Задачи с решениями по термодинамике и статистической физике (микроканоническое распределение). Учебное пособие

43. Энтропия системы вычисляется по формуле Больцмана

S k ln .

Для числа доступных состояний Ω системы, состоящей из N одномерных слабо взаимодействующих осцилляторов, в предыдущей задаче получено выражение

(N 1 1)! Eω N 1.

Подставляя это выражение в формулу Больцмана, получим

Для преобразования факториала воспользуемся формулой Стирлинга

n! 2πnnn exp( n).

Логарифм n! равен

ln n! n ln n n 12 ln(2πn).

Слагаемые в правой части, кроме первого, малы. Пренебрегаем ими. Кроме того, применение формулы Стирлинга возможно, если число осцилляторов велико N >> 1. В результате для энтропии системы из N одномерных осцилляторов получаем выражение

71

По условию энергия трехмерного осциллятора задана равной E 6 ω0 . Это дает соотношение, определяющее доступные

состояния:

nx ny 2nz 4.

Составляем таблицу соответствующих значений квантовых чисел n x, n y, n z.

Всего девять комбинаций и, следовательно, девять доступных состояний Ω = 9. В результате находим энтропию рассматриваемого осциллятора

Sk ln 9.

45.Пусть n1 и n2 – квантовые числа, определяющие состояние первой пары осцилляторов. Тогда энергия этой подсистемы равна

E1 ω(n1 n2 1).

По условию задачи эта энергия задана равной E1 ω. Из

сравнения двух выражений для энергии первой пары находим, что возможно только невозбужденное состояние этой подсистемы:

n1 n2 0.

Начальное значение энтропии первой пары равно нулю. Аналогично пусть n3 и n4 – квантовые числа, определяющие

состояние второй пары различимых осцилляторов. Для нее энергия равна

E2 ω(n3 n4 1).

73

Заданное значение этой энергии равно E2 2 ω. В результате квантовые числа находим из равенства

n3 n4 1.

Ему удовлетворяют два состояния:

n3 1 0 n4 0 1.

Начальное значение энтропии второй пары осцилляторов, а следовательно, и всей системы равно

S0 k ln 2.

После введения обмена энергией между всеми осцилляторами число состояний системы увеличивается. Для энергии системы имеем выражение

E ω(n1 n2 n3 n4 2).

Система изолированная. Поэтому ее энергия сохраняется:

EE1 E2 3 ω.

Врезультате квантовые числа удовлетворяют равенству

n1 n2 n3 n4 1.

Ему удовлетворяют четыре комбинации, когда одно из чисел равно единице, а остальные три – нулю. Энтропия системы становится равной

S k ln 4.

Изменение энтропии равно

74

S S S0 k ln 2.

Если все осцилляторы неразличимы, то нумерация осцилляторов не существенна и как начальное, так и конечное значение энтропии системы равно нулю.

46. Задача решается аналогично предыдущей. Пусть n1 и n2 – квантовые числа, определяющие состояние осцилляторов первой системы. Тогда ее энергия равна

E1 ω(n1 n2 1).

По условию задачи эта энергия задана равной E1 2 ω. Из

сравнения двух выражений для нее находим, что возможны два состояния первой системы:

n1 1 0 n2 0 1.

Однако поскольку ее осцилляторы изолированы друг от друга, то реализуется только одно из этих двух возможных состояний. Поэтому начальное значение энтропии первой системы равно нулю.

Аналогично пусть n3 и n4 – квантовые числа, определяющие состояние различимых осцилляторов второй системы. Для нее энергия равна

E2 ω(n3 n4 1).

Заданное значение этой энергии равно E2 2 ω. В результате квантовые числа находим из равенства

n3 n4 1.

Ему удовлетворяют два состояния:

75

n3 1 0 n4 0 1.

Начальное значение энтропии второй системы обменивающихся энергией осцилляторов, а следовательно, и всей системы равно

S0 k ln 2.

После введения обмена энергией между обеими системами осцилляторов число состояний объединенной системы увеличивается. При этом становится несущественным то, что осцилляторы первой системы изолированы друг от друга. Они обмениваются энергией через посредника – вторую систему. Для энергии объединенной системы имеем выражение

E ω(n1 n2 n3 n4 2).

Система изолированная. Поэтому ее энергия сохраняется:

EE1 E2 4 ω.

Врезультате квантовые числа удовлетворяют равенству

n1 n2 n3 n4 2.

Ему удовлетворяют следующие десять комбинаций квантовых чисел, представленных в таблице.

Энтропия объединенной системы становится равной

S k ln10.

Изменение энтропии равно

76

S S S0 k ln 5.

В случае если в первой из систем осцилляторы изначально могут обмениваться энергией, то начальное число состояний этой системы равно двум и соответствующее значение энтропии такое же, как для второй системы. Поэтому энтропия объединенной системы до включения теплообмена равна

S0 k ln 4.

Соответственно, включение теплообмена приводит к изменению энтропии на величину, равную

S S S0 k ln 52 .

47. Задача решается аналогично № 45. Из равенства энергии первой подсистемы заданному начальному значению

E1 (n1 n2 1) 2

получаем равенство

n1 n2 1,

которому удовлетворяют два состояния:

n1 1 0 n2 0 1.

В результате начальное значение энтропии первой подсистемы равно

S1 k ln 2.

Для второй подсистемы осцилляторов из равенства энергии заданному начальному значению

77

E2 (n3 n4 1) 3

получаем равенство

n3 n4 2,

которому удовлетворяют три комбинации квантовых чисел n3 и n4 и соответственно три состояния:

n3 2 1 0 n4 0 1 2.

Начальное значение энтропии второй подсистемы равно

S2 k ln 3.

Таким образом, вначале энтропия системы имела значение

S0 S1 S2 k ln 6.

При включении теплового контакта между подсистемами установится равновесие, что сопровождается увеличением числа состояний системы и ее энтропии. Система изолированная. Поэтому ее энергия сохраняется:

EE1 E2 5 .

Врезультате квантовые числа удовлетворяют равенству

n1 n2 n3 n4 3.

Допустимые состояния: 1) квантовое число одного из четырех осцилляторов равно трем, а остальных – нулю; таких состояний четыре; 2) квантовое число одного осциллятора равно двум, другого

– единице, остальных двух – нулю; таких состояний полной системы двенадцать; 3) квантовое число трех осцилляторов равно единице, а четвертого – нулю; таких состояний четыре. В результате полное

78

число состояний системы при установлении теплового контакта равно Ω = 20. Конечное значение энтропии равно

S k ln 20.

Изменение энтропии равно

S S S0 k ln 103 .

48. Энергия системы линейных гармонических осцилляторов с различными частотами вычисляется как сумма энергий отдельных осцилляторов:

Рассматриваемая система состоит из четырех осцилляторов с частотами ω, 3ω, 5ω и 7ω. Выражение для ее энергии имеет вид

ω(n1 3n2 5n3 7n4 8).

По условию задачи энергия системы задана равной 16 ω. Это дает соотношение между квантовыми числами:

n1 3n2 5n3 7n4 8.

Допустимые состояния системы определяются комбинациями значений квантовых чисел, приведенными в таблице.

Число допустимых состояний равно Ω = 6. В результате энтропия системы имеет значение

S k ln k ln 6.

Из таблицы квантовых чисел видно, что только в одном состоянии системы осциллятор с частотой ω не возбужден. В силу равноправности допустимых состояний вероятность того, что указанный осциллятор имеет квантовое число n1 = 0, равна

wn1 0 16 .

49. Рассматриваемая система состоит из трех осцилляторов с частотами ω, 2ω и 3ω. Выражение для ее энергии имеет вид

ω(n1 2n2 3n3 3).

По условию задачи энергия системы задана равной 9 ω. Это дает соотношение между квантовыми числами:

n1 2n2 3n3 6.

Допустимые состояния системы определяются комбинациями значений квантовых чисел, приведенными в таблице.

Число допустимых состояний равно Ω = 7. Из таблицы видно, что возбужден только осциллятор с частотой 3ω, когда система находится в состоянии с кантовыми числами n1 = n2 = 0, n3 = 2. В силу равноправности допустимых состояний вероятность этого состояния системы равна

80