Погрешности средств измерений медицинского назначения. Виды и основные погрешности. Учебное пособие

В ГОСТ 8.009 84 приведена номенклатура метрологических характеристик, правила их выбора и отражения для конкретных типов средств измерений.

3.1. Номенклатура метрологических характеристик

3.1.1. Характеристики средств измерений медицинского назначения, предназначенные для определения результатов измерений:

функция преобразования y = f(x) измерительного преобразователя и измерительного прибора, если сам прибор имеет неименованную шкалу или шкалу, проградуированную в единицах, отличных от входной величины;

номинальное значение однозначной или значение многозначной меры;

цена деления шкалы средства измерений или многозначной

меры;

цена единицы младшего разряда средства измерений медицинского назначения, используемого для выдачи результатов в цифровом виде.

3.1.2. Характеристики погрешностей средств измерений. 3.1.2.1. Характеристики систематической абсолютной со-

ставляющей погрешности s (Δc) средств измерений:значение систематической составляющей s;

значение s наряду с оценкой математического ожидания

М[ s], а также среднего квадратического отклонения S( s). При этом систематическая погрешность рассматривается как случайная величина на множестве средств измерений данного типа. Под

значением М[Δs] обычно понимают статистическую оценку. 3.1.2.2. Характеристики случайной составляющей δ погреш-

ности средств измерений:

среднее квадратическое отклонение S(δ);

нормализованная автокорреляционная функция r(τ) или функция спектральной плотности S(ω);

случайная составляющая δH погрешности от гистерезиса (вариация Н выходного сигнала средства измерений).

11

Вариацией выходного сигнала называется погрешность средства измерений, представляющая разность показаний, получаемых при измерениях одного и того же значения измеряемой величины, сначала — приближением к нему со стороны меньших значений, затем — со стороны больших значений шкалы.

3.1.2.3. Характеристика погрешности средств измерений в том случае, когда одна из составляющих погрешности (систематическая или случайная) не исключается. Причем это одинаково при нормировании абсолютной погрешности или относительной погрешности.

Различие в нормировании систематической и случайной составляющих погрешностей средств измерений вызвано тем, что разброс случайных погрешностей различных экземпляров рассматриваемого типа средства измерений небольшой по сравнению с нормированным значением S(δ), а для систематической составляющей погрешности разброс обычно большой. Поэтому, как будет показано далее, для случайной составляющей погрешности обычно нормируется только предел допускаемых значений среднего квадратического отклонения, а для систематической составляющей погрешности, наряду с этой характеристикой, при необходимости нормируется также оценка математического ожидания систематической составляющей погрешности.

3.1.3. Характеристики чувствительности средств измерений к влияющим величинам:

изменения значений метрологических характеристик средств измерений, вызванные изменениями влияющих величин (в пределах рабочего диапазона влияющих величин).

3.1.4. Динамические характеристики средств измерений: 3.1.4.1. Полные динамические характеристики аналоговых

средств измерений, которые можно рассматривать как линейные:

переходная характеристика h(t);

импульсная переходная характеристика g(t);

амплитудно-фазовая характеристика G(jω);

амплитудно-частотная характеристика А(ω);

– передаточная функция G(р).

Этот вид динамических характеристик типичен для аналоговых электрокардиографов и электроэнцефалографов и других биоэлектрических средств функциональной диагностики.

12

3.1.4.2. Динамические характеристики аналого-цифровых средств измерений, в том числе измерительных каналов измерительных систем, включающих АЦП, время реакции которых больше интервала времени между двумя измерениями:

полные динамические характеристики аналоговой части этих средств измерений;

погрешность отсчета;

максимальная частота (скорость) измерений.

Если время реакции превышает интервал между двумя измерениями более чем в 3 раза, то погрешность отсчета не нормируется.

Если время реакции превышает интервал времени между двумя измерениями менее чем в 3 раза, то полная динамическая характеристика аналоговой части аналого-цифровых средств измерений не нормируется.

3.1.5.Характеристики средств измерений, позволяющие учесть их взаимодействие с подключенным к входу или выходу объектом измерений, цифропечатающим устройством, компьютером и др. (входное и выходное полные сопротивления линейноизмерительного преобразователя).

3.1.6.Значения неинформативных параметров выходного сигнала средств измерений.

К неинформативным параметрам выходного сигнала относятся параметры, которые функционально не связаны с измеряемой величиной. Например, если для генератора высокочастотных (низкочастотных) сигналов частота сигнала является информативным сигналом, то значение напряжения на соответствующей частоте неинформативным параметром. Для вольтметра переменного электрического тока напряжение является информативным, а частота тока, при которой проводятся измерения, — неинформативным параметром.

3.2. Способы нормирования метрологических характеристик

3.2.1.Метрологические характеристики, предназначенные для определения результатов измерений, нормируются как номинальные для средств измерений данного типа.

3.2.2.Систематическая составляющая погрешности средств измерений нормируется:

13

в виде пределов (положительного и отрицательного) sp допускаемой систематической составляющей погрешности или, наряду с ней:

в виде математического ожидания М [ s] и среднего квадратического отклонения σ( s) систематической составляющей погрешности.

Если пределы допускаемой систематической составляющей

погрешности симметричны, их представляют в виде «± sp» (символ р происходит от начальной буквы английского слова permissible — допустимый).

3.2.3. Случайная составляющая погрешности средств измерений нормируется:

в виде предела σp(δ) допускаемого среднего квадратического отклонения случайной составляющей погрешности или, наряду с этой характеристикой, также номинальной нормализованной автокорреляционной функции и предела допускаемого отклонения этой функции от номинальной.

3.2.4. Функции влияния нормируются путем установления номинальной функции влияния и пределов допускаемых отклонений от нее или граничных (верхнего и нижнего) значений функции влияния. Функции влияния нормируют для каждой влияющей величины отдельно.

3.2.5. Динамические характеристики средств измерений нормируют путем установления номинальных характеристик и пределов (положительного и отрицательного) допускаемых отклонений от номинальных.

При представлении нормированных метрологических характеристик могут быть использованы различные формы: практически любая из характеристик может быть выражена формулой, графиком или таблицей в зависимости от тех данных, которые получены разработчиком средства измерений в процессе разработки, и с учетом пожеланий потребителей средства измерений.

3.3. Определение нормируемых метрологических характеристик

В разделах 3.1 и 3.2 были рассмотрены номенклатура и способы нормирования метрологических характеристик. В связи с тем, что метрологические характеристик средств измерений мо-

14

гут определяться не только приведенными выше, необходимо рассмотреть ряд этих характеристик, ранее не определявшихся.

Определение некоторых характеристик систематической и случайной погрешностей

При оценке составляющих погрешности обычно систематическую погрешность рассматривают как неслучайную величину для конкретного средства измерений. Но если систематическую погрешность определять для многих экземпляров средств измерений одного и того же типа, то выявляется «разброс» значений систематической погрешности от экземпляра к экземпляру, рассматриваемый как совокупность значений случайной величины, распределенной по тому или иному закону.

Для полной оценки систематической и случайной погрешности обычно используются:

математическое ожидание систематической составляющей погрешности средств измерений;

среднее квадратическое отклонение систематической и случайной составляющей погрешности средств измерений;

нормализованная автокорреляционная функция r(τ) случайной составляющей погрешности средств измерений.

Математическое ожидание систематической составляющей погрешности средств измерений

Данная характеристика может применяться и для случайной составляющей погрешности. Однако при нормировании метрологических характеристик средств измерений рекомендуется данную характеристику применять для систематической составляющей погрешности измерений.

Если случайная величина дискретна (погрешность каждого результата измерений является дискретной величиной), то ее математическое ожидание (статистическое значение) можно представить формулой

где i,s — систематическая погрешность при i-м измерении (или i-го средства измерения);

Рi — вероятность значения i,s;

n — число всех возможных значений величины

15

Значение математического ожидания погрешности измерений неизвестно, так же как неизвестно истинное значение изме-

mi — число измерений, при которых определялось значение погрешности i,s..

Среднее квадратическое отклонение (СКО) систематической и случайной составляющей погрешности средств измерений

Наряду с математическим ожиданием при нормировании метрологических характеристик используется характеристика рассеивания случайной величины относительно математического ожидания — дисперсия случайной величины. Для непрерывной случайной величины X дисперсия представляется формулой

где f(x) — плотность распределения случайной величины; M[X] — математическое ожидание величины X.

В связи с тем, что дисперсия имеет размерность квадрата величины, то удобней пользоваться следующим математическим выражением:

16

По такой же формуле рассчитывается СКО δ случайной составляющей погрешности измерений.

Извлечение квадратного корня является нелинейной проце-

Равенство дисперсии результата измерений величины дисперсии абсолютной погрешности измерений этой величины представлено формулой

Нормализованная автокорреляционная функция r(τ) случайной составляющей погрешности средств измерений

Характеристика погрешности в виде математического ожидания и дисперсии и соответствующие оценки этих характери-

17

стик — среднее арифметическое и статистическое СКО погрешности измерений — используются, когда результаты измерений рассматриваются как независимые, одинаково распределенные значения величины. В некоторых случаях результаты измерений не могут рассматриваться как независимые, так как измеряемая величина может зависеть от других величин, а также под влиянием внешних условий может изменяться. При воздействии внешних воздействий результат измерений по прошествии некоторого времени будет зависеть от того, какое значение измеряемая величина имела при предыдущем измерении. Случайные величины, изменяющиеся с течением времени, называются случайными функциями. Измерения параметров случайных функций (случайных процессов), изменяющихся во времени, неизвестны, требуют при обработке результатов измерений применять методы оценки характеристик случайных функций. Прежде всего организация измерений случайных функций связана с необходимостью получения не одной, а многих реализаций случайных функций, каждая из которых принимает индивидуальную зависимость от времени измерений. В связи с тем, что случайная функция Х(t) является отображением какого-либо процесса, то зависимость Х(t) называют также случайным процессом.

Наряду с математическим ожиданием Мx(t) другой важной характеристикой случайной функции является ее дисперсия или СКО

Однако для изучения особенностей случайного процесса этих характеристик недостаточно. Различие в поведении случайных

процессов даже при одинаковых характеристиках Мx(t) и Dx(t) может быть существенным. Это различие может быть скоррегировано третьей характеристикой — корреляционной функцией

Кx(t), которая представляет собой неслучайную функцию двух

аргументов Кx(t, t´). Корреляционная функция при каждой паре значений t, t′ равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайной функции:

18

где X (t) X (t) M x (t) — центрированная функция в сечении t; X (t' ) X (t' ) M x (t' ) — центрированная функция в сечении t′.

Корреляционная связь свойственна не только случайным процессам, но и случайным величинам. Если имеются случайные величины Х и Y, то статистическая связь между ними представляется вторым смешанным центральным моментом, который называется корреляционным моментом. Для дискретных случайных величин Х и Y корреляционный момент определяется по формуле

K xy (xi M [ X ])( yj M [Y ])Pij

(xi M [ X ])( yj M [Y ]) / n,

i 1

где Рij — вероятность того, что система величин (Х,Y) примет

значения xij, а суммирование распространяется по всем возможным значениям случайных величин Х и Y. Правая часть равенства (10) записана для случая, когда х и у появляются одновременно, а число возможных комбинаций равно п.

Для непрерывных случайных величин

где f (х, у) — двумерная плотность распределения системы (х, у). Чтобы корреляционная связь не зависела от характера рас-

сеяния величин Х и Y, введена характеристика зависимости — коэффициент корреляции

Коэффициент корреляции равен нулю в случае независимости величин Х и Y, во всех других случаях его значение меняется

в пределах ( 1, +1). При положительной корреляции (rxy > 0) возрастание одной из случайных величин сопровождается (в среднем) возрастанием другой, при отрицательной корреляции

(rxy < 0) в случае возрастания одной из величин вторая имеет в среднем тенденцию к убыванию.

Определение корреляционного момента между случайными величинами Х и Y дает представление о нем как о некотором чис-

19

ле, поскольку эти величины, вообще говоря, рассматриваются как не изменяющиеся во времени.

В случае зависимости случайных величин от времени, они являются выборочными значениями одного и того же случайного процесса, и в этом случае корреляционная функция называется автокорреляционной, если выборочные значения принадлежат разным случайным процессам, то корреляционная функция называется взаимной корреляционной функцией. Формула (9) представляет автокорреляционную функцию.

Вместо автокорреляционной функции часто пользуются коэффициентом корреляции между Х(t) и Х(t′), rназываемым для случайных процессов нормализованной (нормированной) автокорреляционной функцией

где σx(t) и σx(t′) — средние квадратические отклонения случайной функции Х(t) в сечениях t и t′ соответственно.

На практике определить значение Кx(t,t′) или rx(t,t′) можно при проведении n независимых измерений некоторой случайной функции Х(t) и получив соответственно n реализаций этой функ-

ции х1(t), ... , хi (t), ... , хm (t).

Номинальной нормализованной автокорреляционной функцией называется значение r(t), полученное как усредненное для описания погрешности измерений данного типа.

Математическая модель основной погрешности средств измерений

Математическая модель основной погрешности, в соответствии с которой нормируются характеристики погрешности средств измерений, является упрощенной. При этом случайный процесс изменения погрешности измерений систематической и случайной составляющих предполагается стационарным случайным процессом. Этому процессу присуще постоянство таких характеристик, как математическое ожидание, дисперсия, автокорреляционная функция, не зависящих от выбора начала отсчета времени. Это возможно в том случае, когда плотности определения случайных величин вида Х(t′), как одномерные, так и совместные, не зависят от времени. При этом автокорреляционная функция является функцией не двух аргументов (t,t′), а только одного τ = t′ – t, т.е.

20