18. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X называется

Дисперсией непрерывной случайной величины X называется

Среднеквадратическим отклонением непрерывной случайной величины X, также как и дискретной, называется

Если один из этих несобственных интегралов расходится, то говорят, что соответствующая числовая характеристика для случайной величины X не существует.

Модой непрерывной случайной величины X называют то ее значение, которому соответствует максимальное значение ее плотности распределения и определяется она также как и для дискретной случайной величины.

Медиана непрерывной случайной величины определяется аналогично дискретной P(X < M_е) = P(X ≥ M_е).

Начальный момент k-го порядка:

Центральный момент k-го порядка:

19. Коэффициент асимметрии. Эксцесс.

Коэффициент асимметрии - показатель асимметричности распределения, определяющий степень скошенности кривой по сравнению с нормальным распределением.

Коэффициентом асимметрии (обозначается A) называется величина, равная отношению центрального момента 3-го порядка к кубу среднеквадратического отклонения: A = μ₃ / σ³.

Эксцессом (обозначается E) называется величина, равная отношению центрального момента 4-го порядка к среднеквадратическому отклонению в четвертой степени: E = (μ₄ / σ⁴) − 3.

Эксцесс служит для сравнения имеющихся распределений с нормальным, у которого эксцесс равен нулю. Соответственно и число 3 выбрано потому, что для нормального закона распределения μ₄ / σ4=3. Если у распределения эксцесс положителен, то соответствующая кривая распределения будет более «островершинной» по сравнению с кривой нормального распределения; если же эксцесс отрицателен, то соответствующая кривая распределения будет более «плосковершинной».

20. Равномерное распределение.

Если случайная величина   обладает постоянной плотностью распределения вероятностей на данном отрезке и нулевой плотностью вне него, то говорят, что она распределена равномерно. При этом функция плотности будет строго определённой:

Вероятность попадания случайной величины X, распределенной по равномерному закону на интервале (a, b), в заданный интервал (x1; x2) определяется по формуле:

21. Показательное распределение.

Случайная величина X распределена по показательному (экспоненциальному) закону, если функция плотности ее распределения имеет вид:

где λ — параметр, являющийся положительной постоянной

величиной. Очевидно, показательное распределение определяется одним параметром λ, который и определяет его характеристики.

Вероятность попадания показательно распределенной случайной величины X в заданный интервал (α, β) составляет (при α > 0):

22. Нормальное распределение.

Нормальное распределение представляет собой предельный закон, к которому приближаются (при определенных естественных условиях) многие другие законы распределения. С помощью нормального закона распределения описываются также явления, подверженные действию многих независимых случайных факторов любой природы и любого закона их распределения.

Нормальное распределение характеризуется двумя параметрами: средним значением (мат. ожидание) (а) и стандартным отклонением (дисперсия = σ²) (σ). Среднее значение определяет центр распределения, а стандартное отклонение показывает, насколько значения разбросаны относительно среднего. Форма нормального распределения является колоколообразной кривой, симметричной относительно среднего значения. Вероятность попадания случайной величины в определенный интервал определяется площадью под кривой в этом интервале. Асимметрия и эксцесс нормального распределения равны: A = E = 0.

Случайная величина X распределена по нормальному закону, если плотность ее распределения равна:

Плотность нормированного нормального распределения выглядит следующим образом:

Вычисление вероятности попадания случайной величины X в заданный интервал: