23. Правило трех сигм.

Вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины X с параметрами a и σ не превышает утроенного среднеквадратического отклонения, вычисляется с помощью формулы и равна

P(|X − a| < 3σ) = 2Φ₀ (3σ/σ) = 2Φ₀(3) ≈ 2 ∙ 0,49865 = 0,9973.

Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднеквадратического отклонения, т. е., практически достоверно, что все значения нормально распределенной случайной величины находятся в промежутке

(a − 3σ; a + 3σ) — в этом и состоит так называемое правило трех сигм

24. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева.

Результаты отдельных испытаний, даже если они проведены при одинаковых условиях, могут сильно отличаться, в то время как средние результаты для достаточно большого числа испытаний стабильны и мало зависят от результатов отдельных испытаний. При некоторых сравнительно широких условиях, поведение достаточно большого числа случайных величин в совокупности почти утрачивает случайный характер и становится закономерным. Эти необходимые условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел, смыслом которого является совместное действие большого числа случайных факторов, приводящее к результату, практически не зависящему от случая. К числу таких теорем относятся рассматриваемые ниже теоремы Ляпунова, Чебышева и Бернулли, а также другие теоремы. Отметим, что теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, а теорема Бернулли — простейшим.

Вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа, не меньше, чем:

Также неравенство Чебышева можно записать в другой форме:

Замечание. Неравенство Чебышева применяется для теоретических исследований.

Теорема Чебышева. Пусть X1, X2, ⋯ , Xn — достаточно большое число попарно независимых случайных величин, а их дисперсии равномерно ограничены, т. е. не превышают константы C. Тогда, каково бы ни было малое положительное число ε, вероятность неравенства

будет близка к единице.

Другими словами,

По определению предела и с учетом свойств вероятности это означает, что для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, зависящее от n и ε, что

25. Усиленный закон больших чисел, теорема Бернулли. Теорема Пуассона.

Усиленный закон больших чисел утверждает, что при определённых условиях с вероятностью единица происходит неограниченное сближение средних арифметических последовательности случайных величин с некоторыми постоянными величинами.

Теорема Бернулли. Если в каждом из n независимых испытаний вероятность p появления события A постоянна, то близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности p по абсолютной величине будет сколь угодно малым, при достаточно большом числе испытаний:

Теорема Бернулли, утверждает, что если вероятность события одинакова во всех испытаниях, то с увеличением числа испытаний частота события стремится к вероятности события и перестает быть случайной.

Теорема Пуассона. Пусть производится n испытаний Бернулли, с вероятностью успеха в каждом испытании p_i, i = 1, 2, ⋯ , n. При этом число успеха в i-м испытании — θi. Тогда для любого положительного ε > 0 выполняется следующее неравенство:

Итак, смысл теоремы Пуассона в том, что частота события в n независимых испытаниях устремляется к среднему арифметическому вероятностей этого события и перестает быть случайной.