3. Условная вероятность.

Условной вероятностью события B называется вероятность события B, вычисленная в предположении, что событие A уже наступило. И обозначается PА(B), или P(B|A). Условная вероятность показывает, как изменяется вероятность наступления события A, если мы знаем, что событие B уже произошло.

Теорема 4. О вероятности произведения зависимых событий

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: P(AB ) = P(A) ∙ P_A(B) = P(B) ∙ P_B(A).

Теорема 5. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB).

4. Формула полной вероятности, формула Байеса.

Вероятность события A, которое может наступить лишь при условии появления одного из попарно несовместных событий B1, B2, ⋯, Bn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события A:

P(A) = P(B1) ∙ PB1(A) + P(B2) ∙ PB2(A) + ⋯ + P(Bn) ∙ PBn(A)

Формула Байеса:

Формулы Байеса позволяют переоценить вероятности гипотез, называемых априорными (известными до проведения эксперимента) после того, как событие A произошло, т. е. найти условные вероятности PA(Bi), называемые апостериорными (после проведения эксперимента).

5. Схема испытаний Бернулли.

Рассмотрим серию последовательных одинаковых испытаний, в каждом из которых может наступить или не наступить событие A. Если вероятность наступления события A в каждом из испытаний не зависит ни от номера испытания, ни от исходов предыдущих испытаний, то такую серию испытаний называют схемой Бернулли. Наступление события A в некотором испытании называют успехом, а не наступление — неудачей.

Вероятность успеха в каждом испытании постоянна и равна p, вероятность неудачи также постоянна и равна q = 1 – p. Таким образом, параметрами схемы испытаний Бернулли служат число испытаний n и вероятность успеха p.

Теорема. В серии из n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность успеха постоянна и равна p, а вероятность неудачи также постоянна и равна q = 1 – p, вероятность того, что успех наступит ровно k раз, определяется формулой Бернулли:

где 0 ≤ k ≤ n.

6. Теорема Пуассона.

Если вероятность наступления некоторого события A в n независимых испытаниях равна p, причем n → λ при p → 0 и n → ∞, то вероятность Pn(k) того, что в этих испытаниях событие A наступит ровно k раз, удовлетворяет при n → ∞ соотношению:

Из теоремы Пуассона, при достаточно больших n и при достаточно малых значениях p, получаем следующую формулу:

Среди применений формулы Пуассона, одним из основных можно назвать теорию массового обслуживания.

Пример. Вероятность брака на фабрике кожаных изделий составляет p = 0,01. Найти вероятность того, что в произведенной партии из 100 изделий не более одного бракованного изделия.

►Вероятность того, что в партии не более одного бракованного изделия, означает, что в партии нет бракованных изделий, либо только одно бракованное изделие. Соответственно, искомая вероятность равна: Pn(0) + Pn(1). По условию, n = 100, p = 0,01 ⇒ n = 1, т. е. p ≤ 0,1 и n ≤ 9. Применим приближенную формулу Пуассона:

λ = n = 100 ∙ 0,01 = 1, P100(0) + P100(1) ≈ 2 ∙ ≈ 0,74. ◄

7. Локальная теорема Лапласа.

Если вероятность наступления некоторого события A в n независимых испытаниях постоянна, отлична от 0 и 1 и равна p, то вероятность Pn(k) того, что в этих испытаниях событие A наступит ровно k раз, удовлетворяет при n →∞ соотношению:

Из этой теоремы при достаточно больших n вытекает следующая формула:

Введем обозначение: - функция Гаусса, тогда:

Пример. Вычислить вероятность наступления успеха 58 раз при 110 испытаниях, если p = 0,4. Вычислим P110(58) при p = 0,4

► Итак, сделаем предварительные расчеты: q = 1 − 0,4 = 0,6; npq = 110 ∙ 0,4 ∙ 0,6 = 26,4; ≈ 5,14 ⇒

x ≈ (58 − 110 ∙ 0,4) / 5,14 ≈ 2,72. Воспользуемся таблицей значений функции

φ(x): φ(2,72) ≈ 0,0099. Таким образом, искомая вероятность равна: P110(58) ≈ 0,0099 / 5,14 ≈ 0,001926. ◄

8. Интегральная теорема Лапласа. Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности.

Если вероятность наступления события A в серии n независимых испытаний равна p, постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность Pn(k1, k2) того, что число m наступлений этого события A лежит в границах от k1 до k2, при n → ∞ имеет своим пределом

Из этой теоремы следует, что при достаточно больших n справедливо приближенное равенство:

К сожалению, первообразная функции φ(t) не выражается через элементарные функции. Обозначим одну из этих первообразных Φ₀(t), а именно: Эту функцию называют нормированной функцией Лапласа.

Пример. Вероятность того, что товар мясного комбината не пройдет проверку на соответствие ГОСТ, равна 0,2. Какова вероятность того, что в партии из 400 изделий мясокомбината, непроверенных изделий окажется от 70 до 100?

►По условию задачи известно, что p = 0,2 ⇒ q = 1 − p = 0,8; n = 400, k1 = 70, k2 = 100.

x1 = (k1 – np) / = 70 − 400 ∙ 0,2 / √400 ∙ 0,2 ∙ 0,8 = −10/8 = −1,25;

x2 = (k2 – np) / = 100 − 400 ∙ 0,2 / √400 ∙ 0,2 ∙ 0,8 = 20/8 = 2,5.

Таким образом, по формуле, имеем:

P400(70, 100) = Φ(2,5) − Φ(−1,25) = Φ(2,5) + Φ(1,25).

В приложении 2 определяем значения функции Лапласа: Φ(2,5) = 0,4938; Φ(1,25) = 0,3944.

Итак, искомая вероятность равна: P400(70, 100) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882. ◄

Применение интегральной теоремы Муавра — Лапласа дает достаточно хорошее приближение, если npq достигает нескольких десятков. В случае, когда не требуется большой точности, применение формулы, следующей из этой теоремы, возможно уже при npq ≥ 9. Отметим также, что эта формула дает наилучший результат, если пределы k1 и k2 лежат по разные стороны от np.

Вероятность того, что отклонение относительной частоты k/n от постоянной вероятности p не превышает по абсолютной величине некоторого положительного ε > 0 равна значению удвоенной функции Лапласа при

То есть:

Пример. При проведении испытаний с лазерными импульсами, вероятность ошибки составляет 0,1. Сколько испытаний нужно провести, чтобы с вероятностью, равной 0,95 относительная частота появления ошибки отклонилась от постоянной вероятности не более чем на 0,03 по модулю?