14. Биномиальное распределение.

Биномиальным называют распределение количества «успехов» в последовательности из n независимых случайных экспериментов, таких, что вероятность «успеха» в каждом из них постоянна и равна p.

Иначе говоря, пусть происходит n независимых испытаний, в каждом из которых событие может появится с одной и той же вероятностью p. Тогда случайная величина X - количество испытаний, в которых появилось событие, имеет биномиальное распределение вероятностей.

Она может принимать целые значения от 0 (событие не произошло ни разу) до n (событие произошло во всех испытаниях). Формула для вычисления соответствующих вероятностей - формула Бернулли для схемы повторных независимых испытаний:

Для биномиального распределения известны готовые формулы для математического ожидания и дисперсии:

Например: монета подбрасывается 5 раз. Тогда случайная величина   – количество появлений орла распределена по биномиальному закону. Орёл обязательно выпадет:

или   раз, или   , или   , или   , или   , или   раз.

 – вероятность того, что в 5 испытаниях орёл не выпадет вообще;

 – вероятность того, что в 5 испытаниях орёл выпадет ровно 1 раз;

 – вероятность того, что в 5 испытаниях орёл выпадет ровно 2 раза;

 – ровно 3 раза;

 – ровно 4 раза;

 – ровно 5 раз.

Таким образом, закон распределения числа выпавших орлов:

Контроль: 

15. Распределение Пуассона.

Если количество испытаний   достаточно велико, а вероятность   появления события   в отдельно взятом испытании весьма мала (0,05-0,1 и меньше), то вероятность того, что в данной серии испытаний событие появится ровно   раз, можно приближенно вычислить по формуле Пуассона:

 , где   .

– количество независимых испытаний; – вероятность появления события в каждом испытании;

Распределение Пуассона называют также распределением редких событий. Например, рождение за год трёх или четырёх близнецов, тот же закон распределения имеет число распавшихся в единицу времени атомов радиоактивного вещества и др.

Пример. В новом микрорайоне поставлено 10000 кодовых замков на входных дверях домов. Вероятность выхода из строя одного замка в течение месяца равна 0,0002. Найти вероятность того, что за месяц откажет ровно 1 замок.

В данном случае количество «испытаний»   велико, а вероятность «успеха» в каждом из них – мала:   , поэтому используем формулу Пуассона:

Вычислим:   – по существу, это среднеожидаемое количество вышедших из строя замков.

Таким образом:   – вероятность того, что за месяц из строя выйдет ровно   один замок (из 10 тысяч).

Ответ: 

2. Количество ДТП в городе за неделю — случайная величина, распределенная по закону Пуассона со средним значением равным 3. Какова вероятность того, что количество ДТП за неделю будет меньше трех?

►По условию задачи, M(X) = 3, следовательно, λ = 3. Тогда закон распределения случайной величины X имеет вид: P(X = k) = (3^k∙ e^-3 ) / k! . Отсюда получаем: P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) =

e^-3 + 3e^-3 −3 + (9e^-3 / 2) ≈ 0,42. ◄

16. Геометрическое распределение.

Рассмотрим серию независимых испытаний, в каждом из которых успех появляется с одинаковой вероятностью p и как только появляется успех, испытания заканчиваются. То есть, если успех появился в k-ом испытании, то в предыдущих (k − 1) испытаниях он не появлялся. Вероятность такого события определяется по теореме умножения вероятностей независимых событий:

P(X = k) = pq^k−1, а это не что иное, как геометрическая прогрессия c первым членом p и знаменателем q (0 < q < 1). Такая схема испытаний и сам закон распределения называют геометрическими.

Примерами распределенных по геометрическому закону случайных величин являются, например, количество испытаний робототехники до первого отказа, количество пошитых рубашек до первого брака и т. д. Математическое ожидание и дисперсия геометрического распределения равны:

M(X)=1/p; D(X) = q/p².

Пример. Вероятность отказа электроприбора равна 0,15. Сколько часов в среднем проработает прибор до первого сбоя? Чему равна вероятность P(X < M(X) + σ(X))?

►Для ответа на первый вопрос достаточно определить математическое ожидание: M(X) = 1/p = 1/0,15

≈ 6,67, т. е. до первого сбоя прибор проработает 6,67 часа.

Чтобы найти вероятность того, что прибор проработает до сбоя менее чем M(X) + σ(X), вычислим σ(X): σ(X) = sqrt(q/p²) = √0,85 / 0,15 ≈ 6,15. Получаем: P(X < M(X) + σ(X)) = P(X < 12,82) = P(X ≤ 12) = ∑ ₁¹² pq^k−1 = p*(1−q¹²)/1−q = 1-q¹² = 1 − 0,85¹² ≈ 0,86. ◄

17. Непрерывные случайные величины. Плотность распределения. Функция распределения.

Случайная величина называется непрерывной, если ее возможные значения занимают сплошь некоторый промежуток. Более строго будем говорить так:

Случайная величина X называется непрерывной, если функция распределения F_X(x) — непрерывная функция.

В отличие от дискретной случайной величины, НСВ может принять любое действительное значение из некоторого промежутка ненулевой длины, что делает невозможным её представление в виде таблицы (т.к. действительных чисел несчётно много). В этой связи непрерывную случайную величину задают функциями двух типов:

1. Функцией распределения F(x);

2. Функцией плотности распределения f(x).

Плотность распределения описывает вероятность того, что случайная величина примет определенное значение в заданном интервале.

Функция f_х(x) называется плотностью распределения непрерывной случайной величины X, если вероятность попадания значения X в заданный интервал (x₁, x₂) равна определенному интегралу от x₁ до x₂ от функции f_х(x): P(x₁ < X < x₂) = dt .

Заметим, что если плотность распределения определена только для непрерывной случайной величины, то функция распределения одинаково определяется как для непрерывной, так и для дискретной случайной величины. График функции распределения непрерывной случайной величины имеет вид, представленный на рисунке 12