26. Центральная предельная теорема.

Рассмотренные выше теоремы закона больших чисел распространяются на вопросы приближения случайных величин к определённым предельным значениям независимо от их закона распределения. Однако, существует и другая группа теорем, которые относятся к предельным законам распределения суммы случайных величин. Общее название такой группы теорем — центральная предельная теорема. Различные её формулировки отличаются условиями, накладывающимися на сумму случайных величин. Вообще, центральная предельная теорема дает объяснение особой важной роли нормального распределения в теории вероятностей, т. е. утверждается, что если случайная величина образована в результате сложения большого числа одинаково распределенных независимых случайных величин с конечными дисперсиями, то закон распределения этой случайной величины будет нормальным законом.

Центральная предельная теорема. Пусть попарно независимые случайные величины X1, X2, ⋯ , Xn с конечными дисперсиями D(Xi) = σ² и математическими ожиданиями M(Xi) = a одинаково распределены. Тогда для любого действительного τ справедливо следующее предельное соотношение:

27. Системы случайных величин. Двумерная случайная величина. Законы распределения для дискретных и непрерывных св.

Система случайных величин - совокупность нескольких случайных величин, рассматриваемых совместно, (величины взаимодействуют друг с другом и описываются совместной функцией распределения или совместной функцией плотности).

Двумерной называют случайную величину (X, Y), возможные значения которой есть пары чисел (x, y). Составляющие X и Y, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин. Двумерную величину геометрически можно истолковать как случайную точку M(X, Y) на плоскости xoy либо как случайный вектор oM.

Законом распределения системы двух случайных величин называется соотношение, устанавливающее связь между областями возможных значений системы случайных величин и вероятностями появления системы в этих областях. (Законом распределения вероятностей двумерной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями). Случайные величины X и Y независимы, если независимыми являются события (X < x) и (Y < y), иначе, случайные величины X и Y являются зависимыми.

Рассмотрим двумерную случайную величину (X, Y). Совместная функция распределения такой величины имеет вид: Геометрически функция распределения FXY(x, y) означает вероятность попадания точки (x, y) в бесконечный квадрат, лежащий ниже и левее точки (x, y) — на рисунке это заштрихованная область.

Двумерная случайная величина дискретна, если множество ее значений (x, y) конечное или счетное. Для дискретной случайной величины составляется таблица распределения — аналог ряда распределения одномерной случайной величины. Для случайных величин X и Y закон распределения имеет вид: Это вероятности совмещения событий X = x_i и Y = y_j. Представим закон распределения в виде таблицы:

необходимое и достаточное условие независимости двух дискретных случайных величин X и Y:

Если известен закон распределения двумерной случайной величины (X, Y), можем найти законы распределения компонент X и Y:

Функция распределения дискретной случайной величины имеет вид:

28. Математическое ожидание и дисперсия двумерной СВ.

Математическим ожиданием дискретной двумерной случайной величины (X, Y) называется совокупность математических ожиданий:

Дисперсия дискретной системы случайных величин (X, Y) определяется равенствами:

Дисперсии D(X) и D(Y) характеризуют рассеивание случайного вектора (X, Y) в направлении координатных осей Ox и Oy вокруг точки (M(X); M(Y)) называемой центром рассеивания или центром совместного распределения вероятностей.

29. Условный закон распределения. МО и дисперсия.

Условным распределением X при Y = y_j является совокупность условных вероятностей P{xi/yj} = p_xi∕yj , вычисленных в предположении, что событие Y = y_j наступило. Аналогично определяется условное распределение Y. Если случайные величины X и Y зависимы, имеем:

Сумма вероятностей условного распределения равна единице.

Условным математическим ожиданием случайной величины Y при X=x называется произведение возможных значений Y на их условные вероятности:

аналогично, условным математическим ожиданием дискретной случайной величины X при Y = y называется: M(X/Y =

а может и не эта формула, я хз