book_23313

b12 = 0,0625 (-22,1) = -1,38,

где (-22,1) – сумма из табл. 1.17; 0,0625 – параметр Т6 (табл. 1.10).

Также рассчитываем коэффициентыb13, b14, b23, b24, b34 (табл. 1.18). 4. Для проверки значимости коэффициентов и последующего определения адекватности уравнения необходимо дополнительно выполнить 4

опыта(табл. 1.19), фиксируяфакторынаосновном(нулевом) уровне. Таблица 1.19

Результаты экспериментов и расчетов в нулевых точках

31

mbi = Т8 S уи = 0,2357 1,14 = 0,27 ;

где 0,4787; 0,2357 ; 0,6212 и 0,25 – значения параметров Т7, Т8, Т9 и

Т10 для плана Вп табл. 1.20.

Таблица 1.20 Расчетные параметры для определения среднеквадратических

ошибок и коэффициентов уравнений регрессии второго порядка

32

1=3 равно 3,18.

Расчетные значения – tp– определяем по формуле (1.23), начиная с наименьших по абсолютным значениям коэффициентов уравнений регрессии:

Поскольку t13, tl4, t14 і t34-< tтабл, то коэффициенты bl3, bl4, b24 і b34 не значимы (в табл. 1.18 они подчеркнуты). Квадратические коэф-

фициенты bl1, b22 ,b33 также не значимы, но их не следует удалять с модели, потому что все квадратические коэффициенты связаны не только между собой, но и со свободным членом.

Уравнение регрессии прочности бетона имеет вид:

5. Определяем адекватность уравнения регрессии.Для этого находим остаточную сумму квадратов отклонений, предвари-

тельно рассчитав их для каждой строчки матрицы и определив расчетное значение уˆ по формуле (1.34) по строчкам матрицы.

Так, например, для первой строчки получаем:

уˆ = 57,3 −1,6(+1) + 22,9(+1) + 7,2(+1) −1,6(+1) −0,4(+1)2 −

−1,6(+1)2 −0,4(+1)2 − 2,8(+1)2 −1,4(+1)(+1) + 2,5(+1)(+1) = 80,1

Аналогично проводим расчет для всех строчек матрицы. Определяем дисперсию адекватности Sa2д по формуле (1.16):

Sa2д = 2421−,911 =1,68

33

п

где 21,9 = ∑(уi − уˆi )2 ; 24 – число опытов; 11– число значимых

1

коэффициентов в уравнении регрессии (1.34). Находим значение F-критерия Фишера.

Расчетное значение Fp –определяем по формуле (1.15); для данного примера:

где 1,3 – дисперсия воспроизводимости S у20 ; 1,68 – дисперсия аде-

кватности Saq2 .

Табличное значение Fтабл – определяем по табл.1.5. При доверительной вероятности 95%, f yo = 4 −1 = 3 і fад = 24 −11 = 13 , Fтабл

=8,7 (S{2yo } < Sα2q ).

Так как Fp<Fтабл полученное уравнение регрессии является адекватным и его можно считать математической моделью прочности бетона для данной области изменения исследуемых факторов.

1.4. Анализ математических моделей

Наиболее легко поддаются анализу линейные модели. Знак при коэффициенте показывает характер влияния соответствующего фактора: знак "+" свидетельствует о том, что с увеличением значения фактора величина соответствующего выходного параметра увеличивается, а знак "-" – о том, что она убывает. Чем больше значение коэффициента, тем сильнее влияние фактора. Если необходимо получить максимальное значение выходного параметра, значения всех факторов, коэффициенты bі которых имеют знак "+", следует принимать максимальными, а значения факторов, коэффициенты bі которых знак "-", – минимальными. Абсолютные значения коэффициентов уравнений регрессии увеличиваются с увеличением интервалов варьирования.

В неполных квадратичных уравнениях регрессии знак перед коэффициентом линейного члена соответствует направлению изменения выходного параметра при условии, что другие факторы приняты на основном уровне. Знак "+" перед коэффициентом взаимодей-

34

ствия свидетельствует о том, что увеличение выходного параметра возможно только, если взаимодействующие факторы находятся одновременно на верхнем или нижнем уровне, а знак "-" – о том, что один фактор должен находиться на верхнем, а другой – на нижнем уровне.

Приняв значения всех факторов (за исключением одного) на основном уровне, квадратическое уравнение можно преобразовать в уравнение параболы

хeхt=b1/2b11. Абсолютное значение коэффициента bi соответствует скорости изменения исследуемого фактора xi.

Двухфакторная квадратичная модель

в зависимости от значений коэффициентов bi , bii , bij представляет собой одну из поверхностей второго порядка - параболического цилиндра, эллиптического или гиперболического параболоида.

Методически разработано 10 типов задач, (по В.А. Вознесенскому) которые могут быть решены индивидуально или совместно на основе одной полиномиальной модели и позволяют определить:

1) значения выходного параметра ( yˆ ) для расположенной в области

изученного факторного пространства точки с координатами, которые отличаются от точек плана эксперимента (интерполяционная задача);

2) значения yˆ для точки, расположенной за областью изученного факторного пространства (экстраполяционная задача);

3)геометрическую фигуру (поверхность отклика), описываемую моделью (аналитико-геометрическая задача);

4)минимально возможное значение yˆ в зоне эксперимента (мини-

мизация выхода yˆ );

5)максимально возможное значение yˆ в зоне эксперимента (максимизация выхода yˆ );

6)возможные соотношения между значениями факторов в зоне эксперимента для достижения необходимого уровня yˆ (задача

управления при фиксированном yˆ );

35

7) минимальные значения факторов, характеризующих затраты ресурсов при заданном уровне качества объекта (задача минимизации ресурсов хi при фиксированном yˆ );

8) данные для построения регулирующих диаграмм для yˆ при двух переменных факторах (управление yˆ при двух переменных факторах);

9)однофакторные зависимости, описывающие влияние каждого фактора на yˆ (управление yˆ при одном переменном факторе);

10)эффект влияния каждого фактора на величину yˆ (оценка роли факторов хi).

Пример 1.7. Рассмотреть основные типы задач, возникающие в процессе анализа полиномиальной модели прочности бетона (1.34)

Исходные данные приведены в примере 1.6.

1. Интерполяционная задача. Решение интерполяционных задач позволяет найти значения выходного параметра в пределах области варьирования факторов от +1 до -1. Подставляя в полученное уравнение регрессии кодированные значения каждого фактора (напри-

мер, 0,25;0,5; 0,75; -0,3; -0,6; -0,75), получаем значения выходного параметра при любых промежуточных сочетаниях факторов.

Рассчитаем, например, значения выходного параметра (прочность бетона)при изменении фактора х2 – цементно-водного отношения табл. 1.21). Другие факторы приняты на основном (нулевом)

уровне: В=190 кг/м3, Rц=58,75 МПа, Д=0,25%.

Уравнение регрессии (1.34) примет вид:

36

2. Экстраполяционная задача. Решение экстраполяционных задач позволяет прогнозировать значения выходного параметра за пределами области варьирования факторов, например, при xj=1,1; 1,2; 1,3. Однако необходимо иметь в виду , что экстраполяция может быть связана с определенными ошибками, и эти ошибки обычно тем выше, чем дальше выход за пределы области варьирования. Экстраполяция возможна, если у исследователя нет сомнений, что за пределами области варьирования факторов характер функции остается без изменений.

Решение экстраполяционной задачи по уравнению (1.37) при изменении Ц/В приведено в табл. 1.22.

Таблица 1.22 Результаты экстраполяционных расчетов по уравнению(1.37)

3. Аналитико-геометрическая задача. Решение аналитико-

геометрических задач позволяет на основе уравнений регрессии построить графики и номограммы для определения значений выходных параметров в пределах области варьирования факторов.

Если все факторы кроме Ц/В (х2) и Rц (х3) принять на нулевом уровне (В=190 кг/м3, Д=0,25%), то уравнение регрессии (1.34) приобретает вид:

yˆ = 57,3 + 22,9x2 + 7,2x3 −1,6x22 − 0,4x32 + 2,5x2 x3 . (1.38)

По уравнению (1.38) можно построить поверхность отклика уˆ в

трехмерном пространстве (рис.1.2).

С этой целью уравнение второго порядка превращается в типовую каноничную форму.

37

Рис. 1.2. Некоторые трехмерные контурные поверхности, характеризующие стационарную область, описываемую уравнением второго порядка, при k=3

Процесс приведения модели второго порядка к каноничной форме разбивается на два этапа: 1) поворот координатных осей и соединение их с направлениями собственных векторов (новые координатные оси называют каноничными); 2) перенесение начала координат в новую точку.

Первый этап позволяет исключить из уравнения эффекты взаимодействия факторов, второй - свести к минимуму число линейных членов. Такие преобразования широко описаны в литературе по аналитической геометрии.

38

4 и 5. Задачи достижения минимального или максимального значе-

ния yˆ Они заключаются в нахождении такого сочетания факторов, ко-

торое обеспечивает максимальное (минимальное) значение выходного параметра – критерия эффективности при заданных ограничениях. В

этом случае экстремум можно найти путем дифференцирования урав-

нения последовательно по x1, x2, …, xj. Полученная система линейных

уравнений приравнивается к нулю. Путем ее решения находят значения xj , обеспечивающие экстремальное значение ŷ. Подставляя найденные значения xj в исходное уравнение, определяют экстремальное значение выходного параметра. Для определения комбинации факторов, обеспечивающих экстремальное значение ŷ, уравнение регрессии (1.39) дифференцируемпоследовательнопоx1,x2, x3,.

Получаем:

Путем соответствующих преобразований получаем систему трех линейных уравнений, которые можно решить способом подстановки или другими методами. Аналогично, можно осуществлять нахождение оптимального сочетания факторов и в другом числе факторов.

Например, необходимо определить значения факторов х…х4, которые обеспечивают минимально и максимально возможные значения прочности бетона по уравнению (1.34). С этой целью дифференцируем уравнение регрессии (1.34) и приравниваем частные производные к нулю, а также анализируем значения выходного параметра на границе области варьирования факторов.

39

Решая полученную систему (1.43), например, методом Гаусса,

получаем х1=9,94, х2=-6,82, х3=-12,33, х4=-0,29, т.е. точка экстрему-

ма лежит за пределами области варьирования. Поэтому целесообразно определить значения выходного параметра на границах области варьирования. Анализ уравнения регрессии (1.34) позволяет сделать вывод о том, что его максимум будет достигаться при х1=-1, х2=х3=1, х4 =0, а минимум – при х1= х4=1, х2=х3=-1. Рассчитаем значения прочности бетона в указанных характерных точках (табл. 1.23).

Таблица 1.23 Результаты расчетов значений прочности бетона в

характерных точках

Наибольшее значение прочности бетона Rб = 90,7 МПа, достигается при х1=-1, х2=х3=1, х4=0,29, а наименьшее (22,7 МПа) – при х1=

х4=1, х2=х3=-1.

Минимизация или максимизация уˆ может достигаться также

перебором всех комбинаций х1, х2, х3, х4 на уровнях от -1 до +1 с шагом квантования ∆хі, анализом уравнения в каноничной форме, а также при помощи метода неопределенных множителей Лагранжа.

40