении, с точным решением. При N = 1 имеем 1 и

70