9. Дискретные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины (ряд распределения, многоугольник распределения).

Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные. Дискретная в данном случае означает, что случайная величина может принимать только лишь некоторые изолированные друг от друга значения. Случайную величину можно описать как числовую функцию, определенную на множестве элементарных исходов. Например, количество баллов, полученных на ЕГЭ по математике среди ста возможных — величина случайная, которая может принимать значения от 0 до 100 (конечно, все зависит от подготовки). Случайные величины будем обозначать заглавными латинскими буквами X, Y, Z и т. д., а значения, которые они могут принимать — соответствующими строчными буквами с индексами. Например, если случайная величина X может принимать три значения, то эти значения мы будем обозначать через x1, x2 и x3. При таком понимании случайных величин, дискретные случайные величины определим как случайные величины, которые принимают не более счетного множества отдельных возможных значений с определенными вероятностями.

Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

10. Функция распределения вероятностей и ее свойства.

Для наглядности закон распределения случайной величины изображают графиком функции распределения случайной величины.

Функцией распределения случайной величины называют функцию, значение которой в точке x равно вероятности того, что значение случайной величины строго меньше x.

11. Математическое ожидание и его свойства.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности. Обозначают его в русской литературе M(X).

Теорема 1. О математическом ожидании в независимых испытаниях

Математическое ожидание числа появлений успехов в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления успеха в каждом испытании: M(X) = np.

Отклонением случайной величины X называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием: X − M(X).

Теорема 2. Математическое ожидание отклонения равно нулю: M(X − M(X)) = 0.

12. Дисперсия и ее свойства. Среднеквадратическое отклонение.

Определим теперь следующую числовую характеристику случайной величины, отвечающую за рассеяние ее значений вокруг математического ожидания.

Дисперсией случайной величины X называют математическое ожидание квадрата ее отклонения:

Среднеквадратическим отклонением случайной величины X называют квадратный корень из ее дисперсии:

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

D(C) = 0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D(CX) = D(X).

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D(X + Y) = D(X) + D(Y).

4. Дисперсия суммы случайной величины и константы равна дисперсии этой случайной величины (т. е. дисперсия не зависит от сдвига значений случайной величины):

D(C + X) = D(X).

5. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме этих величин:

D(X − Y) = D(X) + D(Y).

Теорема 3. Дисперсия случайной величины X равна разности между математическим ожиданием квадрата X и квадратом ее математического ожидания: D(X) = M(X²) − (M(X))².

Теорема 4. О дисперсии в независимых испытаниях

Дисперсия числа появлений успехов в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления успеха постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятность появления и не появления успеха в каждом испытании: D(X) = npq.

13. Мода. Медиана, начальные и центральные моменты.

Модой дискретной случайной величины X называют ее значение, которое принимается с наибольшей вероятностью по сравнению с двумя соседними значениями. Обозначают моду случайной величины X: MОX, или строчной mОX и: maxi P(X = xi) = P(X = MО).

Распределения могут быть унимодальными имеющими одну моду, бимодальными две моды, мультимодальными имеющими несколько мод. Если же в распределении посередине не максимум, а минимум, то такое распределение называется антимодальным.

Чаще всего мода случайной величины встречается в результате проведения серии эксперимента, описываемого случайной величиной, например, используется в экономических расчетах, при выявлении наибольшего спроса на какой-либо товар и т. д.

Медианой дискретной случайной величины X (обозначают MеX) называют такое ее значение, для которого справедливо равенство: P(X < M_е) = P(X > M_е), т. е., вероятность того, что случайная величина окажется меньше или больше медианы равна 0,5. Однако не все дискретные случайные величины имеют медиану.

Начальным моментом k-го порядка случайной величины X называется математическое ожидание величины X^k: M(X^k)= α_k.

Очевидно, математическое ожидание — начальный момент 1-го порядка: M(X) = α₁.

Центральным моментом k-го порядка случайной величины X называется математическое ожидание величины (X − M(X))^k : M(X − M(X))^k = μ_k.

В частности, дисперсия — центральный момент 2-го порядка: M(X − M(X))² = μ₂

Заметим, что центральные моменты могут быть выражены через начальные:

μ₂ = D(X) = M(X²) – (M(X))² = α₂ – α₁²